94.06.X 班級普二班範圍3-3 期望值(2) 座號姓名 - 明誠

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：94.06.X 班級 普二 班

範

圍 3-3期望值(2) 座號

姓 名 一、單一選擇題 (每題 10 分)

1、( C ) 二枚公正的銅板分別在其正面貼上“2”，反面貼上“1”，投擲此二枚公正的銅板一

次，則兩銅板上數字乘積的期望值為 (A)³ 2 (B)⁷

4 (C)⁹

4 (D)3 (E)6 解析：

乘積 1 2 4 機率 1

4 1 2

1 4

1 1 1

1 2 4

4 2 4

× + × + × = 9

4，即^{3 3 9} 2× =2 4

2、( A ) 袋中有大小相同的1到4號球各一個，一次由袋中取二球，其球號乘積的期望值

為 (A)³⁵ 6 (B)⁵

2 (C)¹³

2 (D)²⁵

4 (E)5

解析：C₂⁴ =6，積為2的有(1,2)，積為3的有(1,3)，積為4的有(1,4)，積為6的有(2,3)，

積為8的有(2,4)，積為12的有(3,4)，

1 1 1 1 1 1 3

2 3 4 6 8 12

6 6 6 6 6 6

× + × + × + × + × + × = 5 6

3、( D ) 袋中有大小相同的1到4號球各一個，一次由袋中取二球，其球號差的期望值為

(A)6 (B)0 (C)⁵

4 (D)⁵ 3 (E)⁵

2

解析：C₂⁴ =6，差1的有(1,2)，(2,3)，(3,4)，差2的有(1,3)，(2,4)，差3的有(1,4)，

3 2 1

1 2 3

6 6 6

× + × + × =5 3

4、( B ) 袋中有大小相同的1到4號球各1個，自袋中每次取1球，取後即放回，連取2

次，兩次球號差的期望值為 (A)0 (B)⁵

4 (C)⁵

3 (D)⁵

2 (E)5 解析：4² =16，差1的有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(2,1)，(3,2)，(4,3)，

差2的有(1,3)，(2,4)，(3,1)，(4,2)，

差3的有(1,4)，(4,1)

球號差 0 1 2 3

機率 4 16

6 16

4 16

2 16

1 ⁶ 2 ⁴ 3 ²

16 16 16 4

× + × + × =5

二、填充題 (每題 10 分)

5、 袋中有50元硬幣3個，10元硬幣9個，5元硬幣8個，今由袋中一次取出2個硬幣，

則期望值是______元。

答案：28

解析：50 3 10 9 5 8

2 28 3 9 8

× + × + × × =

+ + （元）。

6、 一袋中有大小相同的3白球，2紅球，每次取一球，記錄後再放回袋中，如此反覆進 行，設在第K次首次取到白球，則K的期望值為_______。

答案：⁵ 3 解析：

K 1 2 3 4 …

機率 3 5

2 3

( )5 ×5 2 ² 3

( )5 ×5 2 ³ 3 ( )5 ×5 …

2 3

3 2 3 2 3 2 3

1 2 ( ) ( ) 3 ( ) 4 ( ) ( )

5 5 5 5 5 5 5

× + × × + × × + × × +"

2 3

3 2 2 2 3 5 1

[1 2 ( ) 3 ( ) 4 ( ) ] [ ]

5 5 5 5 5 3 2

1 5

= × + × + × + × + = × × =

−

" 5

3

7、 甲、乙二人進行乒乓球比賽，已知每場甲獲勝之機率為乙的2倍，且比賽均不得有和 局，約定先勝三場者可獲得獎金540元，今比賽了二場，甲、乙各勝乙場，但卻因故 停止比賽並決定不再比賽，則獎金依獲勝機率分配，甲應獲得_______元。

答案：400 解析：甲乙⎧

⎨⎩ 甲甲

乙甲甲，甲勝之機率為( )^{2 2} 2 ¹ ( )^{2 2} 3 + × ×3 3 = 20

27 540 20 400

×27= ，甲得400元

8、 投擲一公正的骰子，若出現點數為質數，則可得到三倍點數的報酬（以元為單位），

若出現其他點數，則要付出與點數相同數目的賠償金，則此遊戲報酬之期望值為______

元，若玩此遊戲之前要先付出4元現金，則玩這個遊戲划算嗎？_______

答案：¹⁹

6 , 不划算 解析：

點數 1 2 3 4 5 6 報酬 –1 6 9 –4 15 –6

1 1

( 1 6 9 4 15 6) 4 6× − + + − + − = 69<

，不划算

9、 擲一公正骰子3次，則出現2點之次數的期望值為_______。

答案：¹ 2 解析：

次數 1 2 3 0 機率 ₁³ 1 5 ²

( )( )

C 6 6 ₂³ 1 ² 5 ( ) ( )

6 6

C ₃³ 1 ³

( )6

C 125

216

3 2 3 2 3

1 2

1 5 1 5 1 1

1 ( )( ) 2 ( ) ( ) 3 ( )

6 6 6 6 6 2

C C

× + × + × = ，即3 ^{1 1}

6 2

× =

10、擲3個硬幣，若出現3個正面可得12元，2個正面可得8元，1個正面可得4元，為 了公平起見，那麼出現3個反面時應賠______元。

答案：48

解析： (3 ) ¹, (2 ) ³, (1 ) ³, (3 )

8 8 8

P 正面 = P 正面 = P 正面 = P 反面 1

=8

令出現3個反面應賠x元，∴期望值 0 ¹ 12 ³ 8 ³ 4 ¹ ( )⇒ =x 48。

8 8 8 8 x

= = × + × + × + × −

11、將大小相同的3個黑球，2個白球排成一列，觀察其顏色由左而右恰變色兩次的機率

為_______，又求其變色次數的期望值為_______。

答案： ³ 10, ¹²

5

解析：變色兩次：(白黑黑黑白)或(黑黑白白黑)，(黑白白黑黑) ^{1 2 3} 5! 10 3!2!

⇒ + =

變色一次：(白白黑黑黑)，(黑黑黑白白)

變色三次：(白黑黑白黑)，(白黑白黑黑)，(黑白黑黑白)，(黑黑白黑白) 變色四次：(黑白黑白黑)

⇒2

⇒4

⇒1

變色次數 1 2 3 4 機率 2

10

3 10

4 10

1 10

2 3 4 1 24 12

1 2 3 4

10 10 10 10 10 5

× + × + × + × = =

12、某人擲二枚公正的硬幣，若擲出兩個正面時，可得300元，並可繼續再投擲，若第二

回又擲出兩個正面時，則又可得300元，並可繼續再投擲，如此規則反覆進行，則此 人所得之期望值為_______。

答案：100

解析： ²

1

1 1 4 1

300 300 ( ) 300 300 100

4 4 1 1 3

4

× + × + = × = × =

−

"

13、阿志出資105元，阿憲出資95元，共同進行一遊戲，約定阿志與阿憲輪流擲一公正的

骰子，以先擲出5點者獲勝，獲勝者可獲此200元，今由阿志先擲，

(1)試問對誰較有利？_______，(2)應改為阿志出_______元才公平。

答案：阿志, 109 ¹ 11

解析：阿志勝的機率 ⁴

1

1 5 5 1 ( )5 1 6 6

6 6 6 6 6 6 1 25 11

36 + × × + × + = =

−

" ，阿憲勝的機率為 ⁵

11

阿志的期望值(⁶ 200 ⁵ 0) 105 11× +11× − =1145

，

阿憲的期望值為(⁵ 200 ⁶ 0) 95 11× +11× − = −1145

，對阿志較有利，對阿憲較不利。

設應改為阿志出 元，則x (200 ) ⁶ ( ) ⁵ 0

11 11

x x x

− × + − × = ⇒ = 1200

11 ，即109 ¹

11元才公平 14、甲、乙兩人輪流擲一骰子，先擲出么點可得660元。今由甲先擲，則乙的期望值是______

元。

答案：300

解析： ^{3 5}

2

5

5 1 5 1 5 1 36 5

( ) ( ) ( ) ( )

6 6 6 6 6 6 1 ( )5 11

6

P = × + × + × + = =

−

"

乙勝

∴期望值 660 ⁵ 300

= ×11= （元）。

15、在測驗中，欲使完全不會隨意瞎猜的考生得分的期望值為0，因此採用答錯倒扣之計

分方式，(1)是非題答對得4分，答錯應倒扣_______分，(2)單一選擇題，題中有5個 選項，其中只有1個是正確的選項，若答對得5分，答錯應倒扣_______分。

答案：4, ⁵ 4

解析：(1)是非題倒扣K分，¹ 4 ¹ ( )

2× + × −2 K =0 ∴K =4

(2)單一選擇題倒扣K分，¹ 5 ⁴ ( )

5× + × −5 K =0 ∴ ⁵ K =4

16、有五個選項的單一選擇題，每題答對可得5分，則答錯應倒扣______分才公平。

答案：⁵ 4

解析：答對的機率為¹

5，答錯的機率為⁴

5，設答錯倒扣x分，則¹ 5 ⁴ ( ) 0,

5 5 x x 5

× + ⋅ − = ∴ =4， 即答錯應倒扣⁵

4分。

17、一次擲出6粒公正的骰子，若出現點數為五同一異時，可得6⁶元，其餘不給錢，則其

數學期望值為_______元。

答案：180

解析：

6 5 1 1

6 6

6!

5! 6 180 6

C C ×

× = （元）

18、根據過去資料顯示，一個60歲的人在一年內死亡的機率為0.08%，生病住院之機率為

6%，佳怡60歲投保100萬元之人壽保險1年期，於保險期間若死亡，則保險公司給

則應收保費多少元？

答案：

保險公司支出 100萬元 1萬元

機率 0.08% 6%

1000000 0.08% 10000 6%× + × =800 600 1400+ = , 1400 600+ =2000

19、一袋中有1號球n個，2號球(n–1)個，3號球(n–2)個，……，n號球1個，今自袋中任

取一球，若取得r號球，就可得r元，試求其數學期望值。

答案：共有 ( 1) ( 2) 1 ^{( 1)} 2

n n

n+ − + − + + =n n " + × 個

( 1) ( 2) 1

1 2 3

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

2 2 2

n n n

n n n n n n n n n

− −

× + × + × + + ×

+ + + "

2 +

2 [1 2 ( 1) 3 ( 2) 1]

( 1) n n n n

=n n × + × − + × − + +

+ " ×

2

1 1

2 2

[ ( 1 )] [( 1)

( 1) ( 1)

2 ( 1) ( 1)(2 1)

[( 1) ]

( 1) 2 6

2 1 2

( 1)

3 3

n n

K K

K n K n K K

n n n n

n n n n n

n n n

n n

n

= =

= × ∑ + − = × + ∑ − ∑

+ +

+ + +

= × + × −

+

+ +

= + − =

1

)]

n K=

20、投擲一枚公正的硬幣，一直到正反面至少各出現一次為止，試求投擲次數的數學期望 值。

答案：投擲到第k次出現正反面至少各一次的情形為：

(1)連續k−1次正面，接著第k次為反面，

或(2)者連續k−1次反面，接著第k次為正面。

其機率為( )^{1 1 1} ( )^{1 1 1 1}₁

2 2 2 2 2

k k

k

− −

⋅ + ⋅ = − ， 所求之數學期望值為

2 k ≥

2 1

1 2^k

k

k

∞

= −

∑ ⋅

令 _{1 1 2 3 2 1}

2

1 1 1 1 1 1

2 3 4 ( 1)

2 2 2 2 2 2

n

n k n

k

S k ₋ n ₋ n

= ∑ ×= = × + × + × + + − ×" + × _n− +""………¬

¬ ×¹

2得 ¹ 2 ¹₂ 3 ¹₃ 4 ¹₄ ( 1) ¹₁ ¹

2Sⁿ = ×2 + ×2 + ×2 + + − ×" n 2ⁿ₋ + ×n 2ⁿ +""…−

¬−−得 ¹ 1 ¹₂ ¹₃ ¹₁

2Sⁿ = + 2 +2 + +" 2ⁿ₋ +"" ²

1

1 3

1 2 1

1 2 2

1 2

= + = + =

− 則所求之數學期望值為 ^{3 2} 3

2 1 Sn = × =