98.04.22. 班級範圍2-3 排列(2) 座號姓名一、選擇 - 明誠

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：98.04.22.

班級 範

圍 2-3 排列(2)

座號

姓 名 一、選擇題 (每題 10 分 )

( ) 1.「庭院深深深幾許」等七個字重排﹐則

(1)三個「深」字相連的排列數  120﹒

(2)同字不相鄰的排列數  240﹒

(3)首末排「深」字且同字不相鄰的排列數  96﹒

(4)「庭、院」兩字排在「深」之左的排列數  84﹒

(5)「庭、院」兩字排在「深」之左﹐「幾、許」兩字排在「深」之右的排列數  40﹒

解答 124 解析

(1)三個「深」相連﹐將三個「深」綁在一起與其他字排列﹐排法有5！

3!

 3!

 120種﹒

(2)同字不相鄰﹐

「庭、院、幾、許」先排﹐再將「深」字插在5個間隔中的3個﹐4！ 240

3

5 3 

！

P 種﹒

(3)首末排「深」且同字不相鄰﹐

深 ○ˇ○ˇ○ˇ○ 深

「庭、院、幾、許」排入4個○中，第三個「深」排入中間3個間隔之一，

其排法有4！

 P

₁³  72種﹒

(4)「庭、院」在「深」之左﹐

○○○○○幾許﹐排法有

！

！ 5 7

﹐

最左二位置填入「庭、院」兩字有2！種填法﹐其餘三個位置填「深」字填法

3!

3! 

1種﹐

故所有排法有7 ! 3!

2! 84

5 !  3!  種﹒

(5)「庭、院」在「深」之左﹐「幾、許」在深之右﹐

○○深深深○○

↓ ↓ 「庭、院」 「幾、許」

排法有

3!

3!

 2！ 2！ 4種﹒

( ) 2. 五對夫婦圍一圓桌而坐﹐下列何者正確？

(1)夫婦相對之坐法有4！ 2⁵種﹒

(2)夫婦相鄰之坐法有4！ 2⁵種﹒

(3)男女相間且夫婦相鄰之坐法有4！ 5！種﹒

(4)男女相間且夫婦相對之坐法有4！ 2種﹒

(5)男女相間且夫婦不相鄰之坐法有4！ 13種﹒

解答 25

解析

(1)其中一對夫婦先環排﹐其餘4對夫婦再排於剩餘的4條直徑的兩端2! ^{4 4}

4! 2 4! 2

2     ﹒

(2) 5對夫婦視夫婦為一體先環排﹐但夫婦兩人可交換 5! ^{5 5}

2 4! 2

 5    ﹒

(3)視夫婦為一體﹐可五對都男右女左或男左女右 5! ⁴

2 1 4! 2

 5     ﹒

(4)可五男先環排﹐太太分別坐其先生對面 5!

1 4!

 5   ﹒ (5)ABCDE先環排有5!

5 4!種﹐

如下圖: a有可選﹐

(i)若a選﹐則由開始逆時針依次可為bcde﹐ebcd﹐ebdc﹐ecbd4種﹒

(ii)若a選﹐則由開始逆時針依次可為bcde﹐bced﹐cbde﹐cbed﹐bdec5種﹒

(iii)若a選﹐則由開始逆時針依次可為bcde﹐cdeb﹐cedb﹐dceb4種﹒

故所求為4! (4  5 4) 4! 13﹒

二、填充題 (每題 10 分)

1. 從1、2、3、4、5、6、7七個數中﹐組成數字不重複的三位數﹐則其中3的倍數有____________個﹒

解答 78 解析

將7個數字分三類：3

k

^{型者有3﹐6﹐}

3 k  1

型者有1﹐4﹐7﹐

3 k  2

型者有2﹐5﹐



3 k

^型取1個﹐

3 k  1

型取1個﹐

3 k  2

型取1個排列之﹐三位數有2  3  2  3！ 72個﹒



3 k  1

型取3個排列之﹐三位數有1  3！ 6個﹐∴ 三位數有

72  6  78

個﹒

2. 六對夫婦圍圓桌聊天﹐試求男女相間且夫婦相鄰的坐法有____________種﹒

解答 240

解析 設六對夫婦為

Aa

﹐

Bb

﹐

Cc

﹐

Dd

﹐

Ee

﹐Ff ﹐

A﹐B﹐

C

^﹐D﹐E﹐F先入座﹐其坐法有5！種﹐

a

^{入座時﹐只限於}A之左右兩間隔之一﹐

當

a

^{坐定後﹐其餘}

b

^﹐

c

^﹐

d

^﹐

e

^﹐ f 只有一種坐法﹐如下圖﹐故坐法有5！ 2  240種﹒

3. 有四對夫婦圍一圓桌環狀而坐﹐則

(1)每對夫婦均相鄰的坐法有____________種﹒

解答 (1)96;(2)12

解析 (1)夫婦視為一體﹐排好後再互換位置﹐故坐法有 2 96 4

4 ₄



！

種﹒

(2)男先入座﹐再將女安排在間隔中﹐其坐法有2種﹐故坐法有 2 12

4 4！ 

種﹒

4. 本校高二畢業之旅﹐花東線梯隊舉行營火晚會﹐有某一小隊共8人﹐圍成一圓圈跳舞﹐若規定甲乙要 相對﹐丙丁要相鄰﹐方法有____________種﹒

解答 192 解析

2

!

2  ( 4  2！)  4！ 192﹒

　 ↑　　　　 ↑ 甲乙相對　 丙丁相鄰

5. 一家六口圍圓桌而坐﹐若么女一定要坐在父母中間﹐試問共有__________種坐法﹒

解答 12 解析 4

!

4 _{ 2！ 12﹒}

↑ 父母可對調

6. 6對夫婦圍圓桌﹐不計方位﹐每對夫婦均相對而坐﹐有____________種方法﹒

解答 3840

解析 主人夫婦先相對入座﹐坐法有 2

!

2 ﹐再讓五對夫婦入座有5！種坐法﹐

此五對夫婦可對調有2⁵種坐法﹐故所求為 2

!

2  5！ 2⁵  3840﹒

7. 5對夫婦圍圓桌而坐﹐

(1)其中某三位女生要相鄰而坐﹐共有____________種方法；

(2)如果每對夫婦都相對而坐﹐則有____________種方法﹒

解答 (1)30240;(2)384

解析 (1)三位女生先排列坐下後﹐剩下的7個人﹐再坐在打圈的位置﹐共有3！ 7！ 30240種﹒

視為8人環排7!﹐3女排列3!﹒

(2)如下圖﹐任選一對坐在1﹐6的位置環排之後﹐剩下的四對夫婦在2

到5的四直徑兩端互換﹐所以有

2!

2 

4！ 2⁴  384種坐法﹒

8. 本校高二班際排球比賽﹐日前結束﹐由某班奪冠﹒慶功宴時﹐16名球員圍一長方形桌而坐﹐如果長邊 每邊坐5人﹐短邊每邊坐3人﹐試問共有____________種坐法﹒（本題以階乘表示即可）

解答 815!

解析 16 !

(5+3)

16   8  15！﹒

9. 紅﹐黃﹐白﹐…等10顆不同色的珠子﹐

(1)任選6顆作環狀排列﹐有____________種不同的排法﹒

(2)任選6顆（含紅﹐黃﹐白）串成一項圈﹐且紅﹐黃﹐白三色均不得相鄰﹐則可串出___________

種不同的項圈﹒

解答 (1)25200;(2)210 解析 (1)

10 6

6

P  25200﹒ (2)

7 3 3

3

1

3 2

P P   210﹒

項圈翻轉數2 紅、黃、白三色插空隙排法

紅黃白以外7色選3色環狀排列

10. 顏色不同的7顆珠子﹐

(1)串成一條項鍊有_________種方法﹐(2)若其中紅﹐藍﹐綠三色須串一起﹐則有__________種方法﹒

解答 (1)360;(2)72 解析 (1)

7 7！_

2

1 _{ 360﹒}

(2) 5

!

5  3！

2

1 72種﹒

翻轉數 紅、藍、綠排法

紅藍綠××××環狀排列

11. 7種不同色﹐塗長方體（長、寬、高各異）之各面﹐各面異色﹐且可任意翻轉﹐則有____________種

不同之塗法﹒

解答 1260

解析

7

4 1

7 6 2

4 2

 P    1260﹒

12. 有10種顏色﹐塗下列多面體﹐每面一色且每面顏色不同﹐多面體可任意翻轉﹐

(1)塗一正方體﹐有____________種方法﹒

(2)塗一長﹐寬﹐高均不相等之長方體﹐有____________種方法﹒

解答 (1)6300;(2)37800 解析 (1) 10  9 

8

4 1

4 6

P   6300﹒ (2) 10  9 

8

4

1

4 2 2

P  

 37800﹒

13. 8人圍坐﹐

(1)坐一正方桌﹐每邊2人﹐有____________種坐法﹒

(2)坐一長方桌﹐長邊3人﹐短邊1人﹐則有____________種坐法﹒

解答 (1)10080;(2)20160 解析 (1)8 !

2 10080﹒ (2)8 !

(3+1)

  20160﹒

14. A﹐B﹐C﹐D﹐E﹐F﹐G﹐H共8個人﹐圍一圓桌而坐﹐

(1) A﹐B相鄰的坐法有____________種﹒

(2) A﹐B相對而坐的方法有____________種﹒

解答 (1)1440;(2)720 解析

(1)將A﹐B兩人綁在一起與其他6人環排再互換﹐

7

!

7 _{ 2！ 1440}

種坐法﹒

(2)A﹐B相對而坐﹐即只有

2!

2 =

^{1種坐法﹐當A﹐B坐定後﹐其餘在A﹐B} 的左右6個位置6人入坐方法有6！種﹐∴坐法有1  1  6！ 720種﹒

15. 三對夫婦

Aa

^﹐

Bb

^﹐

Cc

^{﹐6人圍圓桌而坐﹐}

(1)

Aa

相鄰﹐則坐法有___________種﹒ (2)

Bb

不相鄰﹐則坐法有___________種﹒

解答 (1)48;(2)72 解析

(1)Aa視為1人﹐與其他4人環狀排列，共有5

5！2!

 48種坐法﹒

(2)A﹐

a

﹐

C

﹐

c

4人環狀排列﹐有



！

種坐法﹐

4個空位選2個排B﹐

b

有4．3種坐法（如圖）﹐ ∴ 共有

4 4！

．

P

₂⁴  72種坐法﹒

16. 用五種不同的顏料塗一正四面體積木﹐則各面均異色的塗法有____________種﹒

解答 10 解析

從5色選出1色﹐塗底部塗法有5種﹐選3色塗正四面體3側面﹐又翻轉數4，

塗法有

4

3 1

5 10

3 4

P   種﹒

17. 兄弟二人在排成一列的20個空位中﹐選坐不相鄰的兩個座位就座﹐則有____________種坐法﹒

解答 342 解析

(從20個座位任選兩個入座)  (選中兩相鄰座位的坐法)﹐∴ 全部坐法有P²⁰₂  380﹐

選中相鄰座位的選法有(1﹐2)﹐(2﹐3)﹐(3﹐4)﹐(4﹐5)﹐…﹐(19﹐20)共19種﹐

∴ 兄弟二人相鄰而坐的坐法有19  2！ 38﹐故所求為380  38  342﹒

18. 以七種顏色﹐塗長、寬相等﹐高不同之長方體﹐每面異色﹐顏色不重複使用﹐其塗法有________種﹒

解答 630

解析 先塗□ABCD下底面﹐再塗□EFGH上底面﹐塗法有7 6 P^_種﹐

再塗側面﹐故側面環排塗法有





P

種﹐上下底面翻轉後相同﹐再除

以2﹐∴ 所求塗法有

7

7 2

2

1 4 2

P  P 

 630種﹒

19. 二年級甲、乙、丙三班的班長與副班長共六位﹐

(1)六位排成一列﹐排列數為____________﹒

(2)六位排成一列﹐同班二位不相鄰的排列數為____________﹒

(3)六位圍正三角桌而坐﹐每邊二人﹐則坐法有____________種﹒

(4)排成前後二列三行﹐同班二位同行之排列數為____________﹒

解答 (1)720;(2)240;(3)240;(4)48 解析

(1)6人排一列﹐共6 !  720種排法﹒

(2)同班2人不相鄰  (全部)  (有1班2人相鄰)  (有2班2人相鄰)  (3班皆2人相鄰)

 6 !  C₁³．2．5 !  C³₂．2²．4 !  2³．3 !

2人相鄰視為 2人可交換 1人，與剩下 3班排列 選1班 4人排列 每班2人可交換

 720  720  288  48  240﹒

(3)6人入座每邊2人﹐1種坐法經過旋轉﹐有3種情形視為相同﹐

∴ 坐法有6 !

6 2  240種﹒

(4)同班2人有前、後2種排法﹐共2³種排法﹐又3班排3行﹐有3！種排法﹐

∴ 共2³．3！ 48種排法﹒

20. 已知三艘不同的渡船﹐每船最多能載4人﹐試求6人渡河時﹐安全過渡的方法有____________種﹒

解答 690

解析 6人渡河時﹐超載的情形有二類：

6人同搭乘一船﹐其搭乘方法有

P

₁³



3種﹒

6人中有5人同搭乘一船﹐另一人搭另外一船﹐其方法有

6 1   P

₂³



6  3  2  36種﹒

∴ 6人安全渡河的方法有3⁶  3  36  690種﹒

21. 若4個男生﹐4個女生圍坐一圓桌用餐﹐則 (1)某兩個男生不相鄰的坐法有____________種﹒

(2)某兩個男生要相對而坐﹐且某兩個女生也要相對而坐的方法有____________種﹒

解答 (1)3600;(2)144

解析 (1) (全部)  (兩人相鄰) 

8

! 8 _

7

!

7  2!  3600﹒

(2) 2

!

2  6  1  4！ 144（種）﹒

　　　　　 兩女生的選法 　 男生先坐

22. 主人夫婦與賓客四對夫婦共10人﹐圍一圓桌而坐﹐依下列條件﹐求其坐法：

(1)任意坐﹒ (2)每對夫婦相鄰﹒ (3)男女相間﹒ (4)男女相間夫婦相鄰﹒

(5)主人夫婦相對而坐﹒ (6)每對夫婦皆相對而坐﹒

解答 (1)362880;(2)768;(3)2880;(4)48;(5)40320;(6)384

解析 (1) 10

!

10  9！ 362880（種）﹒

(2) 5

!

5 _{ 2}5  768種﹒

每對夫婦皆可互換位置

每對夫婦視為一人，5人環狀排列

(3)五位男生先坐﹐有 5

!

5  4！種﹐

女生再坐入「×」的位置﹐有5！種（直線排列）﹐共有4！ 5！ 2880種﹒

(4)五位男生先坐有4！種﹐坐定後﹐太太只能選坐先生的左方或右方﹐故有4！ 2  48種﹒

(5)主人夫婦先坐有 2

! 2 _{ 1}

種﹐坐定後﹐其餘8人入座有8！種﹐故共有8！ 40320種﹒

(6)主人夫婦先坐有 2

!

2  1種﹐其餘8人的坐法有4！ 2⁴  24  16  384種﹒

夫婦可對換

4條線的排列

23. 用6種不同顏色﹐塗(1)正方體﹒ (2)長方體（長寬高均不相等）﹒ 有幾種塗法？

解答 (1)30;(2)180 解析 (1)

4

4 1

6 5 4 6

 P   30﹒ (2)

4

4 1

6 5 2

4 2

 P    180﹒

下底

上底

下底 上底

24. 用6種不同顏色塗一正立方體積木﹐每面一色﹐且相鄰兩面不同色﹐試求下列塗法各多少種？

(1)恰用3色﹒ (2)恰用4色﹒ (3)恰用5色﹒ (4)恰用6色﹒

解答 (1)20;(2)90;(3)90;(4)30

解析 (1)恰用3色：先從6色取出3色﹐取法有

C

₃⁶



！ 3

6

P3

 20種﹐

三色塗正立方體﹐相鄰不同色﹐對面必同色﹐塗法只有1種﹐恰用三色塗法20  1  20種﹒

(2)恰用4色：先從6色取出4色﹐取法有

C

₄⁶



！ 4

6

P4

 15種﹐

設取出4色為A﹐B﹐

C

^﹐D﹐塗法分兩類：

上底A﹐下底A時﹐側面有3種（如下圖）﹒

上底A﹐下底不是A時﹐側面有3種（如下圖）﹐

∴ 塗法共有15  (3  3)  90種﹒

(3)恰用5色：先從6色取出5色﹐取法有

C

₅⁶



6

5

6 5 

！

P 種﹐

5色中有1色塗相對兩面﹐其餘4色塗側面﹐

∴ 塗法有6  5 1  4 4！

2

1  6  5  3  90種﹒

(4)恰用6色：每面均異色﹐先選一色塗上底選法6種﹐再選一色塗下底選法5種﹐

餘4色塗側面﹐塗法有 



！

種﹐塗好後可以翻轉﹐任何一面均可翻到上底﹐

即一種塗法經翻轉有6種不同情形﹐故塗法有6  5  4 4！

6

1 30種﹒

25. 由八顆不同珠子﹐

(1)串一項鍊﹐方法有幾種？ (2)取6顆置於桌面作一環﹐方法有幾種？

(3)取6顆作一環﹐再放一顆於環心﹐排法有幾種？

解答 (1)2520;(2)3360;(3)6720 解析 (1)8!

8  2

1_{ 2520﹒}

(2) 置於桌面作一環(環排)

8 6

6

P  3360﹒ (3) 8 

7 6

6

P  6720﹒

另7顆取6顆環排 先放中心

26. 將10種不同顏料塗下列圖形﹐且每個區域或每面均塗不同顏色﹐各有幾種塗法？

解析 (1)

10

8 2

8

P   453600﹒ (2)

9

3 1

10 3 4

P   420﹒ (3)

8

4 1

10 9 4 2

 P   18900﹒

27. 用7種不同顏料塗下列圖形﹐則各有幾種塗法（每塊區域顏色不同）？

(1) (2)

解答 (1)840;(2)280

解析 (1)

6

7

6

6

 P

 840﹒ (2)

6

7

3

3

 P 

280﹒(側稜長底邊長)

28. 有6個球投入4個箱子中﹐求下列投入法各多少種？

(1)球相同﹐箱子相同﹐每箱投入球數不限﹒

(2)球不同﹐箱子不同﹐每箱投入球數不限﹒

(3)球相同﹐箱子不同﹐每箱投入球數不限﹒

(4)球相同﹐箱子不同﹐每箱至少投入一球﹒

(5)球不同﹐箱子不同﹐每箱至少投入一球﹒

解答 (1)9;(2)4096;(3)84;(4)10;(5)1560

解析 (1)球相同﹐箱子相同﹐則箱中投入球數決定其投入法有 (6﹐0﹐0﹐0)﹐(5﹐1﹐0﹐0)﹐

(4﹐2﹐0﹐0)﹐(4﹐1﹐1﹐0)﹐(3﹐3﹐0﹐0)﹐(3﹐2﹐1﹐0)﹐(3﹐1﹐1﹐1)﹐

(2﹐2﹐2﹐0)﹐(2﹐2﹐1﹐1)等﹐∴ 共有9種投入法﹒

(2)球不同﹐箱子不同﹐則每一球均有4種不同投入法﹐∴ 投入法有4⁶  4096種﹒

(3)球相同﹐箱子不同﹐則由(1)知 (6﹐0﹐0﹐0)投入法有

！

！ 3

4  4種﹐

(5﹐1﹐0﹐0)：

！

！ 2

4  12﹐

(4﹐2﹐0﹐0)：

！

！ 2

4  12﹐

(4﹐1﹐1﹐0)： 12

2 4 

！

！ ﹐

(3﹐3﹐0﹐0)：

！

！

！ 2 2

4  6﹐

(3﹐2﹐1﹐0)：4！ 24﹐

(3﹐1﹐1﹐1)：

！

！ 3

4  4﹐

(2﹐2﹐2﹐0)：

！

！ 3

4  4﹐

(2﹐2﹐1﹐1)： 6

2 2

4 

！

！

！ ﹐

故投入法有4  12  12  12  6  24  4  4  6  84種﹒

(4)球相同﹐箱子不同﹐每箱至少一球的投入法有(3﹐1﹐1﹐1)與(2﹐2﹐1﹐1)﹐

故投入法有

！

！

！

！

！ 2 2

4 3

4   10種﹒

(5)球不同﹐箱子不同﹐每箱至少一球的投入法  (全部)  (有箱沒有球)

 4⁶  (4  3⁶  6  2⁶  4  1⁶)  4096  2916  384  4  1560﹒

29. 大小相同的10個球中﹐有5個白球﹐3個紅球﹐2個黃球﹐分給10個小朋友﹐每人一球﹐方法有幾 種﹖

解答 2520

解析 視10個小朋友分別在1﹐2﹐3﹐…﹐9﹐10這10個位置上﹐

再將10個球分別排放在10個位置﹐每種放法就是一種球分給小朋友的方法﹒

10個球中﹐5個白球﹐3個紅球﹐2個黃球排成一列﹐排法 10! 10 9 8 7 6 5! 3! 2! 3! 2! 2520

   

 

30. 有紅、黃、藍、白等4個不同的杯子及5種不同的飲料﹐每種飲料至少可以倒4杯﹐每個杯子倒入一 種飲料﹐下列情形﹐倒法有幾種﹖(1)每個杯子的飲料都不同﹒(2)杯子裡的飲料可以相同﹒

解答 (1)120;(2)625

解析 (1)飲料都不同時﹐可視為從5種飲料中取4種在杯子的位置排列﹐其方法數為P⁵₄120﹒

(2)飲料可相同時﹐每個杯子都有5種選擇﹐其方法數為5⁴ 625﹒

31. a b c d e f, , , , , 等六個人排成一列﹐下列的條件下﹐各有多少排法﹖

(1)a b相鄰﹐

c d

^相鄰﹐e f 也相鄰﹒(2)a b不相鄰﹐

c d

^{也不相鄰﹒}

解答 (1)48種;(2)336種 解析 (1)

3! 2 

³

 48

﹒

(2) 6!5! 2 5! 2  4! 2 2 336   ^﹒

32. 三個紅球﹐二個白球﹐一個黑球﹐除了顏色不同之外﹐球的大小都相同﹐將這6個球送給小朋友﹐下 列的條件下各有多少送法﹖

(1)小朋友有6人﹐每人一球﹒ (2)小朋友有8人﹐每人最多一球﹒

解答 (1)60種;(2)1680種 解析 (1) 6!

3! 2!60﹒ (2) 8!

3! 2! 2!1680﹒