多元函数微积分学

(1)

6.1 多元函数微分的基本概念

6.1.3 偏导数 6.1.4 高阶偏导数

一、相关问题

1.某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店

主估计，如果本地牌子的每瓶卖

x

元，外地牌子的每瓶卖

y

_{元，则每天可卖出}

y x 4 5

70  瓶本地牌子的果汁，⁸⁰^⁶^x^⁷^y瓶外地牌子的果汁,问：(1)店主每天的收益为多少？（2）收益对不同价格

x

，

y

_{的变化率为多少？}

二、相关知识

1.偏导数符号“_{”怎么读？}2.多元函数的偏导数几何意义

3.怎样求偏导数?　　　　　　　4. f_x(x,y)_与 f_x(x₀,y₀)_{两者是怎样的关系?}

三、练习题

1.求 z

y xy x

u ² ²  的偏导数。

解根据二元函数的偏导数的求法来做。

把

y

_和

z

看成常量对

x

求导，得 z y y x

x x

u 

 



2 2

把

x

和

z

看成常量对

y

_求导，得

z x y x

y y

u 

 



2

2 .

把

x

和

y

_{看成常量对}

z

求导，得 ₂ z xy z

u 



2.求函数zx² 3xy2y²在点(2,1)_{处的两个偏导数} 解 ∵ x y

x

z 2 3



 ， x y

y

z  3 4



∴ ₍₂_,₁₎ 22311



 x

z ， ₍₂_,₁₎ 3241 2



 y z

3.设u x² y² z² ，求证

1 ) ( ) ( )

( ² ² ² 



 



 



z u y

z x

u

证 ∵ u

x z y x z x

y z x

y x x

u

x 



 





 

 



2 2 2 2

2 ( )

2 1

同理 u y y u 



 ，

u z z u 



∴ 



 



 



 ₂ ₂ ₂

) ( ) ( )

( z

u y

z x

u 1

2 2

2  

u z y x

(2)

4.函数



 









 



0 ,0

0 ), ,

(

2 2

2 2 2 2

y x

y y x x

xy yx

f

^，求 ^f^x^⁽⁰^,⁰⁾^和 ^f^y^⁽⁰^,⁰⁾

解 0 0 0

) lim 0 , 0 ( ) 0 , 0 lim ( lim

) 0 , 0

( 0 0 0 



 







 



 

     x   x

f x f

x f z

x x

x x x

同理 f_y(0,0)0

注（1）偏导数符号 x z



 、 y z



 是一个整体的记号，不能认为是z 与x、z

与^^y的商。

（2）函数在点的偏导数实在是偏导函数在点的函数值

（3）对二元函数z  f(x,y))在(x₀,y₀)处的偏导数存在，但不能保证函数在该点的极限存在。

（4）二元函数偏导数的定义和求法可以推广到三元和三元以上函数。

（5）函数在某点处两个偏导数都存在，但函数不一定可微连续。如



 









 



0 ,0

0 ), ,

(

2 2

2 2 2 2

y x

y y x x

xy yx f

在点(0,0)处的两个偏导数都存在，但函数点(0,0)_{处不连续。}

5.求函数z  x³y3x²y³的二阶偏导数.

解 ₂ ³

2

6 6xy y x

z  



 ， x y

y

z 2

2 2

18

 

 ， y x

xy z y x

x z



 



 



² ₂ ₂ ²

18

3 。

四、思考题

1. 二元函数 f(x,y)_{在点} (x₀,y₀)_{处的偏导数} f_x(x₀,y₀)_{与一元函数}

) , ( )

(x  f x y₀

 _在点x₀处的导数^'(x₀)_{是否相同?}

分析是相同的。事实上，根据导数定义有

0 0

( ) ( )

( ) lim

x

x x x

x x

 

  

  

 



0 0 0 0

0

( , ) ( , )

lim

x

f x x y f x y x

 

  

  ^ ^{f x y}^x^{( , )}⁰ ⁰ ^。

而且^'(x₀)_{如不存在,} f_x(x₀,y₀)_{也不存在。}

由此可得：求偏导数 f_x(x₀,y₀)_时，可将 y  y₀曲先代人 f(x,y)_，得 f(x,y₀)_,再将

函数 f(x,y₀)_对

x

求导，即得 f_x(x₀,y₀)_。

(3)

例如, 设

y x x

y e

y x f

z ( , ) ^xysin ( 1)arctan ，试求 f_x(1,1)_。解 ^f⁽^x^,¹⁾^⁽^x^¹⁾^arctan ^x，

1 4 arctan 2

1 1 ) 1 1 ( arctan )

1 , 1 (

1



 



 





 





 x

x x x x x

f 。

2.如果函数z  f(x,y)_在(x₀,y₀)_{点偏导数存在，试问}z  f(x,y)_在(x₀,y₀)_点一定连续吗?

分析不一定二元函数的连续性与可导性(即一阶偏导数都存在)。两者没有必然联系. 这与一元函数可导必连续是不同的为什么偏导数存在而函数可以不连续呢?这是因为

) , (x y

f _{在点} M₀(x₀,y₀)_{存在关于}

x

的偏导数 f_x(x₀,y₀)，只能得到一元函数 )

, (x y₀ f

z  _{在点} x  x₀处连续。同样，由 f_y(x₀,y₀)存在，只能得到一元函数

) , (x₀ y f

z  _在点y  y₀处连续事实上，偏导数 f_x(x₀,y₀)_与 f_y(x₀,y₀)的存在，只反

映了 f(x,y)_沿平行于

x

轴与平行于

y

_{轴两个特殊方向在}_M₀₍_x₀_,_y₀₎_{处的变化率，它}

们的存在只能保证点M(x,y)_沿

x

轴与沿

y

_{轴方向趋于点}M₀时，函数值 f(x,y)_趋于 f(x₀,y₀)_{，但这不能保证点}

M

以任何方式趋于点M0时．函数值 f(x,y)_都趋于

) , (x₀ y₀

f _{。所以，函数} f(x₀,y₀)_在点(x₀,y₀) 偏导数存在，不能保证 f(x,y)_在点 )

, (x y

f _{一定连续。}