本章探討一般三角形的邊角關係及其應用。角度的概念由直角三角形的邊角 關係切入，再延伸到極坐標下的正、餘弦。極坐標是以觀測者為中心的自然坐標 系，正、餘弦函數則是極坐標轉換到直角坐標下的媒介。在極坐標的範疇，廣義 角度只需談±360，向徑 r≥0的範圍即可；三角函數在超過360∘的週期意涵留待 三角函數章節時再處理。三角形的邊角關係先介紹銳角的正弦與餘弦，對廣義角 三角函數的求值則透過參考角與補角關係來處理。學生應先透過特殊角的三角函 數的求值，熟悉直角坐標與極坐標的變換。
三角形的邊角關係表現在正弦與餘弦定理，這是三角學的核心內容。在向量 幾何課題當中，正弦定理發展成外積公式，餘弦定理發展成內積公式。一般來說，
正、餘弦定理有兩種推導方法，一種是將三角形切割成兩個直角三角形，再透過 直角三角形的面積公式及畢氏定理分別推得正弦、餘弦定理。另一種是用坐標幾 何方式來處理，將三角形一個頂點置於原點，一邊置於 X 軸，然後再透過面積 公式或距離公式來處理。事實上這兩種方法是等價的，但前者較為根本，後者則 較易連結到差角公式與向量幾何。本課綱的設計是用前者處理銳角三角形的邊角 關係，用後者處理鈍角三角形的邊角關係，以使學生能夠學到兩種處理方法。最 後談一般三角形邊角關係的海龍公式，它是把正弦與餘弦定理結合起來的應用。
差角公式是計算兩線或兩向量交角的核心公式，其衍生公式如和角、倍角、
半角公式，可用於三角函數的求值與三角測量。和差化積與積化和差的題材因涉 及不同週期的三角函數的疊合，不需在高中時處理，故予刪除。
最後透過平面與立體的三角測量，讓學生學會三角的應用。三角測量應注意 測量的策略與實用性，不宜出太困難的問題。
1.直角三角形的邊角關係
1.1 直角三角形的邊角關係（正弦、餘弦）、平方關係、餘角關係 ․只談正弦、餘弦的定義，以及正弦、餘弦的平方與餘角關係。
長方形面積公式 畢氏定理
三角形的 正弦定理
三角形的 餘弦定理
直角坐標系下的 三角形面積公式
直角坐標系下 的距離公式
差角公式、內積 外積與行列式
線性方程組
三角
坐標幾何
向量幾何
O
(
cos ,sin2 2)
B θ θ
(
cos ,sin1 1)
A
θ θ
（1,0）
2.廣義角與極坐標
2.1 廣義角的正弦、餘弦、正切及平方關係與補角關係
․引進參考角的概念，利用補角關係，將廣義角的三角函數求值化為銳角三角 函數的求值。參考角
α
的定義為廣義角θ 與 X 軸的銳夾角，如：150 , 30 ; 225 , 45 ; 300 , 60
θ
= ± °α
= °θ
= ± °α
= °θ
= ± °α
= ° 。此處只需談正弦、餘弦和正切即可。
․單位圓的坐標為（cosθ , sinθ ）。由單位圓的坐標，易推得正弦、餘弦的補角 關係。
2.2 直角坐標與極坐標的變換
極坐標中 r, θ 的範圍為 0≤ < ∞ ≤ <
r
, 0θ
360° 3.正弦定理、餘弦定理․將三角形切割成兩個直角三角形，再透過直角三角形的面積公式及畢氏定理推 得正弦、餘弦定理的證明。
․用坐標幾何方式來處理一般三角形的正弦、餘弦定理，例如以下三個定理。
․面積與正弦定理：將△ABC 的Ａ點置於原點，B 置於
( )
c, 0 ，則C 點置於(
bcos , sinA b A)
，由面積公式可得△ABC 面積＝1
2
c b
⋅ sinA
同理可得 △ABC 面積＝12
a c
⋅ sinB
△ABC 面積＝12
a b
⋅ sinC
。․長度與餘弦定理：將△ABC 的 A 點置於原點，B 置於
( )
c, 0 ，則C 點的坐標為(
bcos , sinA b A)
，由距離公式得( ) (
2)
22 cos sin 2 2 2 cos
a
=b A
−c
+b A
=b
+c
−bc A
。․海龍公式。
4.差角公式：cos
(
θ θ2− 1)
=cos cosθ1 θ2+sin sinθ1 θ24.1 差角、和角、倍角、半角公式
․由餘弦定理的角度來看，差角公式較為根本且自然。由複數的極式來看，和角 公式則較自然，此處的切入點為餘弦定理，故先
介紹差角公式。
․差角公式的證明：設 A,B 的坐標分別為
(
cos ,sinθ1 θ1) (
, cos ,sinθ2 θ ，應用餘弦定理於△2)
OAB，可得cos
(
θ θ2− 1)
=cos cosθ1 θ2+sin sinθ1 θ2。 A D BC
( )
2 2 2 2 2 2
2 2
sin cos
2 cos
BC CD BD b A c b A
b c bc A
= + = + −
= + −
․和角、倍角、半角公式：包括cos
(
θ θ1+ 2)
、sin(
θ θ1+ 2)
、tan(
θ θ1+ 2)
、cos 2θ 、 sin 2θ 、 cos2
θ
、sin2
θ
。․求cos15o的值。
5.三角測量
三角測量應注意測量的策略及其實用性。
5.1 三角函數值表
在教學過程中可複習內插法。
5.2 平面與立體測量
二、直線與圓
本章先探討在垂直與平行概念下的直線方程式及其應用。直線的型式主要談 點斜式，其他型式如斜截式、兩點式等不需另立名稱，可在應用時推導。不要讓 學生背太多公式，而是要讓他們多練習推演，在反覆推演的練習中，自然會熟悉 斜截式與兩點式。在兩線關係中，先談平行與垂直關係，如過一點垂直或平行於 另一給定直線的直線方程式。其次談兩聯立方程式的幾何意涵（相交、平行），
以及一些幾何與物理的應用，如外心、反射、鏡射等問題。在線性規劃這一節裡，
將直線與具體世界做連結，可使學生體認到數學的應用性與普遍性。過去教材中 分點公式的相關題材不在此討論，留待平面向量時再一併處理。
本章第二部分探討圓與直線的關係，透過解二元一次與二元二次聯立方程 式，判斷圓與直線的相割、相切或不相交等關係。
1.直線方程式及其圖形 1.1 點斜式
其他型式如兩點式不需特別提及公式，可在例題中推導。
1.2 兩線關係（垂直、平行、相交）、聯立方程式 ․過直線外一點與該直線平行、垂直的直線方程式。
2.線性規劃
2.1 二元一次不等式
能夠在坐標平面上標示滿足二元一次不等式的區域。
2.2 線性規劃（目標函數為一次式）
學生應了解平行直線系 ax by+ = 。線性規劃中目標函數限為一次式。
k
3.圓與直線的關係3.1 圓的方程式
3.2 圓與直線的相切、相割、不相交的關係及其代數判定
代數判定是指圓與直線的聯立方程式有重根解（相切）、兩相異解（相割）、
無實數解（不相交）。
θ
2 θ