高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：104.10.01 範
圍
1‐2絕對值
班級 一年____班 姓 名
座號 一、填充題(每題10分)
1.下列拋物線1：y 2 3
1x 1﹐2：y 2 2
1x 2﹐3：y 2x2 1﹐4：y 3x2 x﹐
(1)開口最小的是____________﹒ (2)開口最大的是____________﹒
解答 (1)4最小;(2)1最大
解析 y ax2 bx c﹐| a | 愈大﹐開口愈小
由於3 1
2
1 | 2 | | 3 |﹐故1的開口最大﹐4的開口最小
2.設k為實數﹐若二次函數f (x) x2 4x (k 1)﹐在0 x 3時﹐有最大值2015﹐求k之值為______﹒ 解答 2014
解析 f (x) x2 4x (k 1)（0 x 3） (x 2)2 (k 3) 當x 0時﹐有最大值k 1 2015 k 2014 3.拋物線y ax2 bx c，若a 0，b 0，c 0，則
(1)頂點在第____________象限內。 (2)拋物線必不通過第____________象限。
解答 (1)一或四;(2)二 解析 y ax2 bx c a (x
a b 2 )2
a ac b
4
2 4 ，頂點(
a b 2 ，
a ac b
4
2 4 )
∵ a 0，b 0 ∴ a b
2 0 頂點在y軸右邊 a 0 開口向下，c 0 與y軸交點在x軸下方
但b2 4ac正負不定，故頂點在一或四象限內，拋物線不過第二象限
4.有一二次函數y f (x)滿足f (0) 2﹐f (1) 6﹐f (1) 0﹐則f (x)之最小值為____________﹒
解答 4 1
解析 令f (x) (x 1)(ax b) ∵ f (0) 2 b 2
又f (1) 6 2(a b) 6 ∴ a b 3﹐故a 1 故f (x) (x 1)(x 2) x2 3x 2 (x
2 3)2
4 1
4
1﹐故f (x)之min為 4 1
5.若二次函數y ax2 bx在x 1時有最小值 a
1﹐則3a b之值為____________﹒
解答 1
解析 y ax2 bx在x 1時有最小值
a 1
y a (x 1)2 a
1且a 0 y ax2 2ax a a 1
比較係數﹐得b 2a且a a
1 0 ∴ a2 1 a 1﹐b 2故3a b 3 2 1
6.設f (x) 2 | x 3| 5﹐
(1) x 為任意實數時﹐f (x)的最小值為____________﹒
(2) 1 x 2時﹐f (x)的最小值為____________
(3)承上題﹐f x( )的最大值為____________﹒
解答 (1) 5;(2)最小值 1;(3)最大值5 解析 f (x) 2 | x 3| 5
(1) x為任意實數時﹐| x 3 | 0 f (x) 5﹐最小值 5﹐沒有最大值 (2)(3)若 1 x 2﹐則當x 1時﹐f ( 1) 2 | 1 3 | 5 1為最小值
當x 2時﹐f (2) 2 | 2 3 | 5 5為最大值
7.某電影院的每張票價200元時﹐觀眾有600人﹐若票價每減少10元時﹐則觀眾就增加50人﹐則 每張電影票價訂為____________元時﹐可使電影院的收入最多﹒
解答 160
解析 設票價減10x元時﹐可使收入最多
收入 (200 10x)(600 50x) 500( x2 8x 240) 500[ (x 4)2 256]
當x 4﹐即票價為200 10 4 160元時﹐收入最多 8.已知f為N→N之函數且f (n) 2 5
( ( 3)) 6
n n
f f n n
，
， ﹐則f (6) ____________﹒
解答 7
解析 f (6) f ( f (3)) f (3 2) f (5) 5 2 7
9.將y x2 2x 2之圖形向右平移2單位﹐再向下平移3單位﹐若所得圖形之方程式為y ax2 bx
c﹐則c _______﹒
解答 1
解析 y x2 2x 2向右平移2單位﹐向下平移3單位
y 3 (x 2)2 2(x 2) 2 y x2 2x 1 c 1
10.將拋物線y (x 1)2沿直線y x向東北方向移動﹐在第一次經過點A(4﹐9)時﹐所得新拋物線方 程式為____﹒
解答 y (x 6)2 5
解析 設y (x 1)2向右平移k單位﹐再向上平移k單位時第一次經過A(4﹐9)
即y (x 1 k)2 k過A(4﹐9)﹐k取最小正值
∴ 9 (4 1 k)2 k ∴ k 0或5﹐取最小正值k 5
∴ y (x 1 5)2 5﹐即y (x 6)2 5為所求
∵ y f (x)有最大值 ∴ a 1﹐b 6﹐即(a﹐b) (1﹐6)
11.某次考試分數普遍不理想﹐但因為大家平常都很努力﹐許老師想用一個線型函數﹐將原本最低 30分調高成60分﹐原本最高60分調高為100分﹐求 (1)此線型函數 f x( )___________﹒ (2) 原本42分調整後成為___________分﹒
解答 (1)4 20 3x ;(2)76
解析 (1)設此線型函數 f x( )axb由題意知 f(30) 60
f(60) 100 4
a3﹐b20 ∴ ( ) 4 20 f x 3x (2) (42) 4 42 20 76
f 3
12.設二次函數y ax2 bx 6在x 2時﹐有最小值 2﹐且此函數的圖形與x 軸交於P﹐Q兩點﹐與y軸交於R點﹐試求此△PQR的面積為____________﹒
解答 6
解析 由題意﹐設f (x) a(x 2)2 2 ax2 4ax (4a 2)
故ax2 bx 6 ax2 4ax (4a 2)
2 4 6
4 a
a
b 得
8 2 b
a y 2x2 8x 6
令y 0 2x2 8x 6 0 x 1﹐3﹐即P(1﹐0)﹐Q(3﹐0) 令x 0 y 6﹐即R (0﹐6)﹐則△PQR之面積
2
1 PQ高
2
1 2 6 6
13.設一拋物線y x2 ax b﹐其中a﹐b皆為實數﹐若通過(3﹐2)且頂點在直線L：x y 1 0上﹐
求
數對(a﹐b) ____________﹒（有兩組解）
解答 ( 4﹐5)﹐( 6﹐11)
解析 (3﹐2)代入y x2 ax b b 3a 7 ……
則y x2 ax b x2 ax ( 3a 7) (x 2
a)2 3a 7 4 a2
頂點( 2
a﹐ 3a 7 4 a2
)代入x y 1 0 a2 10a 24 0
即(a 4)(a 6) 0﹐a 4或 6代入得b 5或11 ∴ (a﹐b) ( 4﹐5)或( 6﹐11) 14.函數f (x) | x 1 | | x 2 | x 5之最小值為____________﹒
解答 7
解析 f (x) | x 1 | | x 2 | x 5﹐x 1﹐ 2分割數線為3部分
x 2時﹐f (x) (x 1) (x 2) x 5 3x 4
2 x 1時﹐f (x) (x 1) (x 2) x 5 x 8
x > 1時﹐f (x) (x 1) (x 2) x 5 x 6
圖形為一折線﹐折點為( 2﹐10)﹐(1﹐7) ∴f (x)的最小值為7 15.設f (x) 2345x 56789﹐則
3210 4321
) 3210 ( ) 4321 (
f
f 之值為____________﹒ 解答 2345
解析 ∵ f (x)圖形為一直線﹐通過點A( 4321﹐f ( 4321))﹐B( 3210﹐f ( 3210))
∴ 其斜率為
3210 4321
) 3210 ( ) 4321 (
f
f 2345
16.x R﹐則f (x) (x2 2x 5) 2 2(x2 2x 5) 7的最小值為____________﹒
解答 31
解析 令k x2 2x 5 (x 1)2 4 4 f (x) k2 2k 7 (k 1)2 6
∵ k 4 ∴ k 1 5 (k 1)2 25 (k 1)2 6 31 即f (x) 31 ∴ f (x)之最小值為31
17.x R﹐則函數g (x) (x 1)2 2(x 2)2 3(x 3)2 … 10(x 10)2有最小值時﹐x之值為_______﹒ 解答 7
解析 g (x) (1 2 3 … 10)x2 2(12 22 32 … 102) x (13 23 33 … 103) 55x2 2(
6 21 11
10 )x [ 2
) 11 (
10 ]2 55(x 7) 2 552 55 49 55(x 7) 2 330
∴ 當x 7時﹐g (x)有最小值為330
【註】當x 1﹐2﹐2﹐3﹐3﹐3﹐…﹐
10
10, 10,, 10
個
的算術平均數時﹐
即當x 7時g (x)有最小值
18.有一條彈簧﹐當掛上重物時﹐彈簧拉長的長度與所掛的物體重量成一定比例﹐今以30公斤與60 公斤的重物掛上後﹐彈簧長度分別為60公分與100公分﹐則以42公斤的重物掛上後﹐彈簧長度 應為____________公分﹒
解答 76
解析 設彈簧長度b公分﹐當掛上x公斤重物時﹐伸長量為ax
彈簧總長f x( )axb而 f(30) 60 ﹐f(60) 100
4
a3﹐b20 ∴ ( ) 4 20
f x 3x ∴ (42) 4 42 20 76
f 3 公分
19.若二次函數 f x( )ax2bxc圖形過A( 2, 11) ﹐B( 1, 1) ﹐C(2, 5)三點﹐求 (1) f x( )____________﹒ (2)頂點為____________﹒ (3)對稱軸為____________﹒
解答 (1)2x24x5;(2)(1, 7);(3)x1
解析 (1)∵yax2bxc圖形過A( 2, 11) ﹐B( 1, 1) ﹐C(2, 5)
∴
4 2 11
1
4 2 5
a b c a b c
a b c
3 10
3 3 6
a b a b
2 4
a
b c 5 ∴ f x( ) 2 x24x5 (2) f x( ) 2 x24x 5 2(x1)27 ∴頂點(1, 7)
(3)對稱軸x1
20.若二次函數 f x( )ax2bxc的對稱軸為x1﹐且圖形通過( 1, 1) ﹐(2, 5)﹐求f x( )_________﹒
解答 2x24x5
解析 ∵對稱軸x1 ∴設f x( )a x( 1)2k
∵圖形過( 1, 1) (2, 5) 4 1
1 5
a k
a k
∴a2﹐k 7
∴ f x( ) 2( x1)2 7 2x24x5
21.將y2x24x5之圖形水平左移3單位﹐再上移a單位得y2x2bx17﹐求 (1)a ____________﹒ (2)b____________﹒
解答 (1)6;(2)8
解析 y2x24x 5 2(x1)23 頂點(1, 3)
左移3單位﹐上移a單位後﹐頂點為(1 3, a 3) ( 2, a3)
而
2
2 2 2
2 17 2( ) 17 2( ) 17
2 4 8
b b b
y x bx x x x
∴頂點為
2
( , 17) ( 2, 3)
4 8
b b
a ∴ 2 2
2 8
4
17 3 8 17 3 6
8 8
b b
b a a
22.對任意實數x﹐ f x( ) 2x23xk函數值恆為負數﹐求實數k的範圍為____________﹒
解答 9 k 8
解析 函數恆負 2
2 0
3 4 ( 2)( ) 0 9 8 0 9
8
領導係數 （必成立）
D k k k
23. f x( ) 2x23xk （k為實數）﹐若 f x( ) 0 無解﹐求k的範圍為____________﹒
解答 9 k 8
解析 f x( ) 0 無解 沒有x會使得 f x( ) 0
所有x會使得 f x( ) 0 f x( ) 0 恆成立
D32 4 ( 2) ( k) 0 9
k 8 24.函數 2
3 0 2
( ) 1 2 4
25 2 4 11
x x
f x x x
x x
，
，
，
﹐則(1) f(2)=____________﹒(2) f f( (8))____________﹒
解答 (1)5;(2)7
解析 (1) f(2) 5 (2)f f( (8)) f(9) 7 25.設y 4x23x1交x軸於A﹐B兩點﹐則
(1)頂點坐標____________﹒(2)AB____________﹒
解答 (1)( ,3 25) 8 16 ;(2)5
4
解析 (1) 4[ 2 3 ( )3 2 ( ) ] 13 2 4( 3)2 25
4 8 8 8 16
y x x x ∴頂點( ,3 25) 8 16 (2)令y0 4x23x 1 0 4x23x 1 0 x1或 1
4
∴ 1 ( 1) 5
4 4
AB
26.設x﹐y為實數﹐2x y = 5﹐則x2 + y2的最小值為____________﹒
解答 5
解析 ∵ 2x y = 5 ∴ y = 2x 5
x2 + y2 = x2 + (2x 5)2 = 5x2 20x + 25 = 5(x 2)2 + 5
∴ 當x = 2時﹐x2 + y2有最小值為5
27.f (x)為線型函數﹐若 1 f (2) 3﹐2 f (5) 9﹐則f (3)的(1)最大值為_____﹐(2)最小值為______﹒
解答 (1)5;(2)0
解析 令f (x) = ax + b
∴ 1 2a + b 3﹐2 5a + b 9﹐
又f (3) = 3a + b
設(2a + b) m + (5a + b) n = 3a + b
∴ 2 5 3 1
m n
m n
∴
2 3 1 3 m n
( 1) 2
3+ 2 1
3 3a + b 3 2
3+ 9 1
3 ∴ 0 f (3) 5 28.一農夫想用66公尺長之竹籬圍成一長方形菜圃﹐並在其中一邊正中央留
著寬2公尺的出入口﹐如下圖示﹒此農夫所能圍成的最大面積為_______
平方公尺﹒
解答 289
解析 如下圖﹐設長方形兩邊長x公尺﹐另兩邊長y公尺（含下方出
入口2公尺）
則2x2y 2 66﹐即y34x 由2 y 34得0 x 32
長方形面積xyx(34 x) (x234 )x (x 17)2289 當x17時﹐長方形面積等於289（平方公尺）最大
29.設A(0, 0), B(10, 0), C(10, 6), D(0, 6)為坐標平面上的四個點﹒如果直線 1
ymx2將四邊形ABCD分 成面積相等的兩塊﹐則實數m之值為____________﹒
解答 1 2
解析 設 : 1
L ymx2﹐L表過點(0, 1)
2 ﹐斜率為m的直線﹐
因L與y軸的交點M坐標為(0, 1)
2 ﹐L與x10的交點 (10, 10 1)
N m2
因L平分矩形ABCD之面積﹐所以AM NC﹐即1 6 (10 1) 1 2 m2 m2﹒
