一元一次方程式的相關研究

1. 文字符號為可算出的值(letter evaluated)，指文字符號代表一個數值。如：

13 8



x 中的x。

2. 文字符號可忽略而不用(letter ignored)，指文字符號雖然出現在題目中，但 在解題過程中可不加以考慮。如：

x  y  16

，求

x  y  5  ?

本例中，前後兩 式只在5的不同，xy可加以忽略，而直接求出答案為16511。 3. 文字符號當作物體(letter as object)，即文字符號為某一代表物的簡寫或標

記(label)。如：以s代表某一多邊形的一邊，而不是數字(邊長)。

4. 文字符號當作特定的未知數(letter as special unknown)，可以直接加以運 算。如：一多邊形有x個邊，而且每個邊長均為

4

，得周長為4x。

5. 文字符號當作一般化的數字(letter as generalized number)，即視文字符號代 表一組數字而非單一數值。如：

x  y  16

， 且

x  y

中，x代表大於8的數。

6. 文字符號當作變數(letter as variable)，即文字符號代表某個未定的數值，

如：比較2x和3x的大小。

郭汾派、林光賢及林福來（1989）曾以台灣地區之國中學生為對象，研究國

中生在文字符號概念之發展。在研究中發現，台灣地區國中二、三年級有過半數

請計算下列數目 就可知道他享年84歲（袁小明，2000）。

什麼是方程式？這是某種特殊數學敘述的名稱。先看一些日常生活的敘述：

今天星期五

我住在城市Stockport 7之後的自然數是8。

在上面各敘述中，我們的意思是說＂今天＂和＂星期五＂是同一個概念的不 同名稱；＂我住在城市＂和＂ Stockport＂是同一個概念的不同名稱；＂ 7之後 的自然數＂和＂8＂還是同一個概念的不同名稱。這種＂同一性＂可以用等 號＂=＂表示。例如3 2 5、7 4 28、

101

₂

 5

。

代數方程式是表示兩個代數式相等的數學敘述。解方程式的時候，必須求出

Clement,Lochhead and Monk（1981）指出，有很大比例主修科學的學生甚至 無法將簡單的句子轉換成代數方程式。如：將「小明的年齡（x）是大華年齡（

y

）

目中是否有括號。從這些解題因素中，可以看出方程式中重要的概念。

三、一元一次方程式

方程式中所謂的「元」，是指方程式中所代表未知數的符號，而所謂的「次」

是指的是方程式中未知數之最高次方。如

4 x  5 y  31

中的x和

y

，有兩種未知數（二 元），而最高次方是一次的方程式，稱為二元一次方程式。因此，只含一種未知 數（一元），且未知數的最高次方是一式的方程式，如

3 y  16  0

，稱為一元一次 方程式。

在翰林出版的教科書中（翰林出版事業股份有限公司，2010），將一元一次 方程式編排在國中數學第一冊第三章，此章分為三小節，分別為3-1式子的運算，

3-2 解一元一次方程式，3-3 應用問題，其詳細內容分述如下：

（一）3-1式子的運算

1. 符號的簡記：我們可將數字和文字符號中間的乘號「



」寫成「



」，簡 記時則省略不寫，並把數字寫在文字符號的前面。

2. 一元一次式：如果一個式子只含有一種代表數的文字符號，且該文字符號 的次方是一次，我們將這樣的式子稱為一元一次式。

3. 同類項：文字符號相同、次方也相同的項，稱為同類項。例如：2x和3x是 同類項，而2x和3不是同類項。在做式子的加減運算時，須掌握同類項才 能合併的原則。

（二）3-2 解一元一次方程式

1. 一元一次方程式：只含一種未知數，且未知數的次方是一次的等式，稱為 一元一次方程式。

2. 方程式的解（根）：若一數代入一元一次方程式可使等號的兩邊的值相等，

此時這個數滿足此方程式，是這個方程式的解（根）。

3. 等量公理：當等號左右兩邊相等時，在等號左右同時加、減、乘、除一數

（除數不為0），等號仍然成立。也就是說，a、b、c為任意三數，若ab， 則（1）a  c b c （2）a c  b c （3）a c  b c（4）a c  b c（c 不為0）。反過來說，當（1）a  c b c 或（2）a c  b c 或（3）a c  b c

（c不為0）或（4）a c  b c則可推得ab的結論。

4. 移項法則：解一元一次方程式的過程中，省略寫出應用等量公理的步驟，

看起來相當於把等號一側的某數（或項）移到另一側，但要變號，「」 會變成「」，「」會變成「」，「



」會變成「



」，「



」會變成

「



」。

（三）3-3 應用問題

一元一次方程式應用問題之解題步驟：

1. 先從問題的敘述中找出條件。

2. 選擇一個適當的未知數。

3. 把問題中提到的數量關係，以含文字符號的式子表示。

4. 依據數量關係列出一元一次方程式。

5. 依據所列出的方程式求出未知數的值。

6. 依題意寫答。（注意是否符合題意，或有不合理的情形）

在文檔中 複式評量在國中一元一次方程式單元之準實驗研究 (頁 23-28)