105.11.18 範圍2-3 直線與圓班級二年____班姓名座號 - 明誠

(1)

高雄市明誠中學高二數學平時測驗日期：105.11.18 範

圍 2‐3直線與圓班級二年____班姓名

座號

一、填充題(每題10分)

1. 與圓x²y²2x4y 4 0相切且斜率為1之方程式為________.

答案： x  y 3 3 2

解析： (x1)²(y2)²    1 4 4 (x1)²(y2)² 9 2 1 ( 1) 3 12 1

y x

      

2 1 3 2 3 3 2

y x x y

         2. 由點P(8, 5) 對圓C x: ²y²4x6y120作兩切線PA

、PB

，A、B為切點，試求圓與PA

、 PB

所圍之面積為________.

答案： 25 3 ²⁵ 3

 

解析： C: (x²4x 4) (y²6y 9) 25

2 2

(x 2) (y 3) 25

     Q(2, 3),r5

2 2 2 2 2 2 2 2

6 8 10 5

PQ    QA PA  PA

2 100 25 75

PA    PA5 3

30 , 60 120

APQ BPQ AQP BQP AQB

              所求 2 (¹ 5 3 5) ¹( 5 )² 25 3 ²⁵

2 3 3

 

       

3. 如圖，在坐標平面上，圓C與x軸交於A(1, 0), B(3, 0)兩點，

而P點為圓C上異於A, B之另一點，若APB 30 ，則圓C之方程式為________________.

答案： (x2)²(y 3)² 4

解析： ∵AB  3 1 2，∴ ² 2 2 sin 30  R R



又圓心C在AB之中垂線上，設C(2, )k

∵AC²  1² k²  4 R²  k 3

∴C: (x2)²(y 3)² 4

4. 圓C x: ²y²2(a1)x4ya²100 (1)若與x軸相切，則實數a值為________，

(2)若C的另一條切線為L y: mx，m0，則m之值為________.

答案： ^{9 88}, 2 105

解析： [x²2(a1)x (a 1)²][y²4y 4] 2a5

2 2

[x (a 1)] (y 2) 2a 5

       圓心C a( 1, 2)，半徑r 2a5

2 5 2 2 5 4 9

a a a 2

        11 ² ²

: ( ) ( 2) 4

C x 2 y

    

(2)

2 2

2

2 2

2

11 2

2 11

( , ) 2 2 2 1

1 2

11 4 4 1

121 88 16 16 16

105 88 0 88 , 0

105 m

d C L R m m

m

m m

m m m



      



   

    

    



又m0，故取 ⁸⁸ 105

5. 圓(x2)²(y1)² 1及(x3)²(y2)² 4之內公切線之交點為________.

答案： ( , 0)¹ 3

解析： O₁(2, 1),O₂( 3, 2) 

內公切線交點P滿足 ₁: ₂ 1: 2 (^{4 3 2 2}, ) ( , 0)¹

3 3 3

PO PO  P   

29. 自(1, 2)對圓x²y²8x6y200作切線，則切線之方程式 = ________.

答案： x2y 5 0或2x y 0

解析： 1²2² 8 12200，在圓外

(x4)²(y3)²  5²

設切線：y 3 m x(  4) 5 m²1 過(1, 2)代入

2 2

1 3m 5m 5 3m 1 5m 5

         

2 2

(3m 1) 5m 5

   

2 1

2 3 2 0 1)( 2) 0, , 2

m m m m m 2

          

∴x2y 5 0或2x y 0

7. 設A(1,1), (3, 1)B  為坐標平面上兩點，若AB為圓的一弦，且距離圓心為 2，則圓之方程式為

________.

答案： (x3)²(y1)² 4, (x1)²(y1)² 4

解析：取AB之中點M(2, 0)， ^{1 ( 1)} ² 1

1 3 2

mAB      

 

設L為AB之中垂線，m_ABm_L   1 m_L 1

: 0 1 ( 2) 2

L y   x   y x

2 2 2

( , 2) 2 ( 2) ( 2) 2 2 1 3,1

Q t t QM   t  t       t t

2 2

(3,1) (1, 1) 4

Q Q r QA

 或    

2 2 2 2

: ( 3) ( 1) 4 ( 1) ( 1) 4

C x y x y

     或    

8. 點P(6, 2)到圓C x: ²y² 20作切線設切點A, B，則：

(1)此二切點坐標為_________________；

(2)二切線方程式為__________________.

(3)切點弦所在直線方程式____________.

答案： (1)(2, 4), (4, 2) (2)x2y10, 2x y 10(3) 3x y 10 解析： (1)設切點A( , )  ²² 20

(3)

過A之切線L₁為   x  y 20

(6, 2) 1 6 2 20 10 3

P  L       

∴²(10 3 )  ² 2010²60 80 0 ²6  8 0 ( 2)( 4) 0  2 4

      或

 4 2

  或

∴切點A(2, 4), (4, 2)B 

(2)L₁: 2x4y20 x 2y10,L₂: 4x2y202x y 10 (3) 6   x 2 y 203x y 10

9. 已知兩圓C₁:x²y² 1與C₂: (x3)²(yk)² r²的公切線有三條，其中一條公切線的方程式為y 1，則k ________, r________

答案： ⁵, 4

9 4

解析：公切線有三條知C₁與C₂外切如圖，r  k 1

2 2 2

2 2

( 1) 3

( 2) 9

4 5 5

4

5 9

4 1 4

r k

k k

r

   

   

   

10. 過點A(3, 4), (2, 5), (0,1)B C 的圓方程式為________.

答案： x²y²2x6y 5 0

解析：設此圓為x²y²dxey f 0

9 16 3 4 0 3 4 25

4 25 2 5 0 2 5 29

1 0 1

d e f d e f

e f e f

        

 

 

          

       

 







 :d e 4

  

 

: 2d 4e 28 d 2e 14 3e 18

          

 

6, 2, 5

e d f

     

∴x²y²2x6y 5 0

11. 已知m為實數，直線L y: mx1與圓C x: ²y² 1交於A, B兩點，且AB1，則m________.

答案： ³

 3

解析：取M為AB之中點 ¹ AM 2

  ，又OM AB

故直角三角形△OAM中， ² 1² ( )¹ ² ³ ³

2 4 2

OM    OM  又L mx:   y 1 0

2 2

2 2 2

1 1 3

( , )

1 1 2

1 1 3

3 1 2 3 3 4

3 3 3

d O L OM

m m

m m m m

   

 

             

(4)

12. 若點A在圓C₁:x²y²4x2y 1 0上，點B在圓C₂:x²y²2x6y 9 0上，則AB的最短距離為________.

答案： 2

解析： C₁: (x2)²(y1)² 4,C₂: (x1)²(y3)² 1 圓心Q₁( 2,1), r₁ 2,Q₂(1, 3), r₂ 1

2 2

1 2 3 4 5 3 1 2 1 2

Q Q        r r ，即兩圓外離故AB之最短距離為Q Q₁ ₂(r₁r₂)  5 3 2

13. 圓心在直線L: 2x y 3上，且與兩軸均相切的圓方程式為____.

答案： (x1)²(y1)² 1或(x3)²(y3)² 9 解析： 圓心Q₁在第一象限

設C₁: (xr₁)²(yr₁)² r₁²

1 1

( , )r r

 在L上3r₁  3 r₁ 1

2 2

1: ( 1) ( 1) 1

C x y

    

圓心Q₂在第四象限

設C₂: (xr₂)²(yr₂)² r₂²

2( ,2 2) Q r r

  在L上2r₂  r₂ r₂ 3

2 2

2: ( 3) ( 3) 9

C x y

    

14. 過點P(1, 2) 且與圓C x: ² y²2x4y15相切的直線方程式為______.

答案： x2y 5 0

解析： P(1, 2) 在圓C x: ²y²2x4y15上

1 2

1 ( 2) 2( ) 4( ) 15

2 2

x y

x y   

      ，即x2y 5 0

15. 若點A(0, 1) 位於圓x²y²2x4y 1 0之內部，求過A點的弦中點所形成之圖形方程式 ________.

答案： x²y²   x y 2 0

解析： x²y²2x4y  1 0 (x1)²(y2)² 4 所求即是以(1, –2)以及(0, 1)為直徑之圓方程式

2 2

(x 1)(x 0) (y 2)(y 1) 0 x y x y 2 0

            

16. P(0, 3)是圓C x: ²y²2x8y120內一點，在過P的弦中，

最短的弦所在的直線方程式為________.

答案： x y 3

解析： C: (x1)²(y4)² 5，∴圓心Q(1, 4)

如圖，所求即與PQ垂直之直線(AB弦所在直線)

又PQABm_PQm_AB  1， ^{4 3} 1 1

PQ 1 0 AB

m    m  



: 3 ( 0) 3

AB y      x x y



(5)

17. 圓(x2)²(y1)² 1對直線x  y 2 0對稱的對稱圓方程式___.

答案： (x1)²(y4)² 1

解析：先求圓心(–2, 1)關於直線x  y 2 0之對稱點 (1)過(–2, 1)與x  y 2 0之垂直線為：x  y 3 0

(2) 2 0

3 0 x y

x y

  

   

 相交於點( ^{1 5}, )

2 2 (3)對稱點為(1, 4)

(4)對稱圓之圓心(1, 4)，半徑仍為1對稱圓方程式為(x1)²(y4)² 1 18. 求點(2, –3)到圓x²y² 8x6y0之切線段長 = ________.

答案： 15

解析： d  4 9 16 18    15

19. 自P(3, 4)向圓x²y²2x4y 11 0作二切線，其切點為A, B，則AB________.

答案： 8 5

解析： AB: 3x4y 2 3 2 x

  4² 4 2 y

  11 0 3x 4y x 3 2y 8 11 0

        4x 2y 16 0 2x y 8 0

       

 6 4 8 2

( , )

4 1 5

d P AB  

 



 ，切線段長 9 16 6 16 11    2

所求 4 4 8

2 4 2

5 5 5

AB    

20. 已知圓C: (x4)²(y6)² 9，有一光線從P(2, 2) 出發，碰到y軸後反射到圓C的圓周上，則此光線行進的最短距離為_____________.

答案： 7

解析：圓心Q(4, 6)，半徑r3

取P關於y軸之對稱點P  ( 2, 2)，所求即P Q r

2 2

6 8 10

P Q    ，∴P Q  r 10 3 7

21. 設一圓之圓心在直線2x y 0上，且通過點A(1, 0)及B(3, 2)，則此圓方程式為______________.

答案： (x1)²(y2)² 4

解析：圓心在2x y 0上，設圓心O t( , 2 )t 又A, B在圓上OAOB

2 2 2 2

(t 1) (2 )t (t 3) (2t 2)

       1

 t ，圓心O(1, 2)，半徑= 2

圓方程式為(x1)²(y2)² 4

22. 若直線L y:  x 2與圓C x: ² y²10x2y0交於A、B二點，

則以AB為直徑之圓方程式為___________.

答案： x²y²4x8y120 解析： Sol一

(6)

將y x 2代入

2 2 2

( 2) 10 2( 2) 0 2 8 0 2 ( 4) 0

x  x  x x   x  x  x x   x 0, 4 y 2, 6 (0, 2), (4, 6)

A B



2 2

( 4) ( 2)( 6) 0 4 8 12 0

x x y y x y x y

            Sol二

設所求圓為(x²y²10x2 )y k x(  y 2)0

即x²y² (k 10)x (k 2)y2k 0且圓心( ¹⁰, ²)

2 2

k k

 在x  y 2 0上

10 2

( ) ( ) 2 0 10 2 4 0, 6

2 2

k k

k k k

 

            所求 x²y²4x8y120

23. 在坐標平面上(0, 5)處有一光源，將圓x²(y1)² 1投射到x軸的影長____________.

答案： ^{2 15} 3

解析：設切線ymx5代入x²(y1)² 1

2 2

( 5 1) 1

x mx

    

2 2

(m 1)x 8m 15 0

    

又D 0 64m²4(m²  1) 15 0 15

  m

切線y 15x5交x軸於 5 ( , 0) E  15

y  15x5交x軸於 5 ( , 0)

15 D

影長 10 2

3 15 DE 15 