高雄市明誠㆗㈻ 高㆒數㈻平時測驗 ㈰期：92.03.05 範 班級
圍
1-2指數函數、圖形
+Ans 座號
姓
㈴
㆒. 填充題 (每題 10 分)
1、(1)設x∈R，令t ，則t的範圍為______。
(2)設 之最小值為______。
x
x + −
=2 2 ) 4 4
( + −
= x −x 3(2 2 ) 1 )
(x + −x +
= f
y x
答案：(1)t≥2 (2) –3 解析：(1)t=2x+2−x,
2 21 2 1 1
2 2
x
x x
x
+ ≥ ⋅ = =1 ∴t≥2
(2)y=(t2−2) 2 3 1
3 1 3 1 ( )
2 4
t t t t
− + = − − = − 2− 3
但t≥2 ∴y之最小值為–3 2、解方程式2(4x +4−x)−(2x +2−x)−6=0，則x=______。
答案：±1
解析：令t=2x+2−x ∴t2 =4x+4−x+2 ∴2(t2− − − =2) t 6 0 ∴ 5
t= 2或t= −2(不合) (∵2x+2−x≥2) 5
2 2 2
x+ −x = 令k =2x ∴ 1 5
k 2
+ =k ∴k=2或1 2 由2x=2，知x=1；由 1
2 2
x = ，知x= −1 故x= ±1 3、解方程式
(1) ) 4
32
( 1 x = ，則x=______。 (2) 5x =7x，則x=______。
(3)2x +21−x =3，則x=______。
答案：(1) 2
−5 (2)0 (3)0或1
解析：(1)∵2−5x =22 ∴ 2 0.4 5 x= − = −
(2)∵5x =7x ∴ 3
0 x=
(3)∵2x+21−x = ，令t=2x, 2 3
t+ =t , ∴t2− + =3t 2 0 故t=1或2，即x=0或1
4、某次實驗中培養細菌數目，1日後增加a倍，且已知3日後細菌數為106個，
2 41日後
其細菌數為 個，則(1) ______，(2)5日後細菌數為______個，(3)原有細菌數 為______，(4)______日後，可使細菌數達到1 個。
106
8× a=
109
024
. ×
答案：(1) 3 (2)1.6×107 (3)56 (4) 8
解析：因1日後增加a倍，故總數為a+1倍，設原有細菌k個，則 k a⋅ +( 1)3 =106且k a⋅ +( 1)92 = ×8 106故
3
(a+1)2 =8, a+ =1 4, a=3,
6 6 3
10 5 k = 4 =
5日後細菌數106×42 =1.6 10× 7個，原有細菌數為56個，8日後可到達1.024 10× 9個。
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5、解方程式
(1)36−x =243，則x=______。(2)52x −4⋅5x −5=0，則x=______。
(3)31+x −28×32x−1+1=0，則x=______。
答案：(1)1 (2)1 (3)2或–4 解析：(1)36−x =35 ∴x=1
(2)令5x =t, t2− − =4t 5 0, t=5或–1(不合) ∴x=1 (3)令32
x
=t, 2 28
3 1
t − 3 t+ =0 ∴ 1
t=9或3 ∴x=2或–4
6、設 ，則 ______ , ______ , ______ ,
______。
=3 + −x
x a
a
=
x
= + − x
x a
a2 2 a3x +a−3x = ax −a−x = a
答案：7, 18, ± 5, 3 5 2
±
解析：ax+a−x =3 ∴a2x+ +2 a−2x=9 ∴a2x+a−2x=7 a3x+a−3x =(ax+a−x)(a2x− +1 a−2x)=18
a2x− +2 a−2x =5 ∴ax−a−x = ± 5 故 3 5 2 ax ±
= 7、求方程式3x +2x=0有______個相異實根。
答案：1 解析：
3 之圖形 恰交於一點，故有1個相異實根。
2 y x
y x
=
= −
8、求方程式2x2 =2−x 有______個相異實根。
答案：2 解析：
2 2
2 x
y x
y −
=
=
之圖形有2個相異實根。
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9、解不等式
(1) ) 6
4 (1 16)
(1 x + x > ，則其解為______。
(2)10x2−3x ≥0.01，則其解為______。
答案：(1) 1
x< −2 (2)x≥2或x≤1 解析：(1)令 1
( )4
t= x ∴t2+ >t 6 ∴t>2或t< −3(不合) ∴ 1
( ) 2 4
x > , −2x>1 ∴ 1 x< −2
(2)10x2−3x ≥10−2 ∴x2−3x≥ − ⇒ ≥2 x 2或x≤1
10、某放射性物質重80 g，半衰期為
3
1秒，問2秒後剩下______公克。
答案：5 4 解析： 1
2 ( ) 6
÷ 3 = ∴ 1 6 5 80 ( )
2 4
× = (g)
11、某次實驗中培養細菌數目，1日後增加a倍且已知3日後細菌數為106個，
2 41
×10
日後其 細菌數為8×106個，則(1)a=______，(2)______日後，可使細菌達到1.024 9個。
答案：(1)3 (2)8
解析：(1)1日後增加a倍 ∴增加為a+1倍，設原有細菌k個 ∴k a⋅ +( 1)3 =106且k a( +1)92 = ×8 106 ∴
3
(a+1)2 =8 ∴a+ =1 4 ∴a=3 (2)又k× +(a 1)n =1.024 10× 9 =1024×k a( +1)3 ∴4n = ×45 (4)3 ∴
3
0
8 n= 12、解不等式
(1)若(0.5)x2−2x >0.125，則其解為______。 (2)若32x+1 ≤3x +2，則其解為______。
答案：(1)− < <1 x (2)x≤0
解析：(1)(0.5)x2−2x >(0.5)3 ∴x2−2x<3, (x−3)(x+ <1) 即− < <1 x 3 (2)3 (3 )⋅ x 2 ≤3x+2，令t=3x，得3t2− − ≤t 2 0, (3t+2)( 1) 0t− ≤ ∴ 2
3 t 1
− ≤ ≤ 又t >0 ∴0 3< x≤1 ∴x≤0
㆓. 計算與證明題 (每題 10 分)
1、0≤x≤1，則函數 f(x)=3x+1 −9x之最大值為何？最小值為何？
答案：0≤ ≤x 1 ∴1 3≤ x ≤3，令t=3x ∴1≤ ≤t 3
1 2 3 9
( ) 3 9 3 ( )
2 4
x x
f x = + − = − = − −t t t 2+ ∴ f x( )之最大值為9
4；最小值0。
2、設x>0，解x3x3−7x2 >x7x−3。
答案：(1)若x>1，則3x3−7x2 >7x−3 ∴3x3−7x2−7x+ >3 0 ∴(x+1)(3x−1)(x− >3) 0 ∴x>3或 1
1 x 3
− < < ⇒ >x 3 (2)若0< <x 1，則3x3−7x2 <7x−3 ∴x< −1或1
3< <x 3 1 3 x 1
⇒ < <
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故x>3或1 3< <x 1
㆔. 配合題 (每題 10 分)
1、
圖(一) 圖(二) 圖(三) 圖(四)
圖(五) 圖(六) 圖(七) 圖(八) 設y =ax之圖形為圖(二)，則
(1)y=a−x之圖形為______。 (2)y=−ax之圖形為______。
(3)y=−ax 之圖形為______。 (4) x a) (1
=
y 之圖形為______。
答案：
(1)圖(一) (2)圖(六) (3)圖(七) (4)圖(三) 解析：
(1)設y a= x之圖形為圖(二) ∴a>1 ∴y a= −x之圖形為圖(一)
(2)y= −ax之圖形為圖(六)
(3)y= −ax之圖形，當x>0時y= −ax，當x<0時y= −a−x ∴y= −ax之圖形為圖(七)
(4) 1
( )x
y= a 之圖形，當x>0時 1 ( )x
y= a ，當x<0時 1 ( ) x
y a
= −
∴ 1 ( )x
y= a 之圖形為圖(三)
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