高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：101.11.20 範
圍 2-4多項不等式 班級 一年____班 姓 座號 名
一、填充題 (每題10分 )
1.若a 0﹐則不等式ax 3a 0之解為____________﹒
解答 x 3
解析 ax 3a a (x 3) 0 ∵a 0 ∴x 3 0 x 3﹒
2.不等式 6x2 x 2 0的解為____________﹒
解答 2 1
3 x 2
解析 6x2 x 2 06x2 x 2 0(2x 1)(3x 2) 0 2 1
3 x 2
﹒ 3.不等式ax2 5x b 0的解為 1
2 x 3
﹐則數對(a,b) ____________﹒
解答 ( 2,3) 解析 1
2 x 3
1
( )( 3) 0
x2 x 2 5 3 2 2 0
x x 2x2 5x 3 0…(1)﹐
(1)式與ax2 5x b 0的解相同﹐ ∴ 5
2 5 3
a b
∴a 2﹐b 3﹒
4.不等式x 3x 4 2x 1的解為____________﹒
解答 1 x 2
解析 原不等式可改寫成 3 4
3 4 2 1
x x
x x
﹐整理得 2 4
5 5
x x
﹐解得 2 1 x x
﹐即1 x 2﹒
5.聯立不等式
2 2
3 2 0
2 3 0
x x
x x
的解為____________﹒
解答 3
2 x 2
解析 原不等式 ( 1)( 2) 0
(2 3) 0
x x
x x
1 2
3 0
2 x
x x
或 ﹐∴3
2 x 2﹒
6.若不等式ax2 2(2a 1)x (7a 2) 0對於一切實數x恆成立﹐求實數a的範圍為____________﹒
解答 a 1
解析 ax2 2(2a 1)x (7a 2) 0（對任意實數x恆成立）
0
0 a D
0 2(1)
(2 1) (7 2) 0 (2)
a
a a a
第 2 頁
3a2 2a 1 0(3a 1)(a 1) 0 1
a3或a 1…(3) 由(1)(3)得a 1﹒
7.設m是實數﹐若二次函數y mx2 2m2x之圖形恆在直線L﹕y 2mx 9m之上方﹐則m的範圍為____﹒ 解答 0 m 4
解析 (mx2 2m2x) (2mx 9m) 0（對任意實數x恆成立）
m[x2 2(m 1)x 9] 0
2
0
( 1) 9 0
m m
2 2
0
( 1) 3
m m
0
3 1 3
m m
0
2 4
m m
0 m 4﹒
8.對任意實數x﹐
2 2
2 1
3 2 3 1
x ax
x x
恆成立﹐則實數a的範圍為____________﹒
解答 3 a 1 解析
2 2
2 1
3 2 3 1 0
x ax
x x
（恆成立）
2 2 2(2 2) 2
3 2 3 0
x a x
x x
（恆成立）﹐
又3x2 2x 3 0恆成立﹐
∵D ( 2)2 4 3 3 0﹐
∴(3x2 2x 3)(2x2 (2a 2)x 2) 0﹐
∵3x2 2x 3 0（恆成立）﹐
∴2x2 (2a 2)x 2 0（恆成立）﹐
D (a 1)2 4 0 2 a 1 2 3 a 1﹒
9.設k﹐若 x ﹐f(x) kx2 (k 1)x k 0恆成立﹐則﹕
(1)k的範圍為____________﹒(2)求g(k) k2 7k 2的最大值 ____________﹒
解答 (1)k 1;(2) 6 解析 (1)
2
0 0
( 1 2 )( 1 2 ) 0
( 1) 4 0
k k
k k k k
k k k
0 0
1 1
(3 1)( 1) 0 1
3 k k
k k k k k
或 ﹒
(2)配方﹕ 7 2 57
( ) ( )
2 4
g k k ﹐
∴當k 1時﹐g(k)有最大值g(1) 6﹒
10.設f(x)為二次多項式﹐f(x) 0之解為 9 x 3﹐則f(3x) 0之解為____________﹒
解答 3 x 1
解析 f(x) 0 9 x 3﹐
f(3x) 0 9 3x 3 3 x 1﹒
11.已知f (x)為二次函數﹐且f (x) 0的解為 2 x 5﹐則f (3x 1) 0的解為____________﹒
解答 x 2或 1 x 3
解析 由於f (x) 0的解為 2 x 5 設f (x) a(x 5)(x 2)﹐其中a 0
故f (3x 1) a[(3x 1) 5][(3x 1) 2] a(3x 6)(3x 1) f (3x 1) 0 a(3x 6)(3x 1) 0 1
( 2)( ) 0
x x 3
x 2或 1
x 3﹒ 12.解不等式2x2 8x 11 0﹐得x之解為____________﹒
解答 無實數解
解析 ∵D ( 8)2 4 2 11 0，表示2x2 8x 11恆正，∴2x2 8x 11 0無實數解﹒
13.一梯形兩底長分別為(3x 4)公分﹐(2x 1)公分﹐高為8公分﹐若此梯形的面積不大於80平方公分﹐
則x的範圍為____________﹒
解答 4
3x 5
解析 3x 4 0﹐2x 1 0﹐[(3 4) (2 1)] 8 2 80
x x x 4
3﹐x 1
2﹐x 5 4
3 x 5﹒
14.某校家長會要從180位家長代表中選出9位理事﹐180位代表每人投一票互選﹐如果又廷要選上理 事﹐則至少要得____________票﹐才能保證當選﹒
解答 19
解析 設至少要得x票 ，則x 180 9x 10x 180 x 18，至少要得19票才能保證當選﹒
15.設x是實數﹐則不等式﹕(x2 3x 2)(x2 2x 3)(x2 3x 4)(x2 x 1) 0的解為____________﹒
解答 x 1或2 x 3或x 4
解析 1 2 3
( 1)( 2)( 3)( 1)( 4)( 1)[( ) ] 0
2 4
x x x x x x x ﹐
2 1 2 3
( 1)( 2)( 3)( 1) ( 4)[( ) ] 0
2 4
x x x x x x ﹐
∴x 1或2 x 3或x 4﹒
16.設x是實數﹐若不等式ax3 bx2 cx 12 0的解為x 4或 3 x 1﹐則三元序組(a,b,c) ______﹒ 解答 ( 1,2,11)
解析 參考下圖可知x 4或 3 x 1是(x 4)(x 3)(x 1) 0的解﹐整理得 x3 2x2 11x 12 0﹐
上式與ax3 bx2 cx 12 0表同一不等式﹐
∴ a b c 12
﹐
第 4 頁
∴a 1﹐b 2﹐c 11﹐∴序組(a,b,c) ( 1,2,11)﹒
17.不等式﹕(x2 2x 5)(x2 4x 3)(x 1)3(x 2)2 0的解為____________﹒
解答 3 x 1﹐x 1﹐x 2
解析 ∵D 22 4 1 5 0﹐∴x2 2x 5恆正 原式 (x 1)(x 3)(x 1)3(x 2)2 0
(x 1)(x 3)(x 1) 0﹐x 1﹐x 2 3 x 1﹐x 1﹐x 2﹒
18.已知整係數多項式為f (x)＝x4＋x3＋ax2＋bx＋6﹐若f (x)＝0有四個相異的有理根﹐且實數k滿足f (k)
＜0﹐則k的範圍為____________﹒
解答 3<k<1或1<k<2
解析 有理根只有1﹐2﹐3﹐6共8種可能﹐
∵相異﹐積為6﹐和為1﹐∴此四根為1﹐1﹐2﹐3
f (x)＝(x1)(x+1)(x2)(x+3)f (k)＝(k1)(k+1)(k2)(k+3)＜0
3＜k＜1或1＜k＜2﹒
19.解(2x2 5x 3)( 2x2 x 1) 0﹐得x的範圍為____________﹒
解答 3 x 1
2或1
2x 1
解析 原式 (2x2 5x 3)(2x2 x 1) 0 (x 3)(2x 1)(x 1)(2x 1) 0 3 x 1
2或1
2 x 1﹒
3 1 1
2 1 2
x
20.解(x2 x)2 5(x2 x) 6 0﹐得x的範圍為____________﹒
解答 2 x 3
解析 原式 (x2 x 6)(x2 x 1) 0 (x 3)(x 2)(x2 x 1) 0 x2 x 1恆正（∵D 0）
∴僅考慮(x 3)(x 2) 0 2 x 3﹒
21.解不等式(x 1)2010(x 2)2011(x 5)2013 0﹐得x的範圍為____________﹒
解答 2 x 5
解析 x 1 0﹐0 0（不合） ∴x 1
x 1 0﹐僅需考慮(x 2)(x 5) 0即可 2 x 5 由知2 x 5﹒
22.設x是實數﹐則不等式 3
2 x
x
的解為____________﹒
解答 x 1或2 x 3 解析 3
2 x
x
3
2 x 0
x
3 ( 2)
2 0 x x x
2 2 3 2 0
x x
x
(x2 2x 3)(x 2) 0（但x 2）
(x 3)(x 1)(x 2) 0（但x 2）
x 1或2 x 3﹒
23.設x是實數﹐則不等式1 2
2 1
x
x
的解為____________﹒
解答 2
1 x 3
解析 ( 1)( 2) 0
2 1 2 1
x x
x x
1 3 2
( )( ) 0
2 1 2 1
x x
x x
(x 1)(3x 2) 0﹐ 1
x 2﹐∴ 2
1 x 3
﹒
24.已知多項式函數y f (x)的函數圖形如下﹐求
(1)方程式f (x) 0的實根為____________﹒
(2)不等式f (x) 0的解為____________﹒
(3)不等式f (x) 0的解為____________﹒
解答 (1) 1﹐2﹐5;(2)x 5或2 x 5或x 1;(3) 1 x 2或x 5 解析 (1) y f (x)的函數圖形與x軸交於三點﹐分別為( 1,0)﹐(2,0)﹐(5,0)﹐
所以 1﹐2﹐5為方程式f (x) 0的三個實根﹒
(2) y f (x)的函數圖形在y軸上方的有三個部分﹐其x的範圍分別為x 5﹐2 x 5及x
1﹒
故f (x) 0的解為x 5或2 x 5或x 1﹒
(3) y f (x)的函數圖形在y軸下方的有一個部分﹐其x的範圍為 1 x 2﹐
因此f (x) 0的解為 1 x 2﹒又x 1﹐2﹐5均使f (x) 0成立﹐
第 6 頁 故f (x) 0的解為 1 x 2或x 5﹒
25.設m是實數﹐當直線y kx 1與拋物線y (m 2)x2 mx沒有交點﹐得m的範圍為 1 m 7
（m 2）﹐則實數k之值為____________﹒
解答 1
解析 將y kx 1代入y (m 2)x2 mx
kx 1 (m 2)x2 mx (m 2)x2 (m k)x 1 0 D (m k)2 4(m 2) 0 m2 ( 2k 4)m k2 8 0 與 1 m 7﹐即(m 7)(m 1) 0比較 m2 6m 7 0
2
2 4 6
8 7 1
k k
k
﹒
26.若f (x) 3x4 8x3 13x2 10x 8 0有一根為 1 23 6
i
﹐則不等式3x4 8x3 13x2 10x 8 0 的解為____________﹒
解答 x 4或x 1
解析 1 23 2 2 2
(6 1) ( 23 ) 3 2 0
6
x i x i x x
∴f (x) (3x2 x 2)(x2 3x 4)
則f (x) 0 (3x2 x 2)(x 4)(x 1) 0 (x 4)(x 1) 0 x 4或x 1﹒
27.若不等式
2 2
( 1)(2 3 4)
( 3)( 3 2) 0
x x x
x x x
﹐求x的範圍____________﹒
解答 3 x 2﹐但x 1
解析 原式 (x 1)2(x 3)(x 2) 0﹐x 3﹐1﹐2 (x 3)(x 2) 0﹐x 3﹐1﹐2 3 x 2﹐但x 1﹒
