102.03.18 範圍1-1.2 數與級數(B) 班級一年____班姓 - 明誠

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：102.03.18 範

圍 1-1.2 數與級數(B) 班級 一年____班 姓 座號 名

一、填充題 (每題 10 分 )

1.一個數列 ² 2

2 1

k k



 的第五項為____________﹒

解答 3

解析 代k  5代入

2 2

2 1

k k



 得27 9  3﹒

2.將自然數用括弧分組如下（第n組有n個數）﹕(1)﹐(2 , 3)﹐(4 , 5 , 6)﹐(7 , 8 , 9 , 10)﹐…

(1)第100個括弧的第100個數是____________﹒

(2)100是第m個括弧的第n個數﹐則數對(m , n)為____________﹒

解答 (1)5050;(2)(14 , 9)

解析 (1)第100個括弧的第100個數 1  2  3 … 100 (101)(100)

2 5050﹒

(2)1  2 … k  100﹐k  13.…﹐∴1  2  3 … 13  91﹐

∴100為第14括弧內第9個數﹐(m , n)  (14 , 9)﹒

3.試求1到1000之間﹐是4的倍數又是6的倍數的整數有____________個﹒

解答 83

解析 是4的倍數﹐又是6的倍數﹐即為最小公倍數12的倍數﹐12的倍數形成一等差數列an﹐

an  12﹐24﹐36﹐…﹐首項為12﹐公差為12﹐

an  12  (n  1)  12  1000  n  83﹒

4.

3 7

3 7





與

3 7

3 7





的等差中項為____________﹒

解答 2 5

解析 a b c, , 成等差



b^為a c, 等差中項



2 a c b 

3 7

3 7





與

3 7

3 7





的等差中項為1 7 3 7 3

( ).

2 7 3 7 3

  

 

2 2

1 ( 7 3) ( 7 3) 5

2 ( 7 3)( 7 3) 2

  

  

 

5.若直角三角形之三邊長成等差數列﹐則三邊長之比為____________﹒（由小至大）

解答 3：4：5

解析 設三邊長為a  d﹐a﹐a  d﹐（a﹐d  0）﹐則(a  d)²  a²  (a  d)²﹐ a²  4ad  0  a (a  4d)  0  a  4d或0（0不合）﹐

∴三邊比為3d：4d：5d  3：4：5﹒

6.設a﹐b﹐c均為整數﹐1  a﹐b﹐c  9﹐已知a﹐b﹐c成等差數列﹐且

0.

a

 0.4

b

 1.2

c﹐則 序組(a , b , c)=____________﹒

解答 (7 , 5 , 3)

解析 原式 40 20

9 99 1 99

a b c

     11a  (40  b)  99  20  c 11a  b  c  79……

a﹐b﹐c成等差數列﹐∴a  c  2b﹐代入式得b  12a  79﹐∴取a  7  b  5﹐c  3﹒

7.在1和100之間放入a2﹐a3﹐a4﹐…﹐a8﹐a9等8個數﹐使1﹐a2﹐a3﹐a4﹐…﹐a8﹐a9﹐100成等差 數列﹐則a5  ____________﹒

解答 45

解析 100  1  (10  1)d﹐d  11﹐



a5  1  (5  1)  11  45﹒

8.等比數列an中,依序為 2 1, 1, 2 1, ,則此數列第n項an  ____________﹒

解答 ( 2 1) ^n2

解析 1

2 1 r 2 1 

 ﹐∴a_na r₁ ^n1( 2 1)( 2 1)  ^n1( 2 1) ^n2.

9.每月月初存入銀行10000元﹐月息0.1%﹐按月複利計算﹐則十年期滿可領回本利和____________元﹒

（1.001¹²⁰大約1.127）

解答 1271270

解析 十年本利和 10000(1.001  1.001²  1.001³ … 1.001¹²⁰)  10000 1.001(1.001¹²⁰ 1) 1.001(1.127 1)

10000

1.001 1 0.001

   



 10000  1001  0.127  1271270﹒

10.利用等長的牙籤圍成正方形的方格﹐以an表示圍成n  n方格所用的牙籤數﹐n  1﹐2﹐3﹐4的情 形如下圖﹐求an  ____________﹒

解答 2n²  2n

解析 a1 

2 [2 (1)]    1 2 2 [2 ]

2

   

2  (1  2)  4

a2 

2 [2 (1 2)]     2 3 2 [2 ]

2

   

2  (2  3)  12

a3 

2 [2 (1 2 3)]      3 4 2 [2 ]

2

   

2  (3  4)  24

a4 

2 [2 (1 2 3 4)]       4 5 2 [2 ]

2

   

2  (4  5)  40



an 

2 [2 (1 2 3      

 n

)]  ( 1)

2 [2 ]

2

n

 

n

  

2  [n  (n  1)]  2n²  2n﹒

11.設P為質數﹐n為自然數﹐f (n)  3^{2n  1}  2^{n  2}對一切自然數n使得f (n)為P的倍數﹐則

(1)P的最大值為____________﹒

(2)請用歸納法證明(1) 解答 (1)7 (2)請參閱

解析 (1)f (1)  3³  2³  35  5  7﹐

f (2)  3⁵  2⁴  259  7  37﹐

f (3)  3⁷  2⁵  2219  317  7﹐∴推測P的最大值為7﹒

(2)①檢驗n

 1

，f (1)  3³  2³  35  5  7 原式成立

②設n



k， f k

( )  3

^2k1

 2

^k2

 7 ,

m m



Z

當n

 

k

1

， f k

(   1) 3

^{2(k 1) 1}

 2

^{(k 1) 2}

 9(3

^2k1

 2

^k2

) 7 2  

^k1

 7(9

m

 2

^k1

)

為7倍數。

12.試利用數學歸納法證明對所有正整數n﹐ 1 1 1 1

1 2 2 3 3 4 ( 1) 1

n

n n n

    

       恆成立。

證明

(1)當n  1時﹐左式 1 1 1 2 2

 ﹐右式 1 1

1 1 2

 

 ﹐左式右式﹐故當n  1時原式成立﹒

(2)設當n  k時成立﹐即 1 1 1 1

1 2 2 3 3 4 ( 1) 1

k

k k k

    

       ﹐

則當n  k  1時﹐左式 1 1 1 1

1 2 2 3 k (k 1) (k 1) (k 2)

    

       

1

1 ( 1)( 2)

k

k k k

 

    ( 2) 1 ( 1)² 1

( 1)( 2) ( 1)( 2) 2

k k k k

k k k k k

      

     右式﹐

根據數學歸納法﹐原式對所有的正整數n都成立﹒

13.設數列  an  滿足a1  1﹐an  5a_{n  1}  8（n  2﹐3﹐…）﹐則an  ____________﹒

解答 3  5^{n  1}  2

解析 an    5(an  1   )an  5an  1  4  ﹐

∴ 4   8   2代入，經累積an  2  (a1  2)  5^{n  1} 故an  3  5^{n  1}  2﹒

14.設數列  an  的首項a1  2且滿足遞迴關係式﹕an  3a_{n  1}  2﹐n  2觀察歸納的規則﹐試推測一般 項an的通式（以n表示）____________﹒

解答 an  3ⁿ  1﹐n

解析 ¹

1

2

3 2 2

n n

a

a a_ n

 

   

 ‚ a1  2  3¹  1﹐a2  8  3²  1﹐a3  26  3³  1﹐a4  80  3⁴  1 推得an  3ⁿ  1﹐代入得an  1  3(3ⁿ  1)  2  3^{n  1}  1，∴an  3ⁿ  1﹐n﹒

15.如圖﹐設圖An所有點的總數an﹐試找出an  1與an的關係（其中n  2）____________﹒

A₁ A₂ A₃ A₄

解答 an  an  1  4n  3

解析 a1  1﹐a2  a1  2  4  3﹐a3  a2  4  3  3﹐a4  a3  4  4  3an  an  1  4n  3﹐n  2﹒

16.級數和

3

1

(2 1)2ⁿ

n

n



 



____________﹒

解答 54

解析 所求 (2  1  1)2¹  (2  2  1)2²  (2  3  1)2³  54﹒

17.數列an的a1  5且an  a_{n  1}  (2n  1)﹐n為正整數且n  2﹐則an  ____________﹒

解答 n²  2n  2

解析 ∵a_na_n12n1﹐

∴a₂a₁5

3 2 7

a  a 

4 3 9

a  a 





)a_n a_n1 (2n 1)

   

 

  

1

2

5 7 9 2 1

1 2 6

5 2 2

2

an a n

n n

n n

      

 

    



18.計算

20

1

2 ( 1)

k

k k





 ____________﹒

解答 6160 解析

20 20 20 20

2 2

1 1 1 1

2 ( 1) (2 2 ) 2 2

k k k k

k k k k k k

   

    

   

 20 21 41 20 21

2 2

6 2

  

   5740  420  6160﹒

19.求1  39  3  37  5  35 … 37  2  39  1  ____________﹒

解答 5340

解析 1  39  3  37  5  35 … 39  1

20

1

(2 1)(41 2 )

k

k k







  ^{20 2}

1

(82 4 41 2 )

k

k k k







   ^{20 2}

1

( 4 84 41)

k

k k







   20(21)(41) (20)(21)

4 84 41 20

6 2

         11480  17640  820  5340﹒

20.設

1 1

n k k

a n

 n

 



^﹐則a9  ____________﹒

解答 1 90 解析

9 8

9

1 1

9 8 1

10 9 90

k k

k k

a a a

 









   ^﹒

21.用單位長的不鏽鋼條焊接如下圖系列的四面體鋼架﹐圖中的小圈圈「。」表示焊接點﹐圖1有兩層 共4個焊接點﹐圖2有三層共10個焊接點﹐圖3有四層共20個焊接點﹒試問依此規律﹐推算圖5 有六層共多少焊接點？____________個﹒

解答 56

解析 第l層有

1 2 3     

 l

1

( 1) 2

l

k

k l l



＝

＋ 個焊接點﹒

圖5共6層的焊接點共有 ⁶

1

( 1)

l 2 l l





 ^1₂^{[ 6 2}

1 l

l



 ^{ 6} 1 l

l



 ^{] 1}₂^{[6 7 13 }₆ ^{6 7}₂ ^{]  56個﹒}

22.求1³  2³  3³  4³  …  21³  ____________﹒

解答 4961

解析 原式  (1³  2³  3³  …  21³)  2(2³  4³  …  20³)  (1³  2³  …  21³)  2  2³(1³  2³  …  10³)

21 22 ² 10 11 ²

( ) 16( )

2 2

 

   53361  48400  4961﹒

23.設等差數列an 與bn滿足 2 3 6 4,

n n

a n

b n

 

 且前n項和分別為Sn與S'n﹐則S11：S'₁₁ = ____________﹒

解答 3：8 解析

S11：S' ₁₁  11a₆：11b₆  (2  6  3)：(6  6  4)  3：8﹒

24.數列an中﹐假設An  a₁  2a₂  2²a3 … 2^{n  1}an  n²﹐則數對(a₁ , a5)  ____________﹒

解答 (1 , 9 16) 解析 A1  a1  1﹐

A2  a₁  2a₂  4  a₂ 3 2 2 1

2 2

   ﹐

A3  a₁  2a₂  4a₃  9  a₃ 5 2 3 1₂

4 2

   ﹐

A4  a1  2a2  4a3  8a4  16  a4 7 2 4 1₃

8 2

   ﹐a₅ 2 5 1₄ 9

2 16

  

依此類推﹐(a₁ , a5)  9 (1, )

16 ﹒ 25.數列an的前n項和為 ¹(3 1)

2

n n

S a 

 且a₄  54﹐則a₁  ____________﹒

解答 2

解析 _{4 4 3} ¹((3⁴ 1) (3³ 1)) 27 ₁ 54 ₁ 2 2

a S S a     a   a ﹒

26.如圖是七個正方形S1﹐S2﹐…﹐S7﹐Sk  1內接於Sk且Sk  1的四個頂點正好是Sk四條邊的中點（k  1﹐

2﹐3﹐4﹐5﹐6）﹐已知S1的邊長為4公尺﹐則這七個正方形面積的總和 ____________﹒

解答 127 4

解析 ²

1

S

S 邊長比 1

2 ﹐面積比1

2﹐所求面積和 16  8 …

1 7

16 1 ( )

1 2 127

1 .

4 1 4

2

  

 

 

 



27.若兩等差數列  an  與  bn  的前n項和之比為(4n  3)：(7n  2)﹐求 ^{11 25}

11 25

a a

b b

 

 ____________﹒

解答 11 19

解析 設  an  之公差d1﹐  bn  之公差d2

 an  前n項和 (2 ¹ ( 1) )¹

n 2

a n d n

A   

  ﹐ bn  前n項和 (2 ¹ ( 1) ²)

n 2

b n d n

B   

 

11 25 1 1 35

11 25 1 2 35

2 34 4 35 3 11

2 34 7 35 2 19

a a a d A

b b b d B

   

   

    ﹒

28.設△A₁B1C1為一正三角形﹐連結△A₁B1C1各邊中點而得一正三角形A2B2C2﹐再連結△A₂B2C2各邊中 點而得一正三角形A3B3C3﹐若A B_{1 1} 1﹐試求此三個三角形的面積總和為____________﹒

解答 21 3 64

解析 如圖﹐因 _{1 1} 1

n n 2 n n

A B_{ }  A B ﹐

∴△A_{n  1}Bn  1Cn  1的面積為△AnBnCn之面積的1 4倍﹐

而△A₁B1C1的面積 3 ² 3

4 1 4

   ﹐∴全部面積總和為 ³

3 1

(1 )

4 4 21 3

1 64

1 4

 



﹒

29.級數 ₂

1

1

4 1

n

k k 



^的和  ____________﹒（用n表示）

解答

2 1

n n 解析 ₂

1 1 1

1 1 1 1 1

( )

4 1 (2 1)(2 1) 2 2 1 2 1

n n n

k_ k  k_ k k  k_ k  k

    

  

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2

[( ) ( ) ( )] (1 )

2 1 3 3 5 2 1 2 1 2 2 1 2(2 1) 2 1

n n

n n n n n

          

    

 ﹒

30.曾瓊酸於年初向銀行借錢66200元﹐年利率10%﹐每年複利計息一次﹒若曾瓊酸打算每年年底還一 次﹐每次攤還金額相等﹐分三年還清﹐則每年年底應還____________元﹒

解答 26620

解析 設每年應還x元﹐則x  1.1²  x  1.1  x  66200  1.1³  3.31x  66200  1.1³  x  26620 31.求級數和

1

2 1

( )

3 3

n

k n

k

k



 



____________﹒

解答 3 1

(1 )

2 3ⁿ

解析 _{2 3}

1

2 2 4 6 2

3

3 3 3 3

n

k n

k

k n



    



^

設 S 2 4₂ 6₃ 2

3 3 3 3ⁿ

   n

 )1 2₂ 4₃ 2( 1) 2 ₁

3 3 3 3ⁿ 3ⁿ

n n

S      _

2 3 1

2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3ⁿ 3ⁿ

S       n_

1

2 1

[1 ( ) ]

2 3 3 2

3 1 1 3

3

n

n

S n_



  

 S 3 1 2 ₁

[1 ( ) ]

2 3 3

n n

n

    3 3 1 2 2 3( ) 3

n n

  n

又

1 1 1

2 1 2 1 3 3 1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 3

3 3 3 3 3 3

n n n

n

k n k n n n

k k k

k k n

n

  

       

  

^{ 3}₂ ^{3 1}_{2 3}^{( )n 3}₂^(1₃^1n)﹒

32.求3²  7²  11²  15² … 35²  39²  ____________﹒

解答 5730 解析

10 10 10 10 10

2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

3 7 11 39 (4 1) (16 8 1) 16 8 1 5730

k k k k k

k k k k k

    

  ^ 



 



  





 

  ^﹒ 33.有一球自18公尺的高處落下﹐每次落地後反彈的高度為原高度的2

3﹐則此球自開始落下至第4次 著地所經過的總路程是____________公尺﹒

解答 206 3

解析 總路程 2 2 ² 2 ³ 32 206

18 2 (18 ) 2 18 ( ) 2 18 ( ) 18 24 16

               （公尺）﹒

34.計算1 1 2 1 2 3 1 2 49

( ) ( ) ( )

2 33  4 4 4   5050  50 ____________﹒

解答 1225 2 解析 所求

49 49 49

1 1 1

1 2 ( 1) 1 1 49 50 1225

1 2( 1) 2 2 2 2

k k k

k k k

k k k

  

    

     

 



^

 

^﹒

35.級數1²  2²  3²  4² … (2n  1)²  (2n)²的和為____________﹒

解答  2n²  n

解析 ^{2 2 2 2 2 2 2 2}

1

1 2 3 4 (2 1) (2 ) [(2 1) (2 ) ]

n

k

n n k k



   ^   



 

2 1

( 1)

( 4 1) 4 2

2

n

k

k n n n n n







          ^﹒

36.下圖中﹐n  k表由內而外張得k個正五邊形﹐依此圖形的規律（第k個正五邊形每邊有k  1個圓 點）﹐n  20時﹐這20個正五邊形圖中﹐有____________個圓點﹒

解答 651

解析 n  0→n  1→n  2→n  3→n  4

4 7 10 ?

1  ^ 5 ^ 12 ^ 22^ ?

+3 +3 +3

由前述規律知：所求 20(2 4 19 3)

1 {4 7 10 [4 3 (20 1)]} 1 651

2

  

            ﹒