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(1)

台北市立建國高級中學第六十八期通訊解題解答與評析

6801

甲乙二人玩如下的遊戲：

甲從集合^{¹^,²^,³^,⁴^}中任取一個數，乙向甲問一連串的問題，其中每個問題都是下述類型：

「你所選取的數在不在某個子集中？」，甲只能回答在或不在，而且甲至多只能說一次謊。求證：

(1)乙只須共提

5個問題，在得到甲的回答後，便能斷定甲所選定的那個元素；

(2)為了總能斷定甲所選的數，乙只能提 4

個問題是不夠的。

【解答】

(1)

乙只須向甲提下列5個問題，便可斷定甲所選定的數。

1.

你所選取的數在不在子集^{¹^,²^}中？

2.

你所選取的數在不在子集^{¹^,²^}中？

3.

你所選取的數在不在子集^{¹^,³^}中？

4.

你所選取的數在不在子集^{¹^,³^}中？

5.

你所選取的數在不在子集^{¹^,⁴^}中？

我們將甲的所有不同回答列表於下(全沒說謊或只有一題說謊等

6

種情形)，其中文字未加

上框線(在或不在

)表示未說謊、文字加上框線(

在或不在

)表示那題回答說謊。可知，表中所列

出的甲的

24

組答案互不相同，所以乙可從甲的答案而斷定甲所選的數。

甲所選之數問題1：

} 2 , 1 {

問題2：

} 2 , 1 {

問題3：

} 3 , 1 {

問題4：

} 3 , 1 {

問題5：

} 4 , 1 {

1 在在在在在

1 不在在在在在

1 在不在在在在

1 在在不在在在

1 在在在不在在

1 在在在在不在

2 在在不在不在不在

2 不在在不在不在不在

2 在不在不在不在不在

2 在在在不在不在

2 在在不在在不在

2 在在不在不在在

3 不在不在在在不在

3 在不在在在不在

3 不在在在在不在

3 不在不在不在在不在

3 不在不在在不在不在

3 不在不在在在在

4 不在不在不在不在在

4 在不在不在不在在

4 不在在不在不在在

4 不在不在在不在在

4 不在不在不在在在

4 不在不在不在不在不在

(2)

如果乙只提

4

個問題，由於每個問題的答案只有在和不在兩種，對

4

個問題的所有不同的答案只有

16

種。

另一方面，當甲選定一數時，甲對

4

個問題的答案共有

5

種不同情形(全沒說謊或只有一題

1

(2)

說謊等

5

種情形)，所以甲對乙的

4

個問題的回答共有

20

種可能的答案，但乙此時無法確定甲所選定的數。

【評析】

台中市居仁國中張庭同學、台中市居仁國中郭育丞同學、桃園市新興國中陳宗蔚同學等以數形圖概念列出對於提出問題後各種可能回答情形，並完整討論，邏輯觀念正確。有些同學符號使用不夠明確，較為可惜。

更完整的討論，需要說明只提

4

個問題時，則不能斷定甲所選的數。

6802

阿里巴巴試圖潛入山洞，在山洞入口處立著一面鼓，鼓的側面有

4

個孔，在每個孔的裡面靠近孔口處各裝有一個開關，開關有上和下兩種狀態。如果

4

個開關的狀態全都一致，洞門即可打開。每回允許將手伸入任意兩個孔，觸摸開關以了解其狀態，並可隨意改變或不改變其狀態。但每當這樣做了之後，鼓就飛快地轉動起來，以至在停轉之後無法確認剛才觸動了哪些開關。現允許重複這種步驟

5

回(10次)，求證阿里巴巴必能進入山洞。

【解答】

第

l

回：

將一對相鄰開關扳為上。

第

2

回：

再將一對相對開關扳為向上，於是

4

個開關中至少有

3

個向上，如果洞門沒有打開，

就說明第

4

個開關處於狀態下。

第

3

回：

將手伸進相對的兩個孔，如果碰到向下的開關，則把它扳向上方，即可進入山洞；

如果碰到兩個向上的開關，則把其中之一扳為向下。這樣，4個開關中兩個相鄰的開關向上，另兩個相鄰的向下。

第

4

回：

將手伸進兩個相鄰的孔中，如果遇到的兩個開關狀態相同，他就扳動它們，即可打開洞門；如果遇到的兩個開關狀態不同，則也同時扳動它們。於是

4

個開關中相對兩個狀態相同。

第

5

回：

只要將手伸進一對相對孔中扳動開關就可以進洞了。

【評析】

台中市居仁國中張庭同學、台中市居仁國中廖俊杰同學、台北市民生國中姚驜庭同學等找出解決方法，並依序討論其過程，邏輯觀念正確。

2

(3)

6803

在正方形ABCD內任取一點

E

，連^AE^,^BE，在

 ABE

外分別以^AE,^BE為邊作正方形 AEMN 和EBFG，連^NC,^AF ，證明：NC//AF 。

【解答】

連^ND,^CF 。

(1)

∵

ÂBCD^,ÂEMN^,ÊBFG均為正方形

∴

^^FBC^^^EBA^,^^BAE ^^^DAN，且BF BE,BCBADA

,

^AE ^ ^AN

∴

BFC  BEADNA

(2)

∴

^FC^^EA^^NA^,^^FBC^^^EBA^^^NDA^,^BF ^^BE^^ND 但NDC 與

 FBA

中

∵

^BF ^ ^NA^,^DC ^ ^AB^,^^NDC ^^^NDA^⁹⁰^^^^ABF

∴

NDC FBA

∴

AF CN

(3)

由^AF ^^CN^,^FC^ ^NA知四邊形AFCN 是平行四邊形

∴

^NC^//^AF

【評析】

台北市天母國中謝鎮林同學、台中縣光德國中陳和謙同學、台中市居仁國中郭育丞同學、高雄縣鳳西國中吳孟哲同學、台北市民生國中陳士鈞同學、台中市居仁國中廖俊勛同學、台中市居仁國中張庭同學、台北市民生國中姚驜庭同學、桃園市新興國中陳宗蔚同學、台北市龍門國中謝君宜同學、台中市居仁國中林鈺皙同學等利用三角形全等的概念證明，回答完整，值得鼓勵。但在證明的書寫過程中，若能分段討論，使更容易閱讀，同學將進步更快。

已知

m, n

是自然數，對於

x

的方程式₄_x² _₂_mx__n_₀的兩根都大於

1

且小於

2，

試求

m, n

之值＝？

【解答】

設 ^f⁽^x⁾^ 4x² 2mxn 為開口向上的拋物線，其對稱軸 4

x m，令x1,x2

為

^f ^(x⁾ ^

0

的兩根，依題意1 x₁,x₂ 2，則

m, n

之值應滿足：

²

1 m4 

4m8

A B

D C M

N

G E

F

3

6804

(4)

0 ) 4

(4

2  



 m n

f m

m² 4n

^f⁽¹⁾^⁴^²^m^ⁿ^⁰

^⁴^ⁿ^²^m

^f⁽²⁾^¹⁶^⁴^m^ⁿ^⁰

^¹⁶^ⁿ^⁴^m

依次代入後可知：當

^m^⁶^,ⁿ^⁹滿足題意

【評析】

解題重點： ^f⁽^x⁾^ 4x² 2mxn 為開口向上的拋物線，其對稱軸 4 x m，

利用方程式的根與係數，以及兩根都大於 1

且小於

2，把 m, n

的

範圍一一列出後，可得出

^m^⁶^,ⁿ^⁹。

本題共有

12

人作答，其中得滿分

7

分者有

10

人，另

2

人各自得

2

分及

0

分，

這顯示同學們在二次函數與方程式的應用，相當嫺熟。

求最大自然數

n ,使得 4

²⁰⁰⁹

 4

²⁰⁰⁸

 4

ⁿ是完全平方數

【解答】

如果n2008

] ) 2 ( 2 2 1 [ 4 ) 4 1 4 ( 4 4 4

4²⁰⁰⁹  ²⁰⁰⁸  ⁿ  ²⁰⁰⁸   ⁿ^²⁰⁰⁸  ²⁰⁰⁸   ¹ ⁿ^²⁰⁰⁸ ²

因為

4

²⁰⁰⁸是完全平方數,故[122¹ (2ⁿ^²⁰⁰⁸)²]也是完全平方數易見n2009是一個可能答案

如果n2009

,則

1n2008[122¹(2ⁿ^²⁰⁰⁸)²][122ⁿ^²⁰⁰⁸ (2ⁿ^²⁰⁰⁸)²](12ⁿ^²⁰⁰⁸)²

又[122¹(2ⁿ^²⁰⁰⁸)²](2ⁿ^²⁰⁰⁸)²

故[122¹(2ⁿ^²⁰⁰⁸)²]介於兩個連續正整數的完全平方數之間,不可能是完全平方數.

所以使得

4

²⁰⁰⁹

 4

²⁰⁰⁸

 4

ⁿ是完全平方數的最大自然數n2009

【評析】

本題難度不高,徵答人數有

23

人,除台北市民生國中陳士均, 台中市居仁國中廖俊勛, 台中縣光德國中陳和謙,高雄縣鳳西國中吳孟哲四位同學因為沒有討論n2008的情況,直接將提出

4

2008後的⁽⁴^¹^⁴ⁿ^²⁰⁰⁸⁾當成完全平方數來論述被扣了一些分數外,其餘同學都能獲得滿分.

要知道如果沒有n2008

,則

⁽⁴^¹^⁴ⁿ^²⁰⁰⁸⁾可能為分數,也就不一定是完全平方數了!

題目愈簡易,做答愈要謹慎,請謹記在心! 獲得滿分的有台中市居仁國中張庭同學, 台北市民生國中張育僑同學,台北市民生國中楊佳穎同學,台北市民生國中李瓊薷同學,台中市居仁國中郭育丞同學,台中市居仁國中郭昱廷同學,桃園新興國中陳宗蔚同學,台北縣江翠國中廖浩翔同學, 台北市天母國中謝鎮林同學,台中市居仁國中林鈺皙同學,台北市民生國中姚驊庭同學,台北市民生國中章又珽同學,台北市民生國中李祐年同學,台北縣丹鳳國中張昱政同學,台北市民生國中徐國軒同學,台北市民生國中洪欣均同學,台北市民生國中顏妤靜同學,台北市民生國中李研永同學,台北市民生國中蔣承佑同學

4