106.05.26 範圍3-2 機率(A) 班級一年____班姓名座號1 - 明誠

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗       日期：106.05.26  範 

圍  3‐2機率(A)  班級  一年____班 姓 名

  座號   

一、填充題(每題10分)

1. 袋中有2紅球、2白球，同時取2球，則兩球同色的機率是 . 答案： ¹

3

解析： 2紅或2白

2 2

2 2

4 2

2 1

6 3

C C

P C

   

2. (1)甲、乙二人玩剪刀、石頭、布時，二人平手的機率為___________，

(2)若改為甲、乙、丙三人玩，三人平手的機率為___________.

答案：(1) 1 3,(2)1

3

解析：( 1)兩人出同拳： ^{3 1} 3 33



(2)三人出同拳或三人皆不同拳： ^{3 3! 9 1}

3 3 3 27 3

  

 

3. 有2組學生，A組有2位男生，3位女生，B組有4位男生，1位女生，將2組共10位同學中，

任選出3人當幹部，則3位幹部中，必含女生的機率為___________.

答案：⁵ 6

解析： 正面作法：3女+2女1男+1女2男

4 4 6 4 6

3 2 1 1 2

10 3

C C C C C

P C

 

 ^{4 36 60}

120

 

 5

 6 反面作法：

6 3 10 3

1 C

P C (全部男生) 1 ²⁰

 120 5

6

4. 箱中有2個白球，2個黑球，2個紅球，共6個球，今先從箱中取2個球放入甲袋，同時再取 2個球放入乙袋，最後剩2個球放入丙袋，則

(1)甲袋中2球皆為紅球之機率為____________.

(2)甲袋中兩球不同色之機率為____________.

(3)每袋中的球皆不同色之機率為____________.

答案： (1) ¹

15 (2)⁴

5 (3) ⁸ 15 解析： (1)

2 2 6 2

1 15 P C

C 

(2) 甲袋中兩球不同色(全兩球同色)即

3 2

1 4

1 3

15 5

P   

↓ ↓ 種顏色

球同色

(3)若事件A B C, , 分別表甲袋，乙袋，丙袋兩球同色之情形

2 2 6 2

1 1

( ) ( ) ( ) 3 3

15 5

P A P B P C C

  C    

( ) ( ) ( ) ( ) P AB P BC P CA P A B C

2 2 2

2 2 2

6 4 2

2 2 2

3! 1 3! 15 3!

C C C C C C

  

 

  

∴ ( ) ^{1 1 1 1 1 1 1 7} 5 5 5 15 15 15 15 15 P A B C        

( ) 1 ( ) 8

P A B C P A B C 15

       

5. 擲三顆公正的骰子，求：

(1)三個點數和為10的機率_________.

(2)三個點數均相異的機率為__________.

(3)三個點數的積是5的倍數之機率為___________.

(4)三個點數成等差的機率為__________.

答案： (1)¹ 8 (2)⁵

9(3) ⁹¹ 216(4) ⁷

36

解析： (1)點數和為10的有：(1,3,6),(1, 4,5),(2, 2,6),(2,3,5),(2, 4, 4),(3,3, 4) 六大類

共 3!

3! 3 3 27

 2!  種 27₃ 1 6 =8



(2)

6 6

3 3

3 3

3! 5

6 6 9.

C   P 

(3) 5的倍數必含因數5 (5,5,5) 3個5有1種,

(5,5, ),(5, ,5),( ,5,5)□ □ □ 2個5有5 3 15  種，

(5, , ),( ,5, ),( , ,5)□□ □ □ □□ 1個5有5² 3 75種,

∴共有91種，所求機率為 ⁹¹ 216

(4)公差為0有(1,1,1),(2, 2, 2),(3,3,3),(4, 4, 4),(5,5,5),(6,6,6) ：共6種 公差為1有(1, 2,3),(2,3, 4),(3, 4,5),(4,5,6)：共有4 3! 24  種 公差為2有(1,3,5),(2, 4,6)：共有2 3! 12  種

共有42種，所求機率為 ^{42 7} 216 36

6. 甲、乙、丙、丁、戊、己、庚7人排成一列，則甲、乙、丙3人互不相鄰的機率為 . 答案： 2

7

解析： 先排丁、戊、己、庚再插空隙排甲、乙、丙

5

4! 3 2

7! 7

P 

7. 將四對夫婦共8人平分成四組，則每組中恰有一男一女的機率為______.

答案： ⁸ 35

解析： 8人平分成四組

8 6 4 2

2 2 2 2

4!

C C C C

4位先生平分成四組4位女生排列配對

4 3 2 1

1 1 1 1

4! 4!

C C C C 

4 3 2 1

1 1 1 1

8 6 4 2

2 2 2 2

4! 4!

4!

C C C C

P C C C C

   

   

24

105 8

35

8. 從印有數字1, 2,…,12的12張卡片中，任取4張，則：

(1)數字最小一張為7的機率為___________.

(2)數字最大一張為7的機率為___________.

(3)數字最大一張為10，最小一張為3之機率為___________.

答案： (1) ²

99 (2) ⁴

99 (3) ¹ 33 解析： (1) 比7大的挑3張

1 5

1 3

12 4

10 2

495 99 P C C

C

   

(2) 比7小的挑3張

1 6

1 3

12 4

20 4

495 99 P C C

C

   

(3) 比3大比10小的挑2張

1 1 6

1 1 2

12 4

15 1

495 33 C C C

P C

 

  

9. 一袋中放有5顆編號為1到5號大小相同的球，重複自袋中取球三次，每次取一球，取出記錄 後放回，依次可得x、y、z三個號碼，則

(1)滿足x y z的機率為______，

(2)若改為取出不再放回，則滿足x > y > z的機率為______.

答案： (1) 7 25,(2)1

6 解析： (1)

5 5 3 1

3 3

3 3

7

5 5 25

H C ^{ }

 

(2)

5

3 1

5 4 3 6

C 

 

10. 投擲一顆公正骰子3次，出現的點數分別為a b c, , ，若以a b c, , 為△ABC的三邊長，

(1)△ABC為正三角形之機率為__________.

(2)△ABC為等腰三角形之機率為__________.

答案： (1) ¹

36 (2)²³ 72

解析： (1)( , , )a b c (1,1,1), (2, 2, 2),

…

a 6 5 4 3 2

b 6 5 4 3 2

c 1～5 1, 2, 3, 4, 6 1,2,3,5,6 1,2,4,5 1,3 (5 5 5 4 2) 3!

    2! 21 3 63

三同：a  b c 6 ,(正三角形也是等腰三角形) 故 3

63 6 69 23

6 216 72

P   

※11. 設A、B兩箱中，A箱內有二球，一黑一白，B箱內有一白球．甲、乙兩人輪流取球，每 次先由甲自A箱內任取一球，放入B箱內，再由乙自B箱內任取一球，放入A箱，這樣稱為一 局．經過n局後，A箱內兩球為一黑一白的機率為P n( )，而P n(  1) rP n( )s，試問數對

( , )r s  . 答案： ( , )^{1 1}

4 2

解析： 每一局中，甲箱內的二球為 1 黑 1 白或 2 白 (1)

1 1 1

1 1 1 1

1

2 1 1

1 1 1

2 2 4

1 1

2 1 2

   

   

黑 黑 白 黑 白 黑 白

白 白 黑 白

甲 乙 甲 乙 甲





若甲箱內原為 1 黑 1 白，經一局操作後，仍為 1 黑 1 白之機率 ^{1 1 3}

4 2 4

   (2) ^{1 1}

1 1

2 1 1

1 1 1 2 2

^白 ^黑   

白 黑 白 黑 白

甲 乙 甲

若甲箱內原為 2 白，經一局操作後，變為 1 黑 1 白之機率 ¹

 2

3 1

( 1) ( ) [1 ( )]

4 2

P n P n   P n  1 1 4P n( ) 2

  1 1

( , ) ( , ) r s 4 2

 

12. 寫有1, 2, 3, 4,…, 9各數字之9張卡片中任取兩張，則 (1)二數字皆為奇數之機率為______.

(2)二數字之和為偶數之機率為______.

(3)二數字之積為偶數之機率為______.

(4)二數字之積為完全平方或完全立方之機率為______.

答案： (1) ⁵ 18(2)⁴

9(3)¹³ 18(4) ⁷

36 解析： (1)

5 2 9 2

5 18 C C  (2)

4 5

2 2

9 9

2 2

4 9

C C

C  C 

兩個偶數 兩個奇數

(3)

5 2 9 2

1 13

18 C

 C 

兩個奇數

(4)(1, 4, 9)任取2個C₂³ 3──為完全平方 (1,8), (2, 4), (3, 9), (2,8)

完全立方 完全平方

,所求 ⁷

36

13. 袋中有1, 2, 3,…, 10號球各一個，任意取出三球，則

(1)三球號碼連續的機率為______.

(2)任二數不連續的機率為______.

答案： (1) ¹

15(2) ⁷ 15

解析： (1) (1, 2,3),(2,3, 4),(7,8,9),(8,9,10)共8種： ₁₀

3

8 1

15 C  ,

(2)□ □ □ □ □ □ □沒被選中的7數間的8個空隙插入被選中的三數：

10 3 1 3

10 3

7 15 C

C

  

14. 甲，乙，丙，丁，戊等 5 名交流學生被任意分配到A，B，C三個不同的班級上課一週，設每 個班級至少分配到一人，求甲，乙，丙三人同在A班的機率為何？答： .

答案： ¹ 75

解析： 每個班級至少分配到一人的方法有3⁵C₁³ 2⁵ C₂³ 1⁵ 150種，

甲，乙，丙三人同在A班、丁、戊分別於B，C兩班方法有1 2!=2 種 所求 ^{2 1}

150 75

 

15. 從1, 2, 3,…, 8, 9等9個數字中，任取4個數字，則 (1)此4個數的乘積為3的倍數的機率是___________.

(2)此4個數中，奇數有2個以上的機率是__________.

答案： (1)³⁷

42 (2)⁵ 6 解析： (1)

6 4 9 4 3

1 C

P  C

全部

不為 的倍數

1 15

9 2 7

    1 5

 42 37

42

(2)

1 3 4

5 4 4

1 3 4

9 4

1 C C C

P C

 

 

奇 偶 偶

1 21

 6 21



5

 6

16. 一袋中有編號1～10號的10張卡片，今從中取出5張，若卡片中出現最大的數字為9的機率 是P₁，出現最大的數字為8的機率是P₂，則 ¹

2

P

P ___________.

答案： 2

解析： 比9小的挑4個數

8 4

1 10

5

P C

C 比8小的挑4個數

8 4

2 10

4

P C

C

8 4

10 8

5

1 4

7 7

2 4 4

10 5

8 7 6 5 7 6 5 4 2 C

C

P C

P C C

C

  

   

  

17. 若n為自然數，一袋中有紅球4n個，白球2n個，從中隨機取出2個，若取得同色球之機率為 P1，取得異色球之機率為P₂，且 ¹

2

59 48 P

P  ，則n___________.

答案： 18 解析：

4 2 4 2

2 2 1 1

1 6 2 6

2 2

,

n n n n

n n

C C C C

P P

C C

 

 

4 2

1 2 2

4 2

2 1 1

n n

n n

P C C

P C C

  



4 (4 1) 2 (2 1)

2 2

4 2

n n n n

n n

  

 

10 3 59

8 48

n n

   59n60n18 n 18 18. 同時投擲5個公正骰子，則：

(1)至少出現1個1點的機率為__________.

(2)點數最小為2點的機率為__________.

(3)出現點數最小為2點，最大為5點的機率為__________.

答案： (1)⁴⁶⁵¹

7776(2)²¹⁰¹

7776(3) ²⁸⁵ 3888

解析： (1)全部扣掉完全沒有出現1點： 1 ₀⁵( )^{5 5} 1 ^{3125 4651}

6 7776 7776

P C    (2)

5 5

5

5 4 3125 1024 2101

6 7776 7776

P  

  

55：出現點數為2, 3, 4, 5, 6(最少2) 45：出現點數為3, 4, 5, 6(無2) (3)

2~5 2 5 2 5

5 5 5 5

5 5 5 5

4 3 3 2

( )

6 6 6 6

P   

點數 無 無 無 且無

5 5 5

5

4 2 3 2

6

  



1024 486 32 570 285

7776 7776 3888

 

  

19. 阿彬和阿明經常一起打桌球，根據過去的經驗知：阿明獲勝的機率為²

3，今天他們兩個要來一 場年終決賽，至於是三戰兩勝( )A 或五戰三勝( )B 的賽制則由你決定，由於你和阿彬是很好的 朋友，你希望他有機會勝出，所以幫他算出兩種賽制中阿彬勝出的機率分別( )A 為P₃及( )B 為P₅， 並建議採用賽制 ，因為P₅P₃ .

答案： ( ); ⁴ A 81

解析： 阿彬（每場）獲勝的機率為¹ 3 (A)三戰二勝制：

2 比 0 ₂² 1 ² 1

( )3 9

C 

彬彬

2 比 1  ¹²

1 1

1 4

( )( ) ( )

3 3 3 27

_ _ 2 1

C  

明 彬

彬

3

1 4 7

9 27 27

  P  (B)五戰三勝制：

3 比 0 ₃³ 1 ³ 1

( )3 27

C 

彬彬彬

3 比 1  ^{23 2}

1 2

1 2

( )( )2 1 3 3 ( )

_ 3 27

_ C  

明 彬

彬

3 比 2 ₂^{4 2 2}

2 2

1 8

( ) ( ) ( )

_ _ _ 3 1

_ 8

2

3 3 1

C  

明 彬

彬

5

1 2 8 17

27 27 81 81

 P   

5 3

4 P P  81

 ，建議阿彬採用(A)三戰兩勝制

20. 有n個人玩擲一顆骰子的遊戲，請問至少要有______人參加，才會有「至少一人擲出一點的機 率高於90%」. (log 20.3010, log 30.4771)

答案： 13

解析： 1 ( )⁵ 0.9 6

P  n  ( )5 0.1

6

 n 

log( )5 log 0.1 6

 n 

log5 1 n 6

  

(log 5 log 6) 1

n   

[(1 log 2) (log 2 log 3)] 1

n     

[1 2 0.3010 0.4771] 1

n      ( 0.0791) 1

 n   1 12.6 0.0791

 n  ，∴n13

21. 明誠高中舉辦2017校際網球單打賽，由全校排名第1至排名第8（各名 次恰1人，無並列）的選手參賽，如果比賽講求實力，不考慮運氣，也 就是排名在前的，對戰必勝，比賽採用單淘汰制，賽程如右圖．若賽程 隨機抽籤決定，則排名第3的選手能參加最後一場的冠亞軍決賽的機率 為 .

答案： ² 7

解析： 所求P(排名第3的選手能參加最後一場的冠亞軍決賽)

P(第3名在冠亞軍賽前都不會遇到第1名與第2名)

4~8 2 3

5 3 4 2 2

2 3 2 2

8 4 4 2 2

4 4 2 2

( ) ( 1)

2! 2

1 1 7

( ) ( )

2! 2!

C C C C

C C C C

   

 

    

名分成 、 兩組

22. 今有12個紅球，12個白球，共24球，平均放入 A箱與B箱中，此時，從A箱中任取2球，

2球皆為白球之機率為¹⁴

33，由此可知A箱中有__________個紅球.

答案： 4

解析： 設A箱有n個紅球

12 2

12 2

14 (12 )(11 )

33 12 11

C n n n

C

  

 

 56 n2 23n 132

   

2 23 76 0

n n

   

(n 4)(n 19) 0

    ，又n12，故n4

23. 同時投擲3顆公正骰子，若出現點數為( , , )a b c ，則(a b b c c )(  )( a)0之機率為 . 答案： ⁴

9

解析： 所求 P a b c( , , 至少2個相同)

(

P 全部 ( )) 1 ^{6 5 4}₃ 1 ^{5 4}

6 9 9

a b c a  

        

24. 擲一顆公正的骰子四次，其出現點數依次為a、b、c、d,則 (1)(a b b c c )(  )( d)0之機率為______；

(2)(a b b c c )(  )( d d)( a)0之機率為______；

(3)(a3)² (b 3)² (c 3)²(d3)² 4之機率為______.

答案： (1)¹²⁵ 216(2)³⁵

72(3) ¹ 54 解析： (1)ab且bc且cd

視為六種不同顏色，來塗右圖，相鄰不同色

4

6 5 5 5 125

6 216

P    

(2)ab且bc且cd 且d a

視為六種不同顏色，來塗右圖，相鄰不同色

, ,

4

6 1 5 5 6 5 4 4 25 80 105 35

6 216 216 72

a c a c

P           

同色 異色

(3)所求為1²   1² 1² 1² 4或2²0²0²0² 4二類

a  3 1,b  3 1,c  3 1,d  3 1a b c d, , , 2或4 ( , , , )a b c d 有2⁴ 16種

a1或5, b  c d 3有2種即 (1,3,3,3), (5,3,3,3) ( , , , )a b c d 有2 ^4! 8

3! 種

∴ ^{16 8}₄ ²⁴₄ ⁴

6 6 216

P    1

54

25. 某一水果商批發了10箱水梨，從中任選2箱做農藥檢驗，若驗出任一箱水梨的農藥過量，則 整批退貨.已知10箱中有3箱水梨所含的農藥過量，則這批水梨被退貨的機率為______.

答案： ⁸ 15

解析： 至少一箱農藥超量

3 3 7

2 1 1

10 2

3 21 24 8

45 45 15

C C C

P C

  

   

26. 有紅、黃、藍三色卡片各3張，上面各有編號1, 2, 3，今從這9張卡片中任取3張，則這3張 卡片上的數字和為3的倍數的機率為____________.

答案： ⁵ 14

解析： 1 1 1  3, 2  2 2 6, 3 3 3   9 3種 又1 2 3   6 3³ 27種 ,故 ₉

3

3 27 30 5 84 14

P C

   

27. 自一副撲克牌52張中任取5張，則5張牌成為「富而好施」(Full house)，即點數如( , , , , )x x y y y 的形式，但x y, 是不同點數的機率為 .

答案： ⁶ 4165 解析：

13 4 12 4

1 2 1 3

52

6 4165 C C C C

P C

  

 

a b c d

a b d c

28. A, B兩袋中各裝有編號為0, 1, 2, 3, 4, 5的6張卡片，今從A, B兩袋中各取一張，則取出的2 張卡片上數字和恰為7的機率為__________.

答案： ¹ 9

解析： 所求即(2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2)共4種情形 _{6 6}

1 1

4 1

P 9

C C

 



29. 將6個不同的紅球，3個不同的白球，全部任意分給3個小朋友，每人3個球，則每個小朋友 都分到一個白球的機率為 .

答案： ⁹ 28

解析： 先分白球1人1個：3! 6 ，紅球平分給3人：

6 4 2

2 2 2 3!

3!

C C C 

6 4 2

2 2 2

9 6 3

3 3 3

6 3!

3! 9 3! 28 3!

C C C

P C C C

 

 

  

  

30. 袋中有同式樣，同大小（分左右手）的手套，白色3雙，黑色2雙，從中任取4隻，則恰成2 雙之機率為 .

答案： ²³ 105

解析：

2 2 1 1

3 3 2 2 3 3 2 2

2 2 2 2 1 1 1 1

10 4

9 1 36 23

210 105

C C C C C C C C

P C

        

  

雙白 雙黑 雙白 雙黑

31. 從1～9等9個數中任選相異3數，組成一個三位數，則 (1)此三位數為偶數的機率為__________.

(2)此三位數為3的倍數之機率為__________.

(3)此三位數為4的倍數之機率為__________.

答案： (1)⁴

9 (2) ⁵

14 (3)² 9 解析： (1)

2 4 6 8

↓

、

、

、

□□□

8 2

9 9

3 3

4 4 8 7 4 8 7 4

9 8 7 9

P P

P P

    

   

  (2)設被3除餘1的集合A{1, 4, 7}

設被3除餘2的集合B{2, 5,8}

設被3整除的集合C {3, 6, 9}

則此三位數為3的倍數有1 1 1 , 3 , 3 , 3A B C A B C四種情形

3 3 3 3

1 1 1 3

9 3

3! 3 3!

C C C C

P P

     

 ^{27 6 3 6}

9 8 7

  

  

180 5

9 8 7 14

 

 

(3)末兩位為4的倍數：

□12, □16, □24, □28, □32, □36, □48, □52,

□56, □64, □68, □72, □76, □84, □92, □96

7 1 9 3

16 16 7 2

9 8 7 9 P C

P

 

  

 

32. 一袋中標有10,11,…,99等二位數的90個球，從中任取一球，則它的號碼是2或3或5的倍數 的機率為__________.

答案： ¹¹ 15

解析： 設A：出現2的倍數，B：出現3的倍數，C：出現5的倍數，

即





A … n A  2  ,





B … n B  3  ,





C n C 5

 …   

……….

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

n A B C n A n B n C n AB n BC n CA n A B C 45 30 18 15 6 9 3      66

66 11 90 15 P 

33. 小惠、阿海、小明和婷婷四個人一起去電影院看鋼鐵人5，已知某一排共有10個相連的空位，

四人決定從中各選一個空位來坐，則：

(1)四個人相鄰而坐的機率為 .

(2)四個人中恰兩人相鄰而坐的機率為 .

答案： (1) ¹ (2)¹ 30 2

解析： (1)4 人相鄰：(1, 2, 3, 4) (2, 3, 4, 5)

 (7,8, 9,10) 所求 ₁₀

4

7 4! 1 30 P

  

(2)     _^{     }

所求

2 ,1 ,1

4 2 7

4 7

2 3

10 4

2! 1

2

C p

p

 

 

 ^{將 人 人 人}

人選 人相鄰 排入 個空隙中

34. 從一副洗均勻的撲克牌（52張）中抽出五張牌，試問：

(1)若這五張牌「順子」（五張數字連號，且J Q K, , 不能作最小的數字）的機率為 ₅₂

5

a

C ，則a .

(2)若這五張牌「同花」（五張花色相同）的機率為 ₅₂

5

b

C ，則b . 答案： (1)9216(2)5148

解析： (1)五張牌之點數為五連號，其中『J』表點數11，『Q』表點數12，『K』表點數13，「A」

表點數14，最大的順為「10 J Q K A」，最小的順為「2 3 4 5 6」。 所求機率

5 52 5

4 9

C

  ，故a9216

(2)五張牌為同一花色，如同為花色『黑桃

♠ 』

所求機率

13 5 52 5

4 C C

  ，故b5148

35. 一盒中有12顆球，球上分別印有號碼1到12，今由盒中任取5球，則5球之號碼中，第二大 數目是9之機率為__________.

答案： ⁷ 33 解析：

8 1 3

3 1 1

12 5

C C C

P C

 

 ^{56 3}

12 11 10 9 8 1 2 3 4 5

 

   

   

56 3 12 11 6

 

  7

33

36. 擲一顆公正的骰子4次，則點數和為9的機率為 . 答案： ⁷

162

解析： 設骰子的點數依序為x x x x₁, ₂, ₃, ₄

所求同義於求x₁  x₂ x₃ x₄ 9的正整數解

4 4 5 1 8

9 1 1 1 1 5 5

4 4 4

7

6 6 6 162

H _{   } C ^{ } C

   

37. 一袋中有1顆1號球，2顆2號球，3顆3號球，4顆4號球，5顆5號球，共15顆球. 今自 袋中任取2球，則此2球為不同號的機率為__________.

答案： ¹⁷ 21

解析： 2球為同號的機率為

5 4 3 2

2 2 2 2

15 2

10 6 3 1 20 4

15 7 15 7 21

C C C C

P C

     

   

 

4 17 1 21 21

  P 