95.09.14 班級普一班範圍1-1 整數座號姓名1 - 明誠

高雄市明誠中學 高一數學複習測驗 日期：95.09.14 班級 普一 班

範

圍 1-1整數

座號

姓 名 一、選擇題 (每題 5 分)

1.下列何者為質數？(A) 321 (B) 91 (C) 299 (D) 437 (E) 1069

【解答】(E)

【詳解】

(A) 321 = 3 × 107 (B) 91 = 7 × 13 (C) 299 = 13 × 23 (D) 437 = 19 × 23

(E) 1069= 32.…小於32的質數有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，都不是

1069的因數 ∴ 1069為質數

2.不大於500的自然數中，是6的倍數不是9的倍數者有幾個？

(A) 55 (B) 56 (C) 57 (D) 70 (E) 71

【解答】(B)

【詳解】

所求 = n(A6) − n(A18)，其中n(Ak)為k的倍數的個數 = [

6 500] − [

18

500] = 83 − 27 = 56

3.下列哪些是3的倍數？

(A) 7231 × 251 (B) 216³ + 712³ (C) 124³ − 214³ (D) 93275 (E) 3¹⁹⁹⁹ + 1

【解答】(C)

【詳解】

(A)∵ 7231與251皆不是3的倍數 ∴ 7231 × 251不是3的倍數

(B)∵ 216³為3的倍數，712³不是3的倍數 ∴ 216³ + 721³不是3的倍數

(C) 124³ − 214³ = (124 − 214)(124² + 124 × 214 + 214²) = − 90 × 87708 ∴ 為3的倍數 (D)∵ 9 + 3 + 2 + 7 + 5 = 26不是3的倍數 ∴ 93275不是3的倍數

(E)∵ 3¹⁹⁹⁹是3的倍數，1不是3的倍數 ∴ 3¹⁹⁹⁹ + 1不是3的倍數

4.已知六位數3ab548為99之倍數，則a + 2b =(A) 10 (B) 9 (C) 8 (D) 7 (E) 6

【解答】(C)

【詳解】

3ab548為99的倍數 ∴ 3ab548為9的倍數亦為11的倍數

∵ 3ab548為9的倍數 ∴ 9 | 3 + a + b + 5 + 4 + 8

⇒ 9 | a + b + 20 ⇒ 9 | a + b + 2 ⇒ a + b = 7或16……c 又3ab548為11的倍數 ∴ 11 | 3 − a + b − 5 + 4 − 8

⇒ 11 | b − a − 6 ⇒ b − a = 6或− 5……d

由cd知 或 或 或

則由第二組知a = 6，b = 1 ⇒ a + 2b = 6 + 2 = 8

⎩⎨

⎧

=

−

= +

6 7 a b

b a

⎩⎨

⎧

−

=

−

= +

5 7 a b

b a

⎩⎨

⎧

=

−

= +

6 16 a b

b a

⎩⎨

⎧

−

=

−

= +

5 16 a b

b a

5.(複選)設a，b，q，r均為整數，且a > b > 0，(x，y)表示整數x，y的最大公因數，[x，y]

表示整數x，y的最小公倍數，且a = bq + r，則下列各敘述何者不為真？

(A)若(a，b) = 1，則[a，b] = ab (B) [a，b] =

) (a b

ab

， (C) (a，b) = (b，r) (D) (a，b) = (q，r) (E) [a，b] ≥ ab

【解答】(D)(E)

【詳解】

由(a，b)[a，b] = | ab | ∵ a > b > 0 ∴ (a，b)[a，b] = ab (A)∵ (a，b) = 1 ∴ [a，b] = ab為真

(B)[a，b] =

) (a b

ab

， 為真

(C)∵ a = bq + r ∴ 由歐幾里得輾轉相除法原理知(a，b) = (b，r)為真

(D)不真，如35 = 10 × 3 + 5 ⇒ (35，10) = (10，5) = 5，但(35，10) ≠ (3，5) (E)不真，如a = 6，b = 4，[6，4] = 12 < 6 × 4

二、填充題(每題10分)

1. 540之正因數有 個，所有正因數之和為 。 又滿足x² | 540之整數x共有 個。

【解答】24；1680；8

【詳解】

∵ 540 = 2² × 3³ × 5 = 2² × 3² × 3 × 5

∴ 正因數之個數為(2 + 1)(3 + 1)(1 + 1) = 24

正因數之總和為(2⁰ + 2¹ + 2²)(3⁰ + 3¹ + 3² + 3³)(5⁰ + 5¹) = 1680 又滿足x² | 540之整數x=2^α⋅ ⋅3 5^{β γ}，其中α =0,1 ;β =0, 2 ;γ =0

∴ x的個數等於2(2 2 1)× × =8

2. 試求兩個正整數a，b，a > b且滿足a + b = 300，[a，b] = 1365，則序對(a，b) = 。

【解答】(195，105)

【詳解】

設d = (a，b)，則 ，(h，k) = 1且h > k ⇒

∵ (h，k) = 1 ∴ (h + k，hk) = 1，故d = (300，1365) = 15

⇒ ⇒

⎩⎨

⎧

=

= dk b

dh a

⎩⎨

⎧

=

=

= +

= +

1365 ]

[

300 ) ( dhk b

a

k h d b a

，

⎩⎨

⎧

=

= +

91 20 hk

k h

⎩⎨

⎧

=

= 7 13 k h

⎩⎨

⎧

=

×

=

=

×

=

105 7 15

195 13 15 b a

3. 已知高一新生介於700～800人，若以每班40人，45人或48人編成一班，均餘3人，

則高一新生共有 人。

【解答】723

【詳解】

設新生人數為n，700 ≤ n ≤ 800，由題意n − 3 = k[40，45，48]，k ∈ N ⇒ n − 3 = 720k

⇒ n = 720k + 3，故取n = 720 + 3 = 723

4. 設正整數a，b，c滿足(a，b，c) + [ a，b，c] = 854，且a：b：c = 10：12：15，則 a + b + c = 。

【解答】518

【詳解】

令a = 10k，b = 12k，c = 15k（k ∈ N），則(a，b，c) + [a，b，c] = k + 60k = 854 ⇒k = 14 得a + b + c = (10 14)× +(12 14)× +(15 14)× = 518

5. 設a ∈ N，若 5 3

7 2

− + a

a ∈ N，則a = 。

【解答】2或12

【詳解】

(3a − 5) | (2a + 7)且(3a − 5) | (3a − 5) ⇒ (3a − 5) | 3(2a + 7) − 2(3a − 5)

⇒ (3a − 5) | 31 ⇒ 3a − 5 = ± 1，± 31 ⇒ a = 2，12 6. (1)求6328與18645之最大公因數 。

(2)續上題，找出一組整數m，n使6328m + 18645n = (6328，18645)，則

數對(m，n) = 。

【解答】(1) 113 (2) (56，− 19)

【詳解】

(1)利用輾轉相除法 a

-2a+ b

6328 5989

18645 12656

b 2a 3a- b

-53a+18b

339 226

5989 5763

-2a+b 51a-17b -56a- 19b 113 226

226

-53a+18b 0

∴ (6328，18645) = 113

(2) 113 = 6328 × 56 + 18645 × (− 19)，∴ (m，n) = (56，− 19) 7. 設n ∈ N，若2n + 5 | 3n − 17，則所有的n值為 。

【解答】1，22

【詳解】

∵ 2n + 5 | 3n − 17又2n + 5 | 2n + 5

∴ 2n + 5 | 3(2n + 5) − 2(3n − 17) ⇒ 2n + 5 | 49

∵ n ∈ N ∴ 2n + 5 = 1，7，49 ⇒ n = 1，22，− 2（不合）

8. n ∈ Z，若p = 4n² − 9n − 9為質數，則p = 。

【解答】19

【詳解】

P = 4n² − 9n − 9 = (n − 3)(4n + 3)

∵ P為質數 ∴ n − 3 = 1或4n + 3 = 1

當n − 3 = 1時，n = 4，P = 19；當4n + 3 = 1時，n = 2

−1

（不合）

9.設n是自然數，且n⁴ − 3n² + 9是質數，則n = 。

【解答】1或2

【詳解】

∵ n⁴ − 3n² + 9 = (n⁴ + 6n² + 9) − 9n² = (n² + 3)² − (3n)² = (n² + 3n + 3)(n² − 3n + 3)為質數

∴ n² + 3n + 3 = 1或n² − 3n + 3 = 1

⇒ n² + 3n + 2 = 0或n² − 3n + 2 = 0 ⇒ (n + 1)(n + 2) = 0或(n − 1)(n − 2) = 0

∴ n = − 1或 − 2或1或2 ∵ n是自然數 ∴ n = 1或2

10.設p = (a² − 22a + 121)(a² − 2a + 69)，若a ∈ N，且p為一質數，則a = 。

【解答】10

【詳解】

∵ p = (a² − 22a + 121)(a² − 2a + 69)為質數

∴ a² − 22a + 121 = 1或a² − 2a + 69 = 1

⇒ a² − 22a + 120 = 0或a² − 2a + 68 = 0⇒ (a − 10)(a − 12) = 0或a ∉ N(判別式小於0)

∴ a = 10或12

(1)若a = 10，則p = a² − 2a + 69 = 100 − 20 + 69 = 149為質數

(2)若a = 12，則p = a² − 2a + 69 = 144 − 24 + 69 = 189 = 7 × 27不為質數

∴ 由(1) (2) 知a = 10

11.設x ∈ N，x > 1，且x除135，278，395所得的餘數均相等，則x = 。

【解答】13

【詳解】

設共同餘數為r，則x | (135 − r)，x | (278 − r)，x | (395 − r)

由x | (135 − r)，x | (278 − r) ⇒ x | (278 − r) − (135 − r) ∴ x | 143 x | (135 − r)，x | (395 − r) ⇒ x | (395 − r) − (135 − r) ∴ x | 260 又x | (278 − r)，x | (395 − r) ⇒ x | (395 − r) − (278 − r) ∴ x | 117

∴ x | (143，260，117) ∵ (143，260，117) = 13 ∴ x | 13

∵ x > 1 ∴ x = 13

12.a ∈ N，a ≤ 540，若(a，30) = 5，則合乎條件的a有 個。

【解答】36

【詳解】

令a = 5k，(a，30) = (5k，30) = 5⇒ (k，6) = 1……c，a = 5k ≤ 540 ⇒ k ≤ 108……d 由c，d可知，k之個數為108 − ([

2 108]) + [

3

108] − [¹⁰⁸

6 ]) = 36 故合乎條件的a有36個

13.設a為整數，若648用a去除餘18，747用a去除餘12，求a的最小值 = 。

【解答】21

【詳解】

由 ⇒ （a > 18）

則a為630與735之公因數且a > 18

而(630，735) = 105 = 3 × 5 × 7，則a為105之因數且最小值為21

⎩⎨

⎧

>

+

=

>

+

=

）

（

）

（ 12 12

747

18 18

648

2 1

a aq

a aq

⎩⎨

⎧

=

=

2 1

735 630

aq aq

14.設有三個質數，其積為其和的17倍，則此三質數為 。

【解答】2，17，19

【詳解】

設三質數為m，n，p，則mnp = 17(m + n + p)⇒ 17 | mnp，三質數m，n，p有一為17

令p = 17 ∴ mn = m + n + 17

⇒ mn − m − n = 17 ⇒ m(n − 1) − (n − 1) = 18

⇒ (m − 1)(n − 1) = 18 ⇒ ⇒ m = 2，n = 19

∴ 三質數為2，17，19

⎩⎨

⎧

=

−

=

−

6 9 18 1

3 2 1 1

，

，

，

， n

m

15.設a為整數，且滿足−

3 1<

7 2a<

2

3，則a值有 個。

【解答】7

【詳解】

∵ − 3 1<

7 2a<

2

3，同乘42得 − 14 < 12a < 63，同除以12得 ⇒−

6 7< a <

4 21

∵ a為整數 ∴ a值所成的集合為− 1，0，1，2，3，4，5共7個 16.設x ∈ Z，若x⁴ + x² + 1為質數，則x = ，此質數為 。

【解答】± 1，3

【詳解】

∵ x⁴ + x² + 1 = (x² + 1 − x)(x² + 1 + x)……乘法公式

x² − x + 1 = 1 ⇒ x = 0，1（0不合），x² + x + 1 = 1 ⇒ x = 0，− 1（0不合）

⇒ x = ± 1，p = 3

17.x，y ∈ N，xy − 2x + 3y = 0，則(x，y) = 。

【解答】(3，1)

【詳解】

xy − 2x + 3y = 0 ⇒ x(y − 2) + 3(y − 2) = − 6 ⇒ (x + 3)(y − 2) = − 6(x，y∈N)

x + 3 1 2 3 6

y − 2 − 6 − 3 − 2 − 1 ⇒ x − 2 − 1 0 3

y − 4 − 1 0 1 ⇒ (x，y) = (3，1)

18.我國農曆以天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸），地支（子、丑、寅、

卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥）記年，其順序為甲子、乙丑、丙寅、…。若知 西元1911年為「辛亥」年，試推算：

(1)西元1866年是什麼記年？ (2)西元2007年是什麼記年？

【解答】(1)丙寅 (2)丁亥

【詳解】

(1) 1911 − 1866 = 45 ⇒ ，由「辛亥」往前算5、9個字

∴ 1866年為丙寅年 (2) 2007 − 1911 = 96 ⇒

1 2

45 10 5

45 12 9

q q

= +

⎧⎨ = +

⎩ ^地支：寅

天干：丙

3 4

96 10 6

96 12 q q

= +

⎧⎨ =

⎩

天干：丁

地支：亥，由「辛亥」往後算6、0個字 19.設n ∈ N且 n² −9n−1∈ N，求n之值。

【解答】10或26

【解 1】

令 n²−9n−1= k ∈ N，則n² − 9n − 1 = k²

⇒ n² − k² − 9n − 1 = 0 ⇒ ² 9 ( )^{9 2 2} ( )⁹

2 2

n − n+ −k = ²+1

⇒ [ ⁹]^{2 2 8}

2 4

n− −k = 5

⇒ (n + k − 2

9)(n − k − 2 9) =

4

85，兩邊同乘4

⇒ (2n + 2k − 9)(2n − 2k − 9) = 85 = 85．1 = 17．5

∵ 2n + 2k − 9 > 2n − 2k − 9

∴ 或 ⇒ 或

⇒ 或 ，故n = 26或n = 10

【解 2】

令

⎩⎨

⎧

=

−

−

=

− +

1 9 2 2

85 9 2 2

k n

k n

⎩⎨

⎧

=

−

−

=

− +

5 9 2 2

17 9 2 2

k n

k n

⎩⎨

⎧

=

−

= +

5 47 k n

k n

⎩⎨

⎧

=

−

= +

7 13 k n

k n

⎩⎨

⎧

=

= 21 26 k n

⎩⎨

⎧

=

= 3 10 k n

1

2−9n−

n = k ∈ N，則n² − 9n − 1 − k² = 0

⇒ n =

2

) 1 ( 4 81

9± + +k²

= 2

4 85

9± + k² ∈ N（負不合），∴ 85 + 4k²為完全平方數 令85 + 4k² =A²（A∈ N），則A² − 4k² = 85 ⇒ (A+ 2k)(A− 2k) = 85且 + 2k > − 2k

∴

A A

A+ 2k 85 17 A− 2k 1 5

⇒ A 43 11

k 21 3

故n = 2 9+A=

2 43

9+ = 26或 2

11 9+ = 10