100.07.25 範圍4-2 二維數據班級一年____班姓名座 - 明誠

(1)

高雄市明誠中學高一數學平時測驗日期：100.07.25 範

圍 4-2 二維數據班級一年____班姓座號名

一、填充題 ( 每題 10 分 )

1. 高二某班第一次期中考數學成績平均60分﹐標準差10分；英文成績平均75分﹐標準差15分﹐

且兩科成績的相關係數為0.45﹐若將全班數學成績加6分﹐英文成績乘5

6倍﹐則 (1)新的數學成績的標準差為____________﹒

(2)新的英文成績的平均值為____________﹒

(3)此兩科新成績的相關係數為____________﹒

解答 (1)10分;(2)62.5分;(3)0.45

解析 (1)設數學成績為x﹐英文成績為y﹐數學成績加5分﹐即x + 5﹐英文成績乘5

6﹐即5 6y﹐

∴ σX + 5 = σX = 10（分）﹒

(2)( ₅

6Y

µ ) =5 6µ^Y=5

6× 75 = 62.5（分）﹒

(3)相關係數r(X + 5﹐5

6Y) = r(X﹐Y) = 0.45﹒

2.如圖四筆資料A(1﹐2)﹐B(2﹐1)﹐C(2﹐4)與D(3﹐3)﹐則：

(1)x﹐y之相關係數r = ____________﹒(2)又y對於x的最適合直線為____________﹒

解答 (1)0.316;(2) 3 1 2 2 y= + x

解析 x′i = xi − µX﹐y′i = yi − µY﹐µX = 2﹐µY =5 2﹐

2 2

1 1 1

1 2 1 1

2 2 4

3 9

2 1 0 0 0

2 4

4 9

2 4 0 0 0

3 4

1 1 1

3 3 1 1

2 2 4

1 2 5

x y x' y' x'y' x' y'

− −

−

合計

(1) r =

2 2

i i

x y

x y

∑ ′ ′

∑ ′ ． ∑ ′ = 1

2． 5 = 10

10 ≈ 0.316﹒

(2)由y = µY + r．

2 2 i i

y x

∑ ′

∑ ′ (x − µX)得y =5 2+ 1

10 ． 5

2(x − 2)﹐

(2)

∴ y對x之最適合直線y =5 2+1

2(x − 2) 3 1 2 2x

= + ﹒

3.若兩變數X﹐Y的相關係數為0.6﹐而另兩變數U﹐V恆有U = 3X + 2﹐V = 2Y − 3的關係﹐則U與

V的相關係數 = ____________﹒

解答 0.6

解析由相關係數的性質可知﹐U與V的相關係數也是0.6﹒

4.兩組數值資料 ¹ ² ²⁰

1 2 20

X x x x

Y y y y



 ﹒已知 ²⁰

1 i 30

i

x

=

∑

= ^﹐ ²⁰

1 i 10

i

y

=

∑

= ^﹐又^X^的標準差^σ^X^{= 5﹐Y} ^的標準差σY = 8﹐ ²⁰

1 i i 365

i

x y

=

∑

= ^﹐則^X^﹐Y 的相關係數為____________﹒（答案化為小數點）

解答 0.4375 解析已知

20

1 i 30

i

x

=

∑

= ^﹐ ²⁰

1 i 10

i

y

=

∑

= ^﹐

∴ X的算術平均數 30 20 1.5

µX = = ﹐Y 的算術平均數 10 1 20 2 µY = = ﹐

由公式﹐相關係數

20

1

( _i _X)( _i _Y)

i

X Y

x y

r n

µ µ

σ σ

=

− −

=

∑

20

1

( _i _i _i _Y _i _X _X _Y)

i

X Y

x y x y

n

µ µ µ µ

σ σ

=

− − +

=

∑

20 20 20 20

1 1 1 1

i i Y i X i X Y

i i i i

X Y

x y x y

n

µ µ µ µ

σ σ

= = = =

− − +

=

∑ ∑ ∑ ∑

1 1

365 30 1.5 10 20 1.5

2 2 7 0.4375

20 5 8 16

− × − × + × ×

= = =

× × ﹒

5.設有兩組變量X與Y ¹ ² ¹⁰

1 2 10

, , ,

X x x x

Y y y y







：

： ﹐已知 ¹⁰

1 i 11

i

x

=

∑

= ^﹐¹⁰ ²

1 i 32.1

i

x

=

∑

= ^﹐¹⁰

1 i 14

i

y

=

∑

= ^﹐¹⁰ ²

1 i 39.6

i

y

=

∑

= ^﹐

10

1 i i 28

i

x y

=

∑

= ^{﹐求(1)這兩組變量}^X^與Y ^{的相關係數}^r⁼____________﹒

(2)滿足這十個點( ,x₁ y₁)﹐(x₂, y₂)﹐…﹐(x₁₀, y₁₀)的最適合直線方程式____________﹒

解答 (1)0.63;(2)y=0.63x+0.707

解析 (1) 11

10 1.1

µX = = ﹐ 14 10 1.4

µY = = ﹐

10 2 2

1

1 ( ) 2

X 10 i X

i

σ x µ

=

∑

− = ^﹐ ¹⁰ ² ²

1

1 ( ) 2

Y 10 i Y

i

σ y µ

=

∑

− = ^﹐

¹ 28 10 1.1 1.4 12.6

20 0.63

10 2 2

n

i i X Y

i

X Y

x y n

r n

µ µ σ σ

=

− − × ×

= = = =

× ×

∑

﹒

(3)

(2)最適合直線y= +a bx

10 10

1 1

10 10 10

2

1 1 1

10 ( )

( ) ( )

i i

i i i i

i i i

a x b y

x a x b x y

= =

= = =

 + =

⇒ 

 + =



∑ ∑

∑ ∑ ∑

^⇒

10 11 14

11 32.1 28

a b

+ =

 + =

 ⇒ 0.707

0.63 a b

 =

 = ﹐

∴ y=0.63x+0.707﹒ 6.若n=12﹐

12

1 i 120

i

x

=

∑

= ^﹐¹² ²

1 i 3700

i

x

=

∑

= ^﹐¹²

1 i 240

i

y

=

∑

= ^﹐¹² ²

1 i 8400

i

y

=

∑

= ^﹐¹²

1 i i 3600

i

x y

=

∑

= ^{﹐則相關係數}^r⁼^? 解答 0.4

解析 ∵ 120 12 10

µX = = ﹐ 240 12 20

µY = = ﹐

∴

12

1

3600 12 10 20 1200

i i X Y

i

x y nµ µ

=

− ⋅ = − × × =

∑

^﹐

12 2 2 2

1

3700 12 10 2500

i X

i

x nµ

=

− = − × =

∑

^﹐ ¹² ² ² ²

1

8400 12 20 3600

i Y

i

y nµ

=

− = − × =

∑

^﹐

∴ 1200 1200 2 50 60 5 0.4 2500 3600

r= = = =

× ﹒

7.有甲﹑乙﹑丙﹑丁﹑戊等五位學生參加性向測驗與成就測驗﹐兩項測驗的成績如下：

4 6 8 8 9

5 4 5 7 9

X Y

學生甲乙丙丁戊性向

成就

(1)X與Y 的相關係數r=____________﹒(2)Y 對X的迴歸直線方程式為____________﹒

解答 (1)11

160.69;(2) 19 11 16 16

Y= + X

解析 (1)相關係數

5

1

5 5

2 2

1 1

( )( )

11

( ) ( ) 16

i X i Y

i

i X i Y

i i

x y

µ µ

=

= =

− −

= =

− × −

∑

∑ ∑

﹒

(2)迴歸直線： 19 11

16 16 Y = + X﹒

8.某公司從民國73年到75年之固定投資與營業收入如下表﹐則固定投資與營業收入：

(1)相關係數為____________﹒ (2)相關程度為____________﹒

73 5 6

74 7 10

75 12 20

年分固定投資營業收入

（單位：億元）

解答 (1)1;(2)完全正相關解析

(4)

2 2

( )( ) ( ) ( )

73 5 6 3 6 18 9 36

74 7 10 1 2 2 1 4

75 12 20 4 8 32 16 64

24 36 52 26 104

i i i X i Y i X i Y i X i Y

x y x −µ y −µ x −µ y −µ x −µ y −µ

− −

年分固定投資營業收入

µX = 8﹐µY = 12﹐

∴ 相關係數r(X﹐Y)

3

1

3 3

2 2

1 1

( )( )

( ) ( )

i X i Y

i

i X i Y

i i

x y

µ µ

=

= =

− −

=

− −

∑

∑ ∑

52 52

52 1 26 104

= = = ⇒完全正相關﹒

9.兩種資料X與Y 如下：n=100﹐

100

1 i 8000

i

x

=

∑

= ^﹐¹⁰⁰ ²

1

648100

i i

x

=

∑

= ^﹐¹⁰⁰

1

12500

i i

y

=

∑

= ^﹐¹⁰⁰ ²

1

1585000

i i

y

=

∑

= ^﹐

100

1

1008100

i i i

x y

=

∑

= ^﹐則：

(1)X之標準差為____________﹒ (2)X與Y 之相關係數為____________﹒

解答 (1)9;(2)0.6

解析 (1)

2

1 ( 1 )2

n n

i i

X

x x

n n

σ =

∑

⁼ −

∑

⁼

⇒ 648100 8000 ²

( ) 9

100 100

σX = − = ﹒

(2)X與Y 之相關係數為 ¹ ¹ ¹

2 2 2 2

1 1 1 1

( )( )

( ) ( )

n n n

i i i i

i i i

n n n n

i i i i

n x y x y

n x x n y y

= = =

= = = =

−

− −

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

2 2

100 1008100 8000 12500 810000

900 1500 0.6 100 648100 (8000) 100 1585000 (12500)

⋅ − ⋅

= = =

⋅ − ⋅ − ⋅ ﹒

10.某肥皂廠推出一種新產品﹐在上市前以不同單價x（單位：十元）調查市場需求量y（單位：萬

盒）﹐結果如下： 8 9 10 11 12 11 12 10 8 9 x

y ﹐求x﹐y的相關係數r=____________﹒

解答 −0.8

解析 µX = 10﹐µY = 10﹐

2 1 0 1 2

1 2 0 2 1

i X

i Y

x y

µ µ

− − −

⇒ ⁵

1

( _i _X)( _i _Y) 2 ( 2) 0 ( 2) ( 2) 8

i

x µ y µ

=

− − = − + − + + − + − = −

∑

^﹐

5

2 1

( _i _X) 4 1 0 1 4 10

i

x µ

=

− = + + + + =

∑

^﹐

5

2 1

( _i _Y) 1 4 0 4 1 10

i

y µ

=

− = + + + + =

∑

^﹐

∴ 8 10 0.8

r=− = − ﹒

(5)

11.設三資料(1, 3)﹐(2, 4)﹐(3, k)的迴歸線方程式為 1 2 4

y= − x+ ﹐求k =____________﹒

解答 2 解析

3

1 i 6

i

x

=

∑

= ^﹐ ³

1 i 7

i

y k

=

∑

= + ^﹐ ³

1 i i 11 3

i

x y k

=

= +

∑

^﹐ ³ ²

1 i 14

i

x

=

∑

=

⇒

7 6 ( 1) 3 4 2

11 3 14 ( 1) 6 4 2

k k

 + = × − + ×



 + = × − + ×



﹐k =2﹒

12.一組10個二維數據(x﹐y)﹐滿足

10

1

i 20

i

x

=

∑

= ^﹐¹⁰

1

i 100

i

y

=

∑

= ^﹐¹⁰ ²

1

i 85

i

x

=

∑

= ^﹐¹⁰ ²

1

i 1500

i

y

=

∑

= ^﹐¹⁰

1

i i 326

i

x y

=

∑

= ^﹒ (1)求這組數據的相關係數r=____________﹒

(2)求這組數據Y 對X的迴歸直線方程式為____________﹒

(3)利用Y 對X的迴歸直線﹐預測x = 15時﹐y的值為____________﹒

解答 (1) 0.84;(2) ¹⁴ ²²

5 5

y= x+ ;(3)²³² 5

解析 (1)

10

1

10 10 2 2

2 2 2 2

1 1

326 10 2 10 85 10 2 1500 10 10

i i i

i i

X Y

x y n r

x n y n

µ µ

=

= =

− − × ×

= =

− × × − ×

− × −

∑

∑ ∑

^0.84

= ﹒

(2)迴歸直線方程式y= +a bx﹐

10

1 10

2 1

326 10 2 10 14

85 10 4 5

( )

i i i

i i

X Y

X

x y n b

x

µ µ µ

=

− − × ×

= = =

− ×

−

∑

^﹐

∴ ¹⁴

y= +a 5 x﹐將(µX﹐µY) = (2﹐10)代入﹐∴ ²²

a= 5 ﹐即 ²² ¹⁴

5 5

y= + x﹒ (3)x=15代入 ²² ¹⁴ ²³²

5 5 5

y= + x⇒ =y ﹒ 13.現有五筆資料

x 1 2 3 4 5

y 3 5 6 4 2

(1)求x的標準差σX =

2 1

( )

n

i X

i

n

x µ

=

∑

−

=____________﹒

(2)x﹐y的相關係數r(X﹐Y) = ¹

2 2

1 1

( )( )

( ) ( )

n

i X i Y

i

n n

i X i Y

i i

x y

µ µ

=

= =

− −

∑

^．

∑

=____________﹒

(3)求y對x的迴歸式（最適合直線）=____________﹒

解答 (1) 2 ;(2) 0.3− ;(3)y=4.9 0.3− x

(6)

解析 µ_X = + + + + ÷ =(1 2 3 4 5) 5 3﹐µ_Y = + + + +(3 5 6 4 2) 5÷ =4﹐ xi yi xi −µX (xi −µX)² yi −µY (yi −µY)² (xi −µX)(yi −µY)

1 3 −2 4 −1 1 2

2 5 −1 1 1 1 −1

3 6 0 0 2 4 0

4 4 1 1 0 0 0

5 2 2 4 −2 4 −4

合計 10 10 −3

(1) σX =

5

2 1

5 ( _i _X)

i

x µ

=

∑

−

= 2﹒

(2) r(X﹐Y) =

2 5

1

5 5

2

1 1

)

( )( )

( ) (

i X i Y

i

i X i Y

i i

x y

µ µ

=

= =

− −

∑

^．

∑

= 3

10 10 0.3

− = −

× ﹒

(3)迴歸式：y = a + bx滿足

5

1 5

2 1

( )( )

( )

XY XX

Y X

i X i Y

i

i X

i

a b

b

x y

x

µ µ

σ σ

µ µ

µ

=

= +

= =



 − −



 −



∑

﹐

b = 3 10 0.3

− = − ﹐a = µY − bµX 3 4 ( )

10

= − − ．3 = 4.9 ⇒ y=4.9 0.3− x﹒

14.設抽樣某班8位學生的數學成績（x）與英文成績（y）﹐得到平均數﹑標準差與相關係數如下：

X 65

µ = ﹐µ_Y =70﹐σ_X =10﹐σ_Y =5﹐r=0.8﹐

(1)請寫出英文成績（y）對數學成績（x）的迴歸式﹒____________﹒

(2)若此班上某位同學的數學成績60分﹐請預測此生的英文成績﹒____________﹒

解答 (1) 2

44 5

y= + x;(2)68分

解析 (1)迴歸式y= +a bx 5 2

0.8 10 5

Y X

b r σ

⇒ = ×σ = × = ﹐∴ 2

y= +a 5x﹐ 將(µX﹐µY) = (65﹐70)代入﹐∴ 2

70 65 44

a= − ×5 = ﹐∴ 2

44 5 y= + x﹒

(2)數學x=60代入﹐英文 2

44 60 68

y= + ×5 = （分）﹒

15.設( ,X Y)有成對數據100筆﹐( ,x₁ y₁), (x₂, y₂), , (x₁₀₀, y₁₀₀)﹐ 已知¹⁰⁰

1 k k

= x

∑ ¹⁰⁰ ² ¹⁰⁰ ¹⁰⁰ ² ¹⁰⁰

1 1 1 1

22500, _k 5152500, _k 8100, _k 696100, _k _k 1858500

k k k k

x y y x y

= = = =

= ∑ = ∑ = ∑ = ∑ = ﹐則X與Y

的相關係數為____________﹒

解答 0.6 解析

100

1

1 22500

100 100 225

X k

k

µ x

=

∑

= = ^﹐ ¹⁰⁰

1

1 8100

= 81

100 100

Y k

k

µ y

=

∑

= ^﹐

(7)

100 2 2 2

1

1 5152500

= = 225 = 51525 50625=30

100 100

X k X

k

σ x µ

=

− − −

∑

^﹐

100 2 2 2

1

1 696100

= = 81 = 6961 6561=20

100 100

Y k Y

k

σ y µ

=

− − −

∑

^﹐

∴

100

1

100 1858500 100 225 81 36000

( , ) 0.6

100 100 30 20 100 30 20

k k X Y

k

X Y

x y r X Y

µ µ σ σ

=

− − × ×

= = = =

× × × ×

∑

﹒

16.調查某國家一年5個地區的香菸與肺癌之相關性﹐所得到的數據為( ,x_i y_i),i=1, 2, 3, 4, 5﹐其中變數X表示每人每年香菸消費量（單位：十包）﹐Y表示每十萬人死於肺癌的人數﹒若已計算出下列數值：

5

1 i 135

i

x

=

∑

= ^﹐ ⁵ ²

1 i 3661

i

x

=

∑

= ^﹐ ⁵

1 i i 2842

i

x y

=

∑

= ^﹐ ⁵

1 i 105

i

y

=

∑

= ^﹐ ⁵ ²

1 i 2209

i

y

=

∑

= ^﹐則^X^與^Y^的相關係數r=____________﹒

解答 0.875 解析

5 5 5 5

2 2 2

1 1 1 1

( _k _X) _k 54 _k 27 16

k k k k

x µ x x

= = = =

− = − + =

∑ ∑ ∑ ∑

^﹐

5 5 5 5

2 2 2

1 1 1 1

( _k _Y) _k 42 _k 21 4

k k k k

y µ y y

= = = =

− = − + =

∑ ∑ ∑ ∑

^﹐

5 5 5 5 5

1 1 1 1 1

( _k _X)( _k _Y) _k _k 21 _k 27 _k 27 21 7

k k k k k

x µ y µ x y x y

= = = = =

− − = − − + × =

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

^﹐

7 7

0.875 16 4 8

r= = = ﹒

100.07.25 範圍4-2 二維數據班級一年____班姓名座 - 明誠

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：100.07.25 範

圍 4-2 二維數據 班級 一年____班 姓 座號 名

一、填充題 ( 每題 10 分 )

1 1 1

1 2 1 1

2 2 4

3 9

2 1 0 0 0

2 4

4 9

2 4 0 0 0

3 4

1 1 1

3 3 1 1

2 2 4

1 2 5

合計

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑ ∑ ∑ ∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑ ∑

∑

∑ ∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

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高雄市明誠中學高一數學平時測驗日期：100.07.25 範

圍 4-2 二維數據班級一年____班姓座號名