3.2 向量的乘法

(1)

主要内容：

3.2 向量的乘法

内积

外积

混合积

(2)

内积

一、内积

则由右图可知：

相互垂直，

），

（

设非零向量 a   a ₁ , a ₂ , a ₃ ^ b  ( b ₁ , b ₂ , b ₃ )

2 2

2 || || || ||

||

|| a   b   b   a  _b ^  _a ^

b 

a  即 (a ₁ ² + a ₂ ² + a ₃ ² ) + (b ₁ ² + b ₂ ² +b ₃ ² )

= (b ₁ - a ₁ ) ² + (b ₂ - a ₂ ) ² + (b ₃ - a ₃ ) ² 由此式可推出

a b + a b + a b = 0.

(3)

定义设向量

3 3 2

2 1

1 3 2

1 3

2 1 , , , ( , , )

b a b

a b

a

b b

a a











 （）

. 的内积（或数量积）

与

称为 ^ a ^ b a   a  记为 a  ²

的内积为由定义可知，基向量 i   j k 

, ,

. 0

2 ,1

2 2  j  k  i  j  j  k  k  i 

i         

内积

(4)

向量的内积具有以下性质：

;

||

) 1

( a  ²  a  ²

证 a  ²  a   a   a ₁ ²  a ₂ ²  a ₃ ³  || a  || ² .

; 0 0

) 2

( ^ a  ^ 

, )

3 ( ^ a  ^ b  ^ b  ^ a

; ,

), (

) (

) 4

(  a ^   b ^   a ^  b ^    R .

) (

) 5

( a   b   c   a   b   a   c 

内积

(5)

由余弦定理可知

cos 

||

||||

||

2 ||

||

|| a   b  ²  a  ²  b  ²  a  b 

2 2

2 || || || ||

||

cos

||

||||

||

2 a  b    a   b   a   b 

) (

2 ) (

) (

3 3 2

2 1

1 3 2 2 3

2 2 2

1 1

3 2 2 2

1 2 3 2

2 2 1 2

b a b

a b

a

b a

b b

b a

a a











cos 

||

||||

|| a b b

a        _|| _a ^ _|| _Pr _j _a ^ _b ^ || b  || Pr j _b a  .

 

a 

b  a   b 



内积

(6)

则若 || a  ||  0 , || b  ||  0 ,

3 2 2 2

1 2 3 2

2 2 1 2

3 3 2

2 1

|| 1

||||

, ||

cos a a a b b b

b a b

a b

a

b b a

a    



 

 

  

 

a e b

b e b a

a _

 



   

 || || || ||

. 2 ,

, b a b a b

a        

 则称与正交（或垂直），记为

若 

.

3 0

3 2

2 1

1   







 b a b a b a b a b a    

内积

(7)

.

||

, 30

||

, 23

||

, 11

||

|| a   b   a   b   求 a   b  设

解 || a   b  || ²  ( a   b  ) ²  a  ²  2 a   b   b  ²

b a

b

a            

 || || ² || || ² 2 650 2

2 2 ( )

||

|| a   b   a   b   a  ²  2 a   b   b  ²

b a

b

a            

 || || ² || || ² 2 650 2

, 250 2   

 a  b 

. 20

||

400 ||

|| a   b  ²  ， a   b  

内积

例 1

(8)

例 2.

解

), 18 , 10 ,1

(

) 12 , 4 ,

3 )(

3 6

2 (

) 3 ,

3 ,1 )(

12 8

6 (



















d   ⁽ ⁾ ⁽ ⁾ ^, ^Pr ^.

), 12 , 4 , 3 ( ),

3 , 3 ,1 ( ),

1, 2 , 2 (



 



















d j

c b a b

c a d

c b

a

求 c

13 259

||

Pr  || _  



 



c d d c

j c

内积

(9)

例3. 内积的物理意义

一质点在力 F 的作用下从点 A 移动到 B ，力所做的功 . 则

记 s   AB ,





 ^ s F ^ ^ s F ^ W || |||| || cos ,

. s F  



 F 

A s  ^B

内积

(10)

二. 外积

是一个向量，

的外积与

定义：向量 ^ a ^ b ^ a  ^ b

, ,

sin

||

||||

||

) 1

( a   b   a  b   a  b  

符合右手系。

，

，且

所确定的平面垂直，

，与

b a

b

a   



 

 ) 

2 (

外积又称为向量积 .

b a

c     

a 

b 

外积

(11)

外积的性质

; ,

) 1

( a   a   b  b   a   b 

; 0 0

, 0 )

2 ( a   a      a   

; 0 //

) 3

( a  b   a   b   

; )

4 ( a   b    b   a 

);

( )

( ) 5

(  a   b    a   b 

. (

) 6

( a   b  ）  c   a   c   b   c 

外积

(12)

外积的几何意义







 b a b a b

a   || ||  ||||  || sin  , 

||

h a ||

|| 



面积为邻边的平行四边形的

，以 ^ ^

 a b

a 

b 

基向量的外积

2 ,1

2 2  j  k  i   

, ,

, j k i k i j

k j

i         











       



外积

(13)

利用坐标计算外积

则设 a   ( a ₁ , a ₂ , a ₃ ), b   ( b ₁ , b ₂ , b ₃ ),

) (

)

( a ₁ i a ₂ j a ₃ k b ₁ i b ₂ j b ₃ k b

a               

i b a j

b a i

b a k

b a j

b a k

b

a      

2 3 1

3 3

2 1

2 3

1 2

1     



k b a b

a j

b a b

a i

b a b

a   

) (

)

( ₂ ₃  ₃ ₂  ₃ ₁  ₁ ₃  ₁ ₂  ₂ ₁



3 2

1 3 2

1 b b

b

a a

a

k j

i   



外积

(14)

都垂直的单位向量。

求与 ^ a  3 ^ i  2 ^ j  4 ^ k , ^ b  ^ i  ^ j  2 ^ k 解



  







 j k

k j

i b

b b

a a

a

k j

i b

a

c 10 5

2 1

1 4 2

3 3 2

1 3 2

1 , 5 5 5

10 ||

|| c   ²  ² 



1 .

2  

  











 

 c j k

e ^c  

外积

例 2

(15)

例3 在顶点为 � 1, − 1,2 , � 5, − 6,2 和 � 1,3, − 1 的三角形中，求AC边上的高BD.

解 AC  ( 0 , 4 ,  3 ), AB  ( 4 ,  5 , 0 )

三角形 ABC 的面积为

||

2 ||

1 ^  ^

 AC AB S

2 16 25

12 2 15

1 ₂  ₂  ₂ 



, 5 )

3 ( 4

||

|| AC ^  ²   ²  S  || AC ^ ||  BD ^ 2

1 A

B

D C

外积

(16)

例4 设单位向量OA与三个坐标轴夹角相等，B是点 M(1,-3,2)关于N(-1,2,1)的对称点. 求OA  OB.

解设  _,  _,  ^是 _OA ^{的方向角，则}

OA = (cos  _{, cos}  _{, cos}  _).

由  ₌  ₌  ^可得

cos ²  _{+ cos} ²  _{+ cos} ²  _{= 3 cos} ²  _=1.

3 , cos    1

1 ).

1 , 1 ,

(

 OA 

外积

(17)

设点B的坐标是(x, y, z),则点N是MB的中点，且 .

2 1 , 2

2 2 ,1 3

2 1      

 y z

x

. 0 ,

7 ,

3  



 y z

x

OB = (-3, 7, 0),

0 7

3 3

1 3

1 







k j

i OB

OA

 



).

10 , 3 , 7 3 (

1  





外积

(18)

例5 外积的物理意义

设O为一杠杆L的支点，有一力 � 作用在这杠杆上的P点处。

力F与OP的夹角为 � 。力 � 对支点O的力矩是一向量 � ,它的模

||

|||

||

|| M  OQ F 



sin 

||

|||

|| OP F 



F 

O P L ^� 的平面，指向符合右手系 ^{的方向垂直于OP与} ^� ^所决定

外积

(19)

三、混合积

定义设已知三个向量 � , � , � ,数量 � × � ∙ � 称为这三个向量的混合积，记为 �� .

设 a   a ₁ i   a ₂  j  a ₃ k  , b  b ₁ i  b ₂  j b ₃ k  ,





3 ,

2 1 i c j c k

c

c   



 

c b

a c

b

a    ]  (    )  

[ ₁ ₂ ₃

3 2

1 c c

c

b b

b

a a

a



混合积

(20)

混合积的几何意义与性质：

(1) ^{向量的混合积} �� = � × � ∙ � 是这样的一个数，它的绝对值表示以向量 �, �, � 为棱的平形六面体的体积

. )

( )

( ]

[ ) 2

( a  b  c   a   b   c   b   c   a   c   a   b  (3) ^三向量 _{�, �, �} ^共面 ≪==≫ �� = 0

b

a    c 

a  ^b



混合积

(21)

例 6 ^已知 �� =2 , 计算 � + � × � + � ∙ � + � . 解 [( a   b  )  ( b   c  )]  ( c   a  )

) (

)]

[ a   b   a   c   b   b   b   c   c   a 



c c

b c

c c

a c

b

a                     

 ( ) ( ) 0 ( )

0   0

a c

b a

a c

a a

b

a                     

 ( ) ( ) 0 ( )

0   0  ( a   b  )  c 

. 4 ]

[ 2 )

(

2 a  b  c  a  b  c 

混合积

(22)

例7 已知不在一平面上的四点A � ₁ , � ₁ , � ₁ , B � ₂ , � ₂ , � ₂ , C � ₃ , � ₃ , � ₃ ,D � ₄ , � ₄ , � ₄ ,求四面体的体积。

3.2 向量的乘法

主要内容 ：