單元十二行列式

(1)

單元十二行列式

重點一、行列式展開求值

1. 直接展開法：

(1) 二階：

ad

bc

d

c

b

a

−

=

(2) 三階：

1 2 3 1 2 3 1 2 3

a

b

c

=

(a b c

₁ _{2 3}

+

a b c

₂ _{3 1}

+

a b c ) (a b c

_{3 1 2}

−

₃ _{2 1}

+

a b c

₂ _{1 3}

+

a b c )

₁ _{3 2}

2. 直接階階法：

g

c

i

g

b

h

d

c

f

d

b

e

i

h

g

f

e

d

c

b

1 ⋅

−

⋅

−

⋅

−

⋅

−

=

重點二、行列式的性質

1. 行列式某一列(或一行)各元素有公因數，可將公因數提出。

2. 若把一個行列式的某一行(或一列)各元素乘以常數 k，依次

加於另一行(或一列)的對應元素，其值不變。

3. 任二行(或二列)互換後之行列式值大小不變，正負變號。

4. 若行列式的一列(或一行)為二項式，則此行列式等於兩同階

行列式的和。

5. 三角行列式的解：主對角線之一邊全部為 0 之行列式值為

主對角線上所有元素的連乘積。

6. 下列情形的行列式之值為零：

行列式之一行(或一列)之元素皆為零。

行列式之二行(或二列)之對應元素相同或成比例。

(2)

精選歷屆試題

1.

設 7 10 2 3 x = ，則 x= (A)5 (B)6 (C)7 (D)8。

2.

已知 a b 3 c d = ，則 2 10 5 a b c d = (A)15 (B)30 (C)60 (D)300。

3.

x= ， yα = 為方程組β 3 x y xy x y xy +  ₌    − =  的解，則

(

α β,

)

= (A) 1, 1 2       (B) 1 , 1 3       (C) 1,1 2       (D) 1 1, 3      。

4.

10 2 2 2 10 2 2 2 10 的值為 (A)896 (B)840 (C)816 (D)804。

5.

abc≠ ，則0 1 1 1 a b c b c a c a b + + + 的值為 (A)1 (B) a b c+ + (C) ab bc ca+ + (D)0。

6.

9 2 3 9 2 3 0 9 2 3 x x x + + = + 之所有實數解的和為 (A)14 (B)7 (C) 14− (D) 5− 。

7.

求行列式

125

250

80

320

8.

設方程組







=

−

=

+

2

1

4

2 bx

ax

y

x

有無限多解，則a + b之值= (A) – 4 (B)4 (C)8 (D)12。

9. 





=

−

+

=

+

−

0

2

4

0

3

2

5 z

y

x

z

y

x

，則x：y：z = (A) –8：–3：22 (B)8：–13：22 (C) –8： 13：22 (D)8：13：22。

10.

解方程組











=

+

=

+

=

+

=

+

5

4

2

1 y

x

u

x

u

z

u

z

y

z

y

x

，則 2x + 3y + 2z + u的值為 (A)5 (B)7 (C)9 (D)11。

11.

行列式

a

b

c

d

=4，則

5

30

6 a

b

c

d

−

= (A) –150 (B) –120 (C) –72 (D) –60。

12.

設







=

−

+

=

−

0

3

2

0

2 z

y

x

z

y

x

，則x：y：z = (A)1：2：7 (B)5：(–1)：7 (C)2：5：3 (D)1：(–3)：7。

(3)

13.

若

1

4

0

1

2

2 a

b

c

= 2，則

0

1

4

2

3

4

5

0

1

0

2

2 a

b

c

等於 (A) –4 (B) –2 (C)0 (D)2。

14.

設α為方程式 2

log

1 log

1

1 x

x

= 0 之根，則α= (A) 10 (B) 2 1 (C) 10 1 (D) 1。

15.

行列式 899 1 5 0 之值= (A)5 (B) 5− (C)894 (D) 894− 。

(4)

試題解析：

1. 原式 ⇒ 3× − × =x 7 2 10 ⇒ 3x=24 ∴ x= 8 2. 2 10 2 5 2 5 2 5 3 3 0 5 5 a b a b a b c d = × c d = × × c d = × × =

3.

3 x y xy x y xy +  ₌    − =  ⇒ 1 1 3 (1) 1 1 1 (2) y x y x  + =    − =    由(1)+ (2)得 2 4 y = ⇒ 1 2 y= 由(1)− (2)得 2 2 x= ⇒ x= 1 即α = ，1 1 2 β = ∴

(

,

)

1,1 2 α β _{= } _   4. 10 2 2 14 2 2 1 1 1 2 10 2 14 10 2 14 2 2 1 5 1 2 2 10 14 2 10 1 1 5 = = × × × 1 0 0 4 0 56 1 4 0 56 56 16 896 0 4 1 0 4 = × = × = × = 5. 1 1 1 1 0 1 1 a b c a a b c b c a b a b c c a b c a b c + + + + = + + = + + + 6. ∵ 9 2 3 1 24 3 9 2 3 1 2 4 3 9 2 3 1 42 3 x x x x x x x x + + + = + + + + +

(

14 1 2

)

1 2 33 1 2 3 x x x = + + +

(

)

1 0 0 14 1 0 1 0 x x x = + =

(

_x+₁₄

)

_x2 故得

(

)

2 14 0 x+ x = ⇒ x= − 或 0 14 ∴ 方程式所有實數解的和為

(

−14

)

+ = − 0 14 7. 原式=125×80

1 2

1 4

=20000 8. a 2 = b − 4 = 2 1 故a=4，b=–8 ⇒ a+ = − b 4

(5)

9. x：y：z=

2

3

4

2 −

−

：

3 5

2

1 −

：

5

2

1

4 −

=(–8)：13：22

10.

A

11.

5

30

6 a

b

c

d

−

=(–30)(ad–bc)=(–30)×4=–120 12. x：y：z=

2

1

3

1 −

−

：

1 1

1 2

−

：

1

2

3 −

=5：(–1)：7 13.

0

1

4

2

3

4

5

0

1

0

2

2 a

b

c

=(–2)

1

4

0

1

2

2 a

b

c

= (–2)×2= – 4

14.

A 15. 原式 899 0 5 1 0 5= × − × = − = − 5

單元十二 行列式