99.04.27 範圍2-1 銳角三角函數班級姓名座號一 - 明誠

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：99.04.27 範

圍 2-1 銳角三角函數 班級 姓 座號 名

一、單選題 ( 每題 5 分 )

（ ）1.△ABC中﹐∠ = °C 90 ﹐∠ =A 40°﹐CD垂直AB於D﹐已知AB=α﹐ 求CD= (1)αsin 40 cos 40° ° (2)αtan 40 sin 40° °

(3)αtan 40 cos 40° ° (4)αsin 40² ° (5)αcos 40² °﹒ 解答 1

解析 △ABC中﹐sin 40 BC sin 40

AB BC α

° = ⇒ = ⋅ °

△BCD中﹐sin 50 CD sin 50

CD BC BC

° = ⇒ = ⋅ ° =αsin 40 sin 50° ° =αsin 40 cos 40° °

（ ）2.設H 為△ABC三高的交點﹐若以b表CA的長度﹐則線段AH 的長度等 於(1) cos secb A B (2) cos cosb A B (3) cos cscb A B (4) cos tanb A B﹒ 解答 3

解析 △ACD中﹐cos AD cos

A AD b A

= b ⇒ = ⋅

△AHD中﹐∠AHD= ∠B，^csc

(

^AHD

)

^AH

∠ = AD ，csc

cos B AH

b A

= ⇒

⋅ AH=bcos cscA B

（ ）3.有一等腰三角形﹐底邊為10﹐頂角72°﹐下列何者可以表示腰長﹖

(1) 5sin 36° (2) 5 tan 36° (3) 5cot 36° (4) 5sec36° (5) 5csc36°﹒ 解答 5

解析 △ABC中﹐AM為中線，∠BAM = °36

csc36 5csc36

5

AB AB

° = ⇒ = °﹒

（ ）4.設θ 為銳角﹐若 24

cosθ=25﹐則下列何者為真﹖

(1) 7

secθ =25 (2) 24

tanθ = 7 (3) 25

cscθ=24 (4) 24

cotθ = 7 (5)以上皆非﹒

解答 4

解析 24 24

cos cot

25 7

θ = ⇒ θ=

，

sec ²⁵

θ= 24﹐ 7

tanθ=24﹐ 25 cscθ = 7

二、填充題 ( 每題 10 分 )

1. θ為銳角﹐若 4

tanθ=3﹐求cos sin₂ sec sec

θ θ θ

θ

+ ⋅

=____________﹒

解答 87 125

解析 4 tanθ =3

 ﹐如圖

sin 4

θ=5﹐ 3

cosθ=5﹐ 5

secθ =3

，

則 _{2 2}

3 4 5

cos sin sec 5 5 3 87

sec 5 125

3

θ θ θ

θ

+ ⋅ = + ⋅ =

  

 

﹒

2. 如下圖﹐直角△ABC中﹐∠ = °A 90 ﹐∠ADB=2θ﹐ 1 tanθ=2﹐求 tan 2θ =____________﹒

解答 4 3

解析 △ABC中﹐ 1

tanθ =2

,

設AB=1﹐AC=2﹐CD= =x BD﹐AD= −2 x

△ABD中﹐ ¹²

(

²

)

^{2 2 5}

x x x 4

+ − = ⇒ =

，

tan 2 ^{1 4}

5 3

2 4 AB

θ= AD= =

−

﹒

3. 如圖﹐0° < < °θ 90 ﹐AB與CD為單位圓（半徑為1的圓）的切線段﹐試以 sinθ﹐cosθ ﹐tanθ﹐cotθ ﹐secθ ﹐cscθ 表示下列線段長:

(1)AB=____________﹐(2)EF =____________﹐(3)OE=____________﹐

(4)OB=____________﹐(5)CD=____________﹐(6)OD=____________﹒

解答 (1) tanθ; (2) sinθ;(3) cosθ ;(4) secθ;(5) cotθ;(6) cscθ 解析 △OAB中﹐tan tan

1 AB AB OA AB

θ = = ⇒ = θ

，

sec sec

1 OB OB OA OB

θ= = ⇒ = θ

△OEF中﹐sin sin 1

EF EF OF EF

θ = = ⇒ = θ

，

cos cos

1 OE OE OF OE

θ= = ⇒ = θ

△OCD中﹐csc csc 1

OD OD OC OD

θ= = ⇒ = θ

，

cot cot

1 CD CD OC CD

θ = = ⇒ = θ﹒

4. 矩形ABCD中﹐已知AB=10﹐BC=8﹐若點P為CD邊上一點﹐設∠PAD=α ﹐∠PBC=β﹐則 tanα +tanβ =____________﹒

解答 5 4

解析 設PD=x﹐則PC=10−x，tanα+tanβ 10

8 8

x −x

= + 10 5

8 4

= = ﹒

5. 直角△ABC中﹐∠ = °C 90 ﹐AC=4﹐BC=3﹐自C作CD垂直AB於D﹐作DE 垂直AC於E﹐求DE=____________﹒

解答 48 25

解析 令∠ =A θ ﹐則∠CDE=θ ，

△ABC中﹐ 3

sin 5

BC

θ = AB= ﹐ 4

cos 5

AC θ= AB =

△ACD中﹐ 3 12

sin sin 4

5 5

CD CD AC

θ= AC⇒ = × θ= × =

△CDE中﹐ 12 4 48

cos cos

5 5 25

DE DE CD

θ=CD⇒ = × θ= × = ﹒

6. 直角△ABC中﹐∠ = °C 90 ﹐若AB=5﹐AC=4﹐∠A的平分線交BC於D﹐∠DAB=θ ﹐求tanθ= ____________﹒

解答 1 3

解析 AB=5﹐AC= ⇒4 BC=3，由分角線性質 5 4 BD AB DC = AC =

,

5 5

9 3 3

∴BD= × = ﹐ 4 4 9 3 3

CD= × =

，

△ACD中﹐

4 3 1

tan 4 3

CD

θ= AC = = ﹒

7. 設θ 為一銳角﹐且1 sin

2 3

1 sin θ θ

− = −

+ ﹐試求tanθ+cotθ =____________﹒

解答 3 2 2

解析 1 sin

2 3

1 sin θ θ

− = −

+ ^{⇒ −1 sinθ =}

(

^{2− 3 1 sin}

) ⁽

^{+ θ}

⁾

^{⇒ −}

(

^{3 3 sin}

)

^{θ = 3 1−}

3 1 1

sinθ 3 ⁻3 3

⇒ = =

−

，

得 1

tanθ = 2 ﹐cotθ = 2

tan cot 1 2

2

θ θ

∴ + = + 3 2

= 2 ﹒

8. sin 30° −tan 45 cos 30°⋅ ² ° + 3 sec30° −csc 60° = +a b 3（a﹐b為有理數）﹐求數對

( )

a b, =_________﹒ 解答 7 2

4, 3

 − 

 

 

解析 原式

1 3

²

2 2

1 ( ) 3

2 2 3 3

= − × + × −

1 3 2 1 3 2 3

2 2

2 4 3 2 4 3

= − + − = − + − 7 2

3 3

4 3 a b

= − = + 7

a=4﹐ 2

b= −3﹐

( )

^{, 7, 2}

4 3

a b  

∴ = − ﹒

9. 如圖﹐CD⊥AB﹐AC⊥BC﹐AC=8﹐BC=6﹐∠BCD=θ﹐則sinθ=_________﹒

解答 3 5

解析 θ+ ∠ACD= ∠ACD+ ∠CAD= °90 ，∴∠CAD=θ 6 3

sin 10 5

BC θ AB

∴ = = = ﹒

10.直角△ABC中﹐∠ACB= °30 ﹐AB=1﹐BC= 3﹐在BC上取一點D﹐使CD=CA﹐求 (1) sin15° =____________﹐(2) cos15° =____________﹐(3) tan15° =____________﹒

解答 (1) 6 2 4

− ;(2) 6 2 4

+ ;(3) 2− 3

解析 AD² =AB²+BD^{2 = +12}

(

^{2+ 3}

)

^{2 = +8 2 12 ⇒AD= 8+2 12 = 6+ 2}

1 6 2

sin15

6 2 4 AB

AD

° = = = −

+

2 3 2 3 6 2 6 2

cos15

6 2 6 2 6 2 4

BD AD

+ + − +

° = = = × =

+ + −

tan15 1 2 3

2 3

AB

° =BD= = −

+ ﹒

11.求下列各式的值:

(1) 3 tan 30° + 2 sin 45° +cos 60° =__________﹒(2)4 ² 1 ² 2 ² sin 60 tan 45 cos 30

3 ° −2 ° −3 ° =___________﹒

解答 (1)5 2;(2) 0

解析 (1)原式 1 2 1 5

3 2

2 2 2

3

= × + × + = ﹒

(2)原式

2 2

4 3 1 2 2 3 1 1

1 1 0

3 2 2 3 2 2 2

   

= ×  − × − ×  = − − = ﹒

12.求 3 tan 30° + 2 sin 45° +cos 60° =____________﹒

解答 5 2

解析 原式 1 2 1 1 5

3 2 1 1

2 2 2 2

3

= ⋅ + ⋅ + = + + = ﹒ 13.設A﹐B﹐C﹐D均為銳角﹐若 2

sinA= 2 ﹐ 1

cosB=2﹐tanC= 3﹐secD=2﹐求∠ + ∠ + ∠ + ∠ =A B C D _________﹒

解答 225°

解析 2

sin 45

A= 2 ⇒ ∠ =A °

；

cos ¹ 60

B= ⇒ ∠ = °2 B

；

tanC= 3⇒ = °C 60 ；secD=2﹐∠ =D 60° 14.1 cos 30 tan 45

1 csc 60 cot 45 + ° − °=

+ ° − ° ____________﹒

解答 3 4

解析 原式

3 3

1 2 1 2 3

2 2 4

1 1

3 3

+ −

= = =

+ −

﹒

15.如圖﹐已知AC為半圓的直徑﹐B為半圓上一點﹐AB=12﹐BC=5﹐則 cosA=____________﹒

解答 12 13

解析 半圓內的圓周角為直角∴∠ = °B 90

，

AC= 12²+5² =13 ， 12

cos 13

A AB

= AC = ﹒ 16.設θ 為銳角﹐滿足2 cos²θ+3cosθ− =2 0﹐求θ =____________﹒

解答 60°

解析 2 cos²θ+3cosθ− =2 0 ^⇒

(

^{2 cosθ−1 cos}

)(

^θ+2

)

⁼⁰

cos 1 θ 2

⇒ = 或cosθ = −2（不合）， ∴ =θ 60°﹒

17.△ABC中﹐∠ = °C 90 ﹐若cosA+8cosB=4﹐求a b c: : =____________﹒

解答 5 :12 :13

解析 cosA+8cosB=4 b 8 a 4 c c

⇒ + ⋅ = ⇒ =b 4c−8a…(1)

又a²+b² =c²…(2)

(1)代入(2)^a2+

(

^4c−8a

)

^{2=c2⇒ 65a2 64ac 15c2 0 65( )a 2 64( ) 15a 0}

c c

− + = ⇒ − + =

設

a 65 ² 64 15 0

t t t

= ⇒c − + = ^{, 13}

(

^{5 5}

)(

³

)

^{0, 5 3,}

t− t− = t=13 5

5 13 a

⇒ =c 或 3 5 a

c = （代入(1)不合）， 13 52 12

, 8

5 5 5

c= a b= a− a= a

，

12 13

: : : : 5 :12 :13

5 5

a b c a a a

∴ = = ﹒

18.設θ 是一銳角﹐已知2sinθ=cosθ﹐求cscθ=____________﹒

解答 5

解析 sin 1 1

2sin cos tan

cos 2 2

θ θ θ θ

= ⇒ θ = ⇒ = 5

csc 5

θ 1

∴ = = ﹒

19.△ABC中﹐已知AB=30﹐ 4

sinB=5﹐ 5

cosC=13﹐AD⊥BC﹐求

解答 (1)24;(2)26

解析 △ABD中﹐sin AD B= AB 4

5 30 24

AD AD

⇒ = ⇒ =

△ACD中﹐ 5 12

cos sin

13 13

C= ⇒ C= 又 12 24

sin 26

13

C AD AC

AC AC

= ⇒ = ⇒ = ﹒

20.△ABC是等腰直角三角形﹐若∠ = °B 90 且D是BC邊的中點﹐則 (1) tan∠BAD=____________﹐(2) tan∠DAC=____________﹒

解答 (1)1 2;(2)1

3

解析 令AB=BC=2﹐則DB=1﹐AC=2 2， 1 tan∠BAD=2 延長AD﹐作CH ⊥AD交AD於H ，△CHD～△ABD

1 1

1 5 2 5

DH CD CH DH CH

BD = AD= AB ⇒ = = ⇒DH = ﹐ 2 CH = 5 2

2 1

tan 5

1 5 1 3

5 5

DAC CH

∠ = AH = = =

+ +

﹒

21.如下圖梯形ABCD中﹐AD=CD=5﹐BC=10﹐θ 為銳角﹐且 4

sinα =5﹐求cosθ =___________﹒

解答 5 5 解析 4

sinα =5 ⇒DE= =4 AF﹐CE=3 ， ∴BF=10 5 3− − =2，

2 2

2 4 2 5

AB= + = ，故 2 1 5

cosθ=2 5 = 5 = 5 ﹒

22.設θ 為銳角

﹐若

tanθ =t，試以t表出sinθ =____________﹒

解答 2

1 t +t 解析 令tan

1

=t

θ ﹐則AB= 1+t²，

2 2

sin tan

1 1 tan

BC t

AB t

θ θ

= = = θ

+ + ﹒