96.10.21 班級範圍2-1 空間幾何(3) 座號姓名一 - 明誠

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：96.10.21 班級

範

圍 2-1 空間幾何(3)

座號

姓 名 一、計算題(須過程) (每小題 5 分)

1、由四個全等正三角形所拼成的立體為正四面體﹒設正四面體ABCD的各稜長為a﹐求此正四面 體的高及體積﹒

第 1 頁

答案： 3 6

a﹐

12 2

a³

解析：

正四面體ABCD﹐如圖

(1)設M為

CD

的中點﹐並自A作底BCD的垂線﹐其垂足為H

則H是△BCD的重心 ∴

BH

=

3 2 BM

=

3 2

．

2 3

a =

3 3

a

故正四面體的高

AH

=

AB

²

− BH

² =

a a a 3 ) 6 3 ( 3

²

2

− =

(2)正四面體之體積V =

3

1

(底面積) × (高) =

3 1

．

4 3

a²．

3 6

a =

12 2

a³

2、求一個正四面體之相鄰兩面夾角的餘弦值﹒

答案： 3 1

解析：

設ABCD是一個邊長為a的正四面體﹐相鄰兩面ABC與DBC 的夾角﹐取

BC

中點M﹐並連接

AM

與

DM

﹐如圖

由△ABC與△DBC都是正三角形﹐知

AM

⊥

BC

﹐

DM

⊥

BC

故∠ AMD的角度就是此二面角的角度

在△AMD中﹐

AM

=

DM

=

2

3

a﹐

AD

= a

令∠ AMD =

θ

﹐由餘弦定理知cos

θ

=

a a

a a a

2 3 2

2 3

2 ) ( 3 2 )

( 3

^{2 2 2}

．

．

− +

=

2 3 2 1

=

3 1

3、如下圖﹐一長方體ABCD - EFGH﹐已知

AE

= 1﹐

AB

= 3﹐

AD

= 5﹐求

(1)一隻螞蟻從F點爬到D點﹐其爬行所經最短的距離﹒

(2)一隻蚊子從A點飛到G點﹐其飛行所經最短的距離﹒

答案：

(1)

41

;(2)

35

解析：

(1)考慮把平面BCGF與CGHD展開攤平﹔FGCB與CDAB展開攤平﹐如上圖 則爬行(前面+側面)之最短路線長為

1

²

+ + (5 3)

² =

65

爬行(前面+上面)之最短路線長為

5

²

+ ( 1 + 3 )

² =

41

爬行(底面+側面)之最短路線長為

3

²

+ + (1 5)

² =

45

∴ 所求最短路線長為

41

(2)飛行所經最短路線長就是對角線

AG

之長 =

1

²

+ 3

²

+ 5

² =

35

4、設ABCD是邊長a的正四面體（三角錐）﹐則其體積 =﹖內切球半徑 =﹖外接球半徑 =﹖（錐 體體積 =

3

1

底面積 × 高）

答案： 12 2

a³﹐

12 6

a﹐

4 6

a

解析：

(1)因H為△BCD之重心 ∴

HD

=

3

2 DM

=

3 2

×

2 3

a =

3 3

a

∴

AH

=

AD

²

− HD

² = ^{2 2}

3 1 a a −

=

3 6

a

∴ 體積 =

3 1

(

4

3

a² )．(

3 6

_{a) =}

12 2

a³

(2)令內切球球心O﹐內切球半徑r﹐連

AO

﹐

BO

﹐

CO

﹐

DO

則四面體ABCD之體積 = O – ABC體積 + O−BCD體積 + O−ACD體積 + O−ABD體積 ⇒ 2

12 a³ = 4 × (

3 1

．

4

3

a²．r) ⇒ r =

12

6

a

(3)外接球球心即內切球球心﹐設外接球半徑 = R

則

AO

+

OH

=

AH

⇒ R + r =

3

6

a ⇒ R =

3

6

a −

12

6

a =

4

6

a

5、點

P ( 2, 1, − 5)

在

x

軸、

y

軸、 軸、

z xy

平面、

yz

平面、

zx

平面上 的投影的空間坐標各為何？

答案： ( 2, − 0, 0)

﹐

(0, 1, 0)

﹐

(0, 0, 5)

﹐

( 2, 1, − 0)

﹐

(0, 1, 5)

﹐

( 2, − 0, 5)

;

解析：

點

P ( 2, 1, − 5)

的投影依序為

( 2, − 0, 0)

﹐

(0 , 1, 0)

﹐

(0 , 0, 5)

﹐

( 2, 1, − 0)

﹐

(0 , 1, 5)

﹐

( 2 − , 0, 5)

.

6、若正四角錐的側面是正三角形﹐求證﹕相鄰兩側面所成二面角是側面和底面所成二面角的二倍﹒

解析：

設四角錐各稜長為a

第 2 頁

如圖(一)﹐取

OC

中點M﹐因側面為正三角形

∴

BM

⊥

OC

﹐

DM

⊥

OC

⇒ ∠BMD為二面角B-OC-D的平面角 令∠BMD =

θ

﹐又

BM

=

DM

=

2

3

a﹐

BD

=

2

a（□ABCD為正方形）

△BMD中﹐由餘弦定理得cos

θ

=

a a

a a a

2 3 2

2 3 4 2 3 4

3

_{2 2 2}

×

×

− +

= −

3 1

如圖(二)﹐自O作底面ABCD的垂直線﹐垂足G

作

GN

⊥

CD

交點N﹐則

ON

⊥

CD

（三垂線定理）

∴ ∠ONG為二面角O-CD-AB的平面角﹐令∠ONG =

φ

又

ON

=

2

3

a﹐

GN

=

2

1

a ∴ cos

φ

=

ON GN

=

a a

2 3 2 1

=

3

1

cos2

φ

= 2cos²

φ

− 1 = 2 ×

3

1

− 1 = −

3

1

= cos

θ

∴ 2

φ

=

θ

﹐得證

第 3 頁