複式評量在國中一元一次方程式單元之準實驗研究

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(1)國立臺中教育大學數學教育學系國小教師在職進修教學碩士班碩士論文. 指導教授：胡豐榮. 教授. 複式評量在國中一元一次方程式單元之準實驗研究. 研究生：廖婉伶. 撰. 中華民國一○○ 年六月.

(2) 複式評量在國中一元一次方程式單元之準實驗研究摘要本研究探討複式評量在教學上之應用，其目的探討「複式評量實驗教學」對國中學生在學習「一元一次方程式」單元的學習態度與學習成就之差異情形，以及探討「複式評量實驗教學」對實驗組學生在學習上的感受。本研究採準實驗研究法。老師本身即研究者，以台中市某國中一年級兩個班為研究樣本。將兩班分別安排為接受「複式評量實驗教學」的實驗組及接受「傳統教學」的控制組。本實驗教學為期五週，待實驗教學之後，比較兩組學生在一元一次方程式單元的學習態度與學習成就之差異情形，且整理並分析實驗組學生參與學生學習日誌、複式評量回饋單及晤談的資料，對研究結果作量與質的分析。本研究結果如下：一、學習態度之差異情形方面實驗組與控制組在數學學習態度上，無明顯不同。但實驗組高分群在數學學習態度量表前後測得分差異達顯著水準；實驗組中分群在數學學習態度量表後測平均分數高於前測平均分數。二、學習成就之差異情形方面實驗組與控制組在數學學習成就上，無明顯不同。但實驗組高、中、低分群在學習成就前後測進步的成績均高於控制組。三、實驗組學生針對複式評量實驗教學的感受方面實驗組學生對於採用「複式評量實驗教學」，大部分均持喜歡的態度。且過半數實驗組學生均贊成以後的數學評量方式經常採用複式評量。. 關鍵詞：複式評量、一元一次方程式、準實驗研究. I.

(3) The Composite Assessment in the Quasi-experiment Research of The One-Variable Linear Equation for Middle School Students.. Abstract This research discusses Composite Assessment in the teaching application. Firstly,the Middle School Students taught the One-Variable Linear Equation in the Composite Assessment will be discussed in difference situation of their learning attitudes and learning achievement.In addition, the experiment group’s learning feeling are also investigated. This research adopts the Quasi-experiment design. The teacher is the researcher.Two classes at a junior high school which is in Taichung were selected as the research sample for this study.One class is the experiment group adopting the Composite Assessmen and the other is the control group adopting the traditional teaching. The research period lasted for five weeks.At the end of the experiment,Compared with two group of students in of the One-Variable Linear Equation difference situation of their learning attitudes and learning achievement.Furthermore,the research results are proceed with quantitative and qualitative modes by analysing learning journals,feedback schedulesand interviews.The research results are as follows： 1.. Difference situation of learning attitudes. The experiment group and the control group in their learning attitudes have not reached the level of significance. However, the learning attitudes posttests,the II.

(4) experiment higher group have reached the level of significance.The average score of the first measured in experiment mediocre group achievers perform better than the latter measured. 2.. Difference situation of learning achievement. The experiment group and the control group in their learning achievement have not reached the level of significance.However, when sitting for the learning achievement posttests, the experiment higher, mediocre and low group achievers perform better than the control group.. 3.. The feeling aspect of the the experiment group In view of the Composite Assessment in the teaching. The majority of the experiment group have expressed that they liked the experimental teaching of composite assessment.And Majority experimen group students agreed that such a teaching approach can be adopted more often in the future.. keyword：Composite assessment, One-Variable Linear Equation, Quasi-experiment Research. III.

(5) 謝. 誌. 三年的研究所生涯轉眼即過，再次重溫幸福的學生生活，點滴在心頭，要感謝的人實在太多。首先此份論文的完成，要感謝指導教授胡豐榮老師耐心的指導，在學習與研究論文過程中，老師悉心的教導與鼓勵，讓學生學習到許多做研究的方法與態度，也提供許多精闢的見解，使撰寫論文更加嚴謹與充實，老師始終扮演著幕後的推手，慢慢的將學生推向前，讓學生在研究所期間獲益良多，謝謝老師！在此致上內心最誠摯之謝意與敬意。再來，感謝論文口試委員許天維教授與辛俊德博士，因為有您們精闢的指導與寶貴的建議，引領學生更周延的思考，使論文能更加嚴謹與完整，讓學生獲益良多。還有，感謝研究所同學的陪伴、支持、鼓勵與提供論文上的許多建議，以及身邊的一群好友與曾經幫助過我的人等，謝謝你們在我研究所與論文撰寫的生涯中給予支持與幫助，讓我能順利取得碩士學位。最後，我要感謝摯愛的家人，在這三年的求學期間，永無止盡的關愛、支持與鼓勵，讓我更勇於面對各種挫折與挑戰！. 婉伶謹誌於中教大 100.6. IV.

(6) 目次. 第一章緒論 ................................................ 1 第一節研究動機 ................................................ 1 第二節研究目的 ................................................ 4 第三節待答問題 ................................................ 5 第四節研究假設 ................................................ 5 第五節名詞解釋 ................................................ 6 第六節研究範圍與限制 .......................................... 8. 第二章文獻探討 ........................................... 9 第一節迷思概念 ................................................ 9 第二節一元一次方程式的相關研究 ............................... 13 第三節複式評量 ............................................... 18 第四節補救教學 ............................................... 26. 第三章研究方法 .......................................... 33 第一節研究設計 ............................................... 33 第二節研究對象 ............................................... 37 第三節研究工具 ............................................... 39 第四節研究程序 ............................................... 49 第五節資料分析 ............................................... 53. V.

(7) 第四章研究結果與討論 ................................... 55 第一節複式評量實驗教學對學生數學學習態度的影響 ............... 55 第二節複式評量實驗教學對學生數學學習成就的影響 ............... 63 第三節複式評量實驗教學回饋單分析 ............................. 69 第四節晤談內容分析 ........................................... 87. 第五章結論與建議 ........................................ 95 第一節結論 ................................................... 95 第二節建議 ................................................... 97. 參考文獻 .................................................... 99 壹、中文部分 .................................................. 99 貳、西文部分 ................................................. 103. 附錄 ........................................................ 105 附錄一 ....................................................... 105 附錄二 ....................................................... 107 附錄三 ....................................................... 111 附錄四 ....................................................... 114 附錄五 ....................................................... 120 附錄六 ....................................................... 122 附錄七 ....................................................... 125 附錄八 ....................................................... 128. VI.

(8) 表次表 3-1 研究設計表 .............................................. 33 表 3-2 實驗研究變項表 .......................................... 35 表 3-3 實驗組與控制組學生數學學習成就前測成績 T 檢定 ............ 38 表 3-4 實驗組高、中、低分群數學學習成就前測成績單因子變異數分析 38 表 3-5 控制組高、中、低分群數學學習成就前測成績單因子變異數分析 39 表 3-6 一元一次方程式融入複式評量之前測試題的雙向細目表 ........ 41 表 3-7 前測 3-1 試題之難度、鑑別度及信度分析表 .................. 43 表 3-8 前測 3-2 試題之難度、鑑別度及信度分析表 .................. 44 表 3-9 前測 3-3 試題之難度、鑑別度及信度分析表 .................. 45 表 3-10 一元一次方程式學習成就測驗試題的雙向細目表 ............. 47 表 3-11 一元一次方程式學習成就測驗試題之難度、鑑別度及信度分析表 47 表 4-1 實驗組與控制組學生數學學習態度量表前後測成對樣本 t 檢定 .. 55 表 4-2 實驗組與控制組學生數學學習態度迴歸係數同質性檢定摘要表 .. 56 表 4-3 實驗組與控制組學生數學學習態度共變數分析摘要表 .......... 56 表 4-4 實驗組與控制組高分群數學學習態度量表前後測成對樣本 t 檢定 57 表 4-5 實驗組與控制組高分群數學學習態度迴歸係數同質性檢定摘要表 58 表 4-6 實驗組與控制組高分群數學學習態度共變數分析摘要表 ........ 58 表 4-7 實驗組與控制組中分群數學學習態度量表前後測成對樣本 t 檢定 59 表 4-8 實驗組與控制組中分群數學學習態度迴歸係數同質性檢定摘要表 60 表 4-9 實驗組與控制組中分群數學學習態度共變數分析摘要表 ........ 60 表 4-10 實驗組與控制組低分群數學學習態度量表前後測成對樣本 t 檢定 61 表 4-11 實驗組與控制組低分群數學學習態度迴歸係數同質性檢定摘要表 62 表 4-12 實驗組與控制組低分群數學學習態度共變數分析摘要表 ....... 62 表 4-13 實驗組與控制組數學學習成就前測迴歸係數同質性檢定摘要表 . 63 表 4-14 實驗組與控制組數學學習成就前後測共變數分析摘要表 ....... 63 VII.

(9) 表 4-15 實驗組與控制組數學學習成就測驗前後測統計表 ............. 64 表 4-16 實驗組與控制組高分群數學學習成就迴歸係數同質性檢定摘要表 65 表 4-17 實驗組與控制組高分群數學學習成就共變數分析摘要表 ....... 65 表 4-18 實驗組與控制組高分群數學學習成就測驗前後測統計表 ....... 65 表 4-19 實驗組與控制組中分群數學學習成就迴歸係數同質性檢定摘要表 66 表 4-20 實驗組與控制組中分群數學學習成就共變數分析摘要表 ....... 66 表 4-21 實驗組與控制組中分群數學學習成就測驗前後測統計表 ....... 67 表 4-22 實驗組與控制組低分群數學學習成就迴歸係數同質性檢定摘要表 68 表 4-23 實驗組與控制組低分群數學學習成就共變數分析摘要表 ....... 68 表 4-24 實驗組與控制組低分群數學學習成就測驗前後測統計表 ....... 68 表 4-25 實驗組學生對回饋單第一題統計表 ......................... 73 表 4-26 實驗組學生對回饋單第二題統計表 ......................... 76 表 4-27 實驗組學生對回饋單第五題統計表 ......................... 86. VIII.

(10) 圖次圖 3-1 研究流程圖 .............................................. 52 圖 4-1 實驗組學生對回饋單第一題統計圖 .......................... 73 圖 4-2 實驗組學生對回饋單第二題統計圖 .......................... 77 圖 4-3 實驗組學生對回饋單第五題統計圖 .......................... 87. IX.

(11) 第一章. 緒論. 本章旨在探討複式評量在國中一元一次方程式單元之準實驗研究。內容包括：一、研究動機；二、研究目的；三、待答問題；四、研究假設；五、名詞解釋；六、研究範圍與限制；共六節所組成。. 第一節. 研究動機. 我國學生於國際數學與科學教育成就趨勢調查 Trends in International Mathematics and Science Study，簡稱 TIMSS（2007）表現相當優異，八年級學生在數學成績為第一名，其中代數排名第一，比起 TIMSS 2003 學生在數學成績第四，其中代數排名第三進步不少，在數學成就上我國歷年來都有不錯的表現水準（國際數學與科學教育成就趨勢調查，2011）。雖然我國在數學與科學成績表現亮眼，但在實際教學現場中傳統講述教學法是最常使用的教學方法，其強調反覆練習和測驗。這樣情形和其他亞洲國家，例如：新加坡、香港、韓國、日本等國相當類似。而這樣的教學模式陳竹村（2003）指出有可能阻礙學生的獨立思考和創造力發展。台師大科教中心主任張俊彥表示，台灣、新加坡、香港、韓國、日本等亞洲國家，數學和科學均名列世界前茅，新加坡小四及國二生的科學表現是世界最優，香港小四數學是全球第一，但這些國家的學生在數學學習的「正向態度」與「自信心」成績，卻低於國際平均。而台灣學生的數學能力真的不錯，只是當我們問學生喜不喜歡數學呢？經調查發現，台灣國中生對數學的喜好程度，排名全球倒數第十。由此可見，我國的學生資質聰穎，在國際數學比賽成績表現亮眼出色。但相反的，也許是我們教育訓練過度，或是目前整個教學方式，讓學生對數學失去了興趣，大家若能把數學當成是一個發現問題、解決問題的過程，也許不會那麼排斥數學，老師可留些時間做些有變化的教學活動，帶給學生不同於平常的思維模式，以提升學生的學習興趣，期望學生對數學的興趣和自信能再. 1.

(12) 多一些。97 年國民中小學課程綱要強調以學生為主體，以知識的完整面為教育主軸，以終身學習為教育目標。在進入二十一世紀且處於高度文明化的世界中，數學知識及數學能力，已逐漸成為日常生活及職場裡應具備的基本能力（教育部， 2008）。為了落實數學與科學能力的培養，鼓勵老師實施多元教學方法與評量，為顧及學生個別能力差異，建議使用引導發現式的教學法、主題探究教學、戶外體驗教學、趣味科學探究等，來提昇學生的學習興趣，尤其提高學習正向態度與自信心。李哲迪(2009)認為在學生評量方面，除了回家作業、報告、紙筆測驗等多元評量方式外，老師更應重視學生對各項學習活動的參與，適時給予學生鼓勵、提昇其自信心，並給予有用且具體的學習改進建議。九年一貫數學領域課程網要內容，分為「數與量」、「幾何」、「代數」、「統計與機率」、「連結」等五大主題。其中國中一元一次方程式單元是「代數」的開始，即使學生已經在國小具備簡單的代數基礎，但到了國中學習一元一次方程式將影響後續數學課程，如：二元一次聯立方程式、直角坐標平面、二元一次方程式圖形與一元一次不等式…等單元。另一方面，國中數學課程比國小數學課程增加了深度與廣度，尤其在代數的運用上更是如此。而且使用文字符號來代表數，是國中學生從計算跨越到代數的重要橋樑，更是數學抽象化和形式化的重要步驟，林曉芳與余民寧(2001)表示代數的學習，將對數學的推論、歸納、演繹，以及其他科學的研究都有莫大的相關。而大多數國中學生對於一元一次方程式是進入國中後第一次感到學習困難的單元，但卻是國中學生在國一階段學習的重要代數概念。學生剛開始學習代數抽象概念時，當然會發生學習上的困難，若老師適時給予關注，及早發現學生錯誤觀念，並能立即診斷學生的問題和進行補救教學，對學生未來學習代數能有所幫助，甚至能讓學生樂於學習數學，讓學生在數學學習上能獲得成就感。因此，老師對於一元一次方程式單元學習觀念錯誤的學生進行補救教學是必須的。於是，曹博盛(2003) 提出複式評量(Composite assessment)，指出大部分的 2.

(13) 多元評量方式與傳統評量方式差異甚大，且需要較多的時間才能完成一項評量工作，反而不易受到老師們的重視。因此，針對這些缺點創造了複式評量，以另類評量的精神，使用傳統的評量方式(如以填充、計算、證明為主)，但評量後再進行補救教學與重組試卷來完成評量。因此複式評量提供學生「改過自新」的機會，即於考完前測卷之後，學生能發現自己的錯誤之處，此時老師提供學生第二次的學習機會去補救與釐清觀念。讓學生接受評量與同時進行學習。另外於評量試卷上，老師務必力求學生「說清楚，講明白」，要求學生了解答案的對與錯，且能針對錯誤之處了解錯誤的原因。由於能將解題過程的步驟掌握清楚明白，因此學生在學習過程中才有機會產生「學習遷移」(transfer of learning)。另外，進行複式評量過程中，最重要的步驟為補救教學，其具有事後幫助的功能，且對未達成學習目標者，或學習有困難者幫助他再次學習。陳長春(1992)建議老師診斷學生學習困難之後，宜進行適切合宜的有效教學策略。因此，老師在進行數學教學時要能充分掌握學生數學概念發展的過程，並且在教學時應以學生先備知識為基礎，經過仔細逐步引導的過程，讓學生建立正確的相關概念與知識，進而達到數學學習的目標與成效。而在補救教學中，老師要能讓學生深信學習的成功與否是掌握在自己的手中(林怡如、何信助、廖年淼，2004)。另外，老師的教學過程要謹慎，除了要降低學生的學習挫折，保障學生未來求知過程減少受挫，讓學生數學概念能夠穩定且正確的發展。張新仁、邱上真、李素慧(2000)建議老師本身可檢視規劃，建立一貫而完整的補救教學模式，透過補救教學能使得學生的學習獲得自我改善並能跟上學習腳步。由此可知，學習成效評量不能只憑總結性評量，因其評量時間間隔較長，無法立即發現學生的學習因難，可能會出現學生放棄學習數學的行為，若能經由錯誤類型分析學生的學習困難，了解學生錯誤解題的原因是由於錯誤的觀念或不了解題意，甚至是其他原因所導致，才能進一步引導學生再學習。而老師可透過形. 3.

(14) 成性評量和診斷性評量，讓學生在學習過程中發現其學習困難並能立即改善，若學生無法自行解決學習困難，可透過團體或個別進行補救教學，再進行診斷性評量來發現學生的學習困難，以調整教學內容和技巧。鄭麗玉(1998)建議老師可針對診斷出的迷思概念善加利用，以其為基礎想辦法給予挑戰或引導，使學生能真正改變概念。因此，本研究依據曹博盛(2003) 的複式評量，在課程中透過複式評量來蒐集國中學生學習一元一次方程式單元的想法，了解國中學生學習一元一次方程式單元容易發生錯誤的概念，以作為補救教學的教材，並且釐清學生的錯誤概念，進而滿足學生的個別學習需要，為代數的學習奠定良好的基礎，同時也可當作為老師們教學參考之用。. 第二節. 研究目的. 根據上述之研究動機，本研究將試著有關一元一次方程式的研究加以整理，並以民國九十九年的翰林版數學課本為教材背景，主要是探討複式評量在國中學生數學一元一次方程式單元的學習成效，並分析國中學生在學習一元一次方程式時的數學概念及解題表現，期望能找出學生學習時會出現的迷思概念，希望能對學生及從事數學教學的老師，提供一些實質上的助益和教學的參考。基於上述之分析，本研究的主要目的如下： (一) 探討「複式評量實驗教學」與「傳統教學」對國中學生在學習「一元一次方程式」單元實施前後學習態度之差異情形。 (二) 探討「複式評量實驗教學」與「傳統教學」對國中學生在學習「一元一次方程式」單元實施前後學習成就之差異情形。 (三) 探討實驗組學生對數學課程以複式評量為評量工具的接受程度，以便作為將來在國中階段發展複式評量實驗教學之參考。. 4.

(15) 第三節. 待答問題. 根據本研究的研究目的，本研究欲討論下列的問題：一、「複式評量實驗教學」與「傳統教學」對國中學生在「一元一次方程式」單元的數學學習態度之差異情形？二、「複式評量實驗教學」與「傳統教學」對國中學生在「一元一次方程式」單元的數學學習成就之差異情形？三、實驗組學生針對複式評量實驗教學的感受為何？. 第四節. 研究假設. 本研究針對國一學生，欲比較使用「複式評量實驗教學」的實驗組以及「傳統教學」的控制組，在學習「一元一次方程式」單元成效上的改變，故擬考驗以下的虛無假設：一、針對國中「一元一次方程式」單元，「複式評量實驗教學」與「傳統教學」對實驗組與控制組學生在數學學習態度上並無顯著差異。二、針對國中「一元一次方程式」單元，「複式評量實驗教學」與「傳統教學」對實驗組與控制組高分群學生在數學學習態度上並無顯著差異。三、針對國中「一元一次方程式」單元，「複式評量實驗教學」與「傳統教學」對實驗組與控制組中分群學生在數學學習態度上並無顯著差異。四、針對國中「一元一次方程式」單元，「複式評量實驗教學」與「傳統教學」對實驗組與控制組低分群學生在數學學習態度上並無顯著差異。五、針對國中「一元一次方程式」單元，「複式評量實驗教學」與「傳統教學」對實驗組與控制組學生在數學學習成就上並無顯著差異。六、針對國中「一元一次方程式」單元，「複式評量實驗教學」與「傳統教學」對實驗組與控制組高分群學生在數學學習成就上並無顯著差異。. 5.

(16) 七、針對國中「一元一次方程式」單元，「複式評量實驗教學」與「傳統教學」對實驗組與控制組中分群學生在數學學習成就上並無顯著差異。八、針對國中「一元一次方程式」單元，「複式評量實驗教學」與「傳統教學」對實驗組與控制組低分群學生在數學學習成就上並無顯著差異。. 第五節. 名詞解釋. 茲將本研究內所使用的重要名詞「複式評量」、「數學學習態度」、「數學學習成就」、「迷思概念」、「傳統教學」、「補救教學」加以解釋，敘述如下：一、複式評量（Composite assessment）複式評量係在國科會資助的數學教師教學與評量技能養成及後設培育計劃下，由曹博盛、王樹文、高毓婷及唐書志所共同研發出來的（曹博盛，2001）。本研究所指的複式評量是將複式評量融入教學過程中。其「複式評量實驗教學」實施步驟如下：（一）老師先命一份前測卷。前測卷編製題型以填充、計算題為主，也就是出一份傳統的試卷，不過要避免出選擇題。透過學生的解題歷程，能了解學生的迷思概念。（二）在每小節教學結束後，學生接受複式評量前測。（三）老師根據複式評量前測的結果，從中了解學生的迷思概念進行組卷，再製作一份附有學生答案的重組卷（複式評量後測）。組卷的方式很多，重組卷中的答案可以是正確的，也可以是一般學生最容易迷思的錯誤解法。其中重組卷最重要的地方是要提供學生反思，並讓學生能以文字符號表達他們的想法。（四）老師針對學生在複式評量前測中所反應出的迷思概念或錯誤解法. 6.

(17) 進行補救教學。（五）最後，學生接受複式評量後測。. 二、數學學習態度指個人對於數學學習所具有的一種持久而又一致的行為取向(周明樂，2004)。本研究所使用的數學學習態度量表，選自林星秀(2001)編製的「數學學習態度量表」。量表的得分愈高，表示學生在數學學習態度上愈具有正面、積極的態度。. 三、數學學習成就本研究所使用的數學學習成就測驗為測驗評估實施「複式評量實驗教學」後對學生在一元一次方程式之數學學習成就之差異情形。此份一元一次方程式單元測驗內容，總計24題，分為選擇題10題、填充題10題、計算題4題。. 四、迷思概念（misconceptions）彭泰源（1999）指出學生對某一科學概念的認知，與科學界的專家所共同認定的概念意義有所出入者，視為迷思概念。本研究所指的迷思概念，是指學生對一元一次方程式有不正確的了解與解釋，以及錯誤或混淆不清的想法，而這些想法與課本或老師所要傳達的概念是不相容的。. 五、傳統教學傳統教學是指在班級教學中，老師將教材內容經由傳授解說方式傳達給學生，以老師講、學生聽的方式進行（陳英娥，1992）。老師對每節課妥善安排課程計畫，將訊息直接講述傳達給學生以達成教學目標，老師處 7.

(18) 於主導地位。而本研究控制組所實施的教學就是傳統教學，將課本內容以講述的方式進行教學。. 六、補救教學(remedial instruction) 補救教學具有事後幫忙的功能，經過診斷學生學習的困難之後，所進行一連串針對學習困難的積極性教學活動(張新仁，2001)。陳長春(1992) 研究指出通常需要老師提供協助來引導再學習的學生，是因為學習過的單元，學生有某種程度的不適應或出現學習障礙，因此老師在診斷出學生學習困難之後，針對學習困難採取適當的教學策略。本研究實驗組中所實施的補救教學，是依照複式評量的流程，以複式評量前測作為診斷式評量，對實驗組學生進行補救教學。. 第六節. 研究範圍與限制. 本研究屬於準實驗研究，在研究過程中，主要限制如下：一、本研究只選取台中市的某國民中學一年級的兩班共 66 學生為研究樣本。以非隨機分派的方式將兩個班級分為實驗組及控制組，因此研究樣本並不具一般代表性，因此本研究結果無法做廣泛性的推論。二、本研究實驗時間為第二次段考結束後到第三次段考前，故實驗教學僅進行五週。本研究結論只能對「複式評量實驗教學」的短期影響做局部性推論，若要推廣為長期性影響，仍需進一步研究。三、本研究以國中一年級數學科「一元一次方程式」為實驗教學單元，其「複式評量實驗教學」的學習成效並不能推廣至其他學科或其他單元。. 8.

(19) 第二章文獻探討本章節主要針對與本研究相關的文獻及理論依據之探討，做為本研究之研究架構基礎，內容包含：迷思概念、一元一次方程式的相關研究、複式評量以及補救教學等四小節。. 第一節迷思概念一、概念的意義國內學者張春興（2000）認為概念是指具有共同屬性事物的概括性認識。概念分為兩類。一類是具體概念（concrete concept），指事物的共同屬性可具體顯現，像是形狀，如：三角形；像是顏色，如：紅花等為概念屬性者均屬之。另一類是定義概念（defined concept），指無法使用指認的方式來學習的抽象概念，像是民主、秩序、快樂、痛苦等概念，其共同屬性無法具體顯現，只能用概念性的語文涵義來表示之。因此，定義概念的學習遠較具體概念困難。Pines（1980）解釋人類概念的形成就像是圓錐形的結構，底部是延伸的部分，包含所有屬於此概念的事物。而圓錐頂端是一種內涵，是指抽取出此概念的特質、共通性。在學習過程中，由底部往上延伸到頂端，就是概念化的過程。根據以上兩位國內外學者的觀點，認為概念是抽象的，指個人對一件複雜的事物或過程理解所得到的觀念或想法。基於個人的觀念或想法，在適當時機所表現出的外在行為就是個人的能力，依照外在表現的能力來觀察其概念的發展，包括所有組成該概念事物的特性和關係。二、迷思概念的意義「迷思概念」此名詞最早出現於1940年8月Hancock於美國科學教育期刊（Science Education）中所發表的文章，篇名為An Evaluation of Certain Popular Science Misconception(陳啟明1991)。任何概念的形成，若與其社群專家或專家概念所接收的概念有所不符，其所形成的概念就是「迷思概念」（Mariana and. 9.

(20) Hewson,1985）。邱照麟（2000）指出迷思概念是由學生從學校的學習、日常生活經驗或其他途徑，對於自然現象或某種科學概念產生的認知，其與科學界所認定的概念意義不相符合。另有國外學者 Abimbola（1998）認為迷思概念是指學生個人對於環境經過觀察、調和及操控之後所產生的知識，與學校所教導的或科學家所持有的知識有所出入。綜合以上國內外學者的觀點，迷思概念是指在某一概念組織中，對某個事件或現象，有別於目前所公認的知識。所以迷思概念應是指「對某個現象或事物最初始錯誤的想法或觀念。」（姜善鑫，1998）。有關迷思概念的研究，可追溯自Piaget以質的研究方法來研究學生的想法，從1970年以來，受認知心理學的影響，全世界才重視迷思概念的相關研究(王麗芬，2001)。三、迷思概念的來源邱美虹（2000）根據學者研究指出，科學概念學習困難的原因有：受到個人經驗的影響、概念本身是抽象的、複雜的、以及微觀的。如Kuhn所說：「在所有智力活動中，學生現有知識扮演著重要角色」（引自Hewson,1996）。Hewson 也認為學生現有知識影響學習，當發現學生有不同想法時，就必須透過教學的辯證與反省來重組知識。迷思概念的來源非常廣泛，幾乎是由學習者與周遭環境交互作用時，受到錯誤的訊息或自認為的錯誤判斷而產生迷思概念(李璧如，2006)。國內外多位學者均對迷思概念的來源做深入的探討，以下將學者對迷思概念來源的看法整理如下：（一） Head（1986）將迷思概念的來源歸為五點： 1. 日常生活的觀察與經驗 2. 受到個體本能的意念。 3. 類比概念而產生的混淆。 4. 對字義模糊而產生的混淆。 5. 受到同儕文化的影響。（二） Cobern（1989）認為迷思概念的來源有以下兩部分： 10.

(21) 1. 學習者錯誤的理解：包括未受教育的知識、錯誤的教導和訊息。 2. 學習者本身的另有架構及對事物的看法：包括既有的想法對於科學的想法，主動的發生障礙。而且學習者的了解並非是科學上的了解。或者學習者對於科學有正確的了解，但在新學習中，無法與世界的觀點相符合。（三） Jiang-Broaddstock(1992) 歸納迷思概念的可能來源為以下七個部分： 1. 周遭環境所使用的日常生活用語。 2. 學習者立即的親身經驗。 3. 同儕認知的影響。 4. 學校中的正式課程學習活動。 5. 電視媒體。 6. 兒童文學。 7. 科學博物館。（四）郭重吉（1988）認為迷思概念的來源，可能和學生的生活經驗、日常生活用語與科學用語的混淆有關，以及對理想化情境的誤解與生疏，與學生自我中心和擬人化的觀點有關聯。（五）楊弢亮(1992)歸納中學學生產生數學迷思概念的原因為： 1. 數學概念混淆不清。 2. 對各項定義不明確。 3. 對各個定理不清楚。 4. 不注意條件。 5. 邏輯觀念錯誤。 6. 對法則無法學會。 7. 記錯數學公式。 8. 計算過程發生錯誤。 11.

(22) （六）林秀鳳（1996）提出迷思概念的形成因素為： 1. 受到對日常生活的直覺與日常生活用語的影響。 2. 受到已學過知識的影響。 3. 受正式教學中，老師的教導或教科書中不當的內容敘述所影響。 4. 受到親人、手足教導，或同儕觀念的影響，或閱讀課外書籍及其他之媒體與資訊來源的影響。 5. 受學生本身認知層次或心象的影響。四、迷思概念的影響：王美芬（1991）指出迷思概念會影響學生正確知識概念的學習，因此迷思概念是不容忽視的。學生若存有迷思概念，對實驗的觀察與示範、對觀察的解釋、以及對科學課程的理解與記憶會產生很大的妨礙（余民寧，1997）。由此可知學生在生活經驗或學習過程所產生的迷思概念，可能會在學習新知識時成為錯誤先備知識，影響甚鉅。Champagne and Klopfer(1982)在研究中指出，學生並非缺乏先備知識才難以學習，而是學生的迷思概念與學校的教學產生衝突，而且這些迷思概念會干擾、妨礙課程與教材的記憶與理解，使得新的正確概念無法透過教學以被學生接受。 Wandersee, Mintzes and Novak（1994）也指出使用傳統的教學方法，學習者原有的迷思概念是不易改變的，但若能設計出良好的教學策略，部分迷思概念能經由教學過程而獲得改正，因此教學策略是教學成功不可或缺的要素。除了要有良好的教學策略能矯正迷思概念之外，也要有良好的教學評量來配合。過去學生在國中階段學習數學有許多學習障礙與困難，其中一個重要的原因是因為一般數學老師重視「總結性評量」，而忽略了「形成性評量」所導致，因此老師應調整評量方式，宜適時採用形成性評量來給予學生回饋，且透過形成性評量結果來了解學生學習困難的原因，並能針對學生學習困難給予學生立即的幫助。. 12.

(23) 第二節一元一次方程式的相關研究一、文字符號簡潔的符號系統在代數裡能夠準確表達各種概念、方法與邏輯關係，也能將複雜的文字與數字之間的關係表達出來，因此文字符號的使用是學習代數方程式的重要入門。Kuchemann（1981）認為學生對文字符號是否了解將是影響學生學習代數非常重要的因素。學生在解代數問題時，經常對文字符號有不同的看法與見解，而增加解題的困難度。究竟人類何時開始使用文字符號來列式子，目前仍有待待考証，過去三十多年的時間，有許多不同的學者針對這個主題加以研究（袁媛，1993）。其中較為完整之分類是Collis（1975）從學生的觀點出發，將文字符號的概念分成六種不同的使用層次，分述如下: 1. 文字符號為可算出的值(letter evaluated)，指文字符號代表一個數值。如： x  8  13 中的 x 。. 2. 文字符號可忽略而不用(letter ignored)，指文字符號雖然出現在題目中，但在解題過程中可不加以考慮。如： x  y  16 ，求 x  y  5  ? 本例中，前後兩式只在  5 的不同， x  y 可加以忽略，而直接求出答案為 16  5  11 。 3. 文字符號當作物體(letter as object)，即文字符號為某一代表物的簡寫或標記(label)。如：以 s 代表某一多邊形的一邊，而不是數字(邊長)。 4. 文字符號當作特定的未知數(letter as special unknown)，可以直接加以運算。如：一多邊形有 x 個邊，而且每個邊長均為 4 ，得周長為 4 x 。 5. 文字符號當作一般化的數字(letter as generalized number)，即視文字符號代表一組數字而非單一數值。如： x  y  16，且 x  y 中， x 代表大於 8 的數。 6. 文字符號當作變數(letter as variable)，即文字符號代表某個未定的數值，如：比較 2 x 和 3x 的大小。郭汾派、林光賢及林福來（1989）曾以台灣地區之國中學生為對象，研究國. 13.

(24) 中生在文字符號概念之發展。在研究中發現，台灣地區國中二、三年級有過半數以上學生只會做單一文字符號運算，處理特定未知數的文字符號或只計算結構簡單的題目，如此顯現多數學生對文字符號的概念了解並不完全，且使用文字符號的能力也有限。因此學生必須提高文字符號概念理解層次，以幫助往後數學的學習成效，而且能使用文字符號來代表數，是銜接算數到代數重要的橋樑，也是達到數學認知抽象化和形式化之重要步驟。. 二、方程式方程理論是整個代數的基本問題之一，而且在十九世紀以前，代數可以說就是關於方程的理論。因此，代數學的前期歷史，就是方程理論的產生和發展史（袁小明，2000）。在四千多年前，人們還沒有關於方程式的概念，但是已出現了利用方程式來解的應用問題，其中「埃及草卷」中「林特草卷」和「莫斯科草卷」記載了人類最早的數學成就。與古埃及人一樣，生活在底格里斯河和幼發拉底河流域的古代巴比侖人，也在四千多年前創造了他們自己的一種解應用問題的方法。有ㄧ塊列號為AO8862的泥板書向後人揭開了巴比侖人解代數方程的方法，人們驚奇發現他們的解法是很巧妙的。泥板書的問題是這樣：「已知長  寬+長-寬=3.3，而長+寬=27，問長，寬是多少（王九逵，1994）？」正當中國數學家在應用開方術求數字係數方程的根時，希臘數學家也在推進著方程理論的發展。其中最傑出的貢獻者就是丟番圖，關於丟番圖的生平事蹟，人們知道的並不多。現在廣泛流傳的主要是希臘學者麥德羅多爾在丟番圖墓誌銘上寫著的一首詩。也許是由於紀念偉大數學家的緣故，詩文純粹是用數學問題的形式寫的。墓誌銘的原文是：過路的人！這裡埋葬著丟番圖。 14.

(25) 請計算下列數目便可知他一生經過了多少個寒暑。他一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是無憂無慮的少年。再過七分之一的年程，他建立了幸福的家庭。五年後兒子出生，不料兒子竟先其父四年而終。年齡不過父親享年的一半，晚年喪子老人真可憐，悲痛之中度過了風燭殘年。請你算一算，丟番圖活到幾歲，才和死神見面？ 1 6. 由此可知，如果設丟番圖活了 x 歲，那麼從方程式 x . 1 1 1 x x5 x4  x， 12 7 2. 就可知道他享年84歲（袁小明，2000）。什麼是方程式？這是某種特殊數學敘述的名稱。先看一些日常生活的敘述：今天星期五我住在城市Stockport 7之後的自然數是8。. 在上面各敘述中，我們的意思是說＂今天＂和＂星期五＂是同一個概念的不同名稱；＂我住在城市＂和＂ Stockport＂是同一個概念的不同名稱；＂ 7之後的自然數＂和＂8＂還是同一個概念的不同名稱。這種＂同一性＂可以用等號＂=＂表示。例如 3  2  5 、 7  4  28 、 1012  5 。. 15.

(26) 代數方程式是表示兩個代數式相等的數學敘述。解方程式的時候，必須求出未知變數的值。能夠滿足方程式而使方程式成立的變數值，稱為方程式的解。（陳昭蓉譯，2006）。一個數學敘述或一個方程式可能是正確的，也可能是錯誤的。在日常生活敘述中，或許有半對半錯的情形，但在數學敘述中，絕不允許有這種情形存在，通常我們提出的敘述當然都已知為正確。在包含變數的方程式如 6 x  3  7  x 之中，我們很難說這個敘述是對或錯，因為不知道 x 代表什麼數。但總有些 x 的值代入之後使上面這個敘述為真，那些 x 就稱為該方程式之解。有些含變數的方程式只要觀察就能找出其解，例如： 3  x  5 的解是 2 。其中 x 除了用 2 代入之外，其他數值代入上方程式都是錯誤的。又如.  x  1 x  2  x  3  0 的解是1、 2 、 3 。有的方程式不管 x 用什麼數代入都不可能是正確的，這時候我們說它無解，例如：2  x  3  x。如果 x 為自然數，方程式 x 2  4 的解只有 2 ；如果 x 為整數，則解為 2 、 2 。（林義雄、陳澤民譯，1986）。 Vergnaud（1984）指出國小六年級多數學生直接以情境中的數值關係直接運算，而將整個算式寫成一列。舉例來說 37  12  49  15  34 ，可看出學生忽略等號的等價性和對稱性。 Clement,Lochhead and Monk（1981）指出，有很大比例主修科學的學生甚至無法將簡單的句子轉換成代數方程式。如：將「小明的年齡（ x ）是大華年齡（ y ）的2倍」的敘述轉譯成方程式，最常出現的錯誤類型為 2 x  y 。學生解題多半在將文字轉換成方程式所產生的錯誤，而非是自己的計算過程或所使用的策略錯誤。從學生解方程式的過程發現式子運算中常出現的問題，我們可從中研究對學生影響方程式解題的因素有哪些？在謝夢珊（2000）的研究中，曾經提出七大類影響方程式的解題因素。包括：運算符號的性質、個數、運算符號及未知數的位置、未知數出現的次數、方程式的答案是否為整數、未知數係數的大小、以及題. 16.

(27) 目中是否有括號。從這些解題因素中，可以看出方程式中重要的概念。. 三、一元一次方程式方程式中所謂的「元」，是指方程式中所代表未知數的符號，而所謂的「次」是指的是方程式中未知數之最高次方。如 4 x  5 y  31 中的 x 和 y，有兩種未知數（二元），而最高次方是一次的方程式，稱為二元一次方程式。因此，只含一種未知數（一元），且未知數的最高次方是一式的方程式，如 3 y  16  0 ，稱為一元一次方程式。在翰林出版的教科書中（翰林出版事業股份有限公司，2010），將一元一次方程式編排在國中數學第一冊第三章，此章分為三小節，分別為3-1式子的運算， 3-2 解一元一次方程式，3-3 應用問題，其詳細內容分述如下：. （一）3-1式子的運算 1. 符號的簡記：我們可將數字和文字符號中間的乘號「  」寫成「  」，簡記時則省略不寫，並把數字寫在文字符號的前面。 2. 一元一次式：如果一個式子只含有一種代表數的文字符號，且該文字符號的次方是一次，我們將這樣的式子稱為一元一次式。 3. 同類項：文字符號相同、次方也相同的項，稱為同類項。例如： 2x 和 3x 是同類項，而 2x 和 3 不是同類項。在做式子的加減運算時，須掌握同類項才能合併的原則。. （二）3-2 解一元一次方程式 1. 一元一次方程式：只含一種未知數，且未知數的次方是一次的等式，稱為一元一次方程式。 2. 方程式的解（根）：若一數代入一元一次方程式可使等號的兩邊的值相等， 17.

(28) 此時這個數滿足此方程式，是這個方程式的解（根）。 3. 等量公理：當等號左右兩邊相等時，在等號左右同時加、減、乘、除一數（除數不為0），等號仍然成立。也就是說，a、b 、c 為任意三數，若 a  b ，則（1） a  c  b  c （2） a  c  b  c （3） a  c  b  c （4） a  c  b  c （ c 不為 0 ）。反過來說，當（1）a  c  b  c 或（2）a  c  b  c 或（3）a  c  b  c （ c 不為 0 ）或（4） a  c  b  c 則可推得 a  b 的結論。 4. 移項法則：解一元一次方程式的過程中，省略寫出應用等量公理的步驟，看起來相當於把等號一側的某數（或項）移到另一側，但要變號，「  」會變成「  」，「  」會變成「  」，「  」會變成「  」，「  」會變成「  」。. （三）3-3 應用問題一元一次方程式應用問題之解題步驟： 1. 先從問題的敘述中找出條件。 2. 選擇一個適當的未知數。 3. 把問題中提到的數量關係，以含文字符號的式子表示。 4. 依據數量關係列出一元一次方程式。 5. 依據所列出的方程式求出未知數的值。 6. 依題意寫答。（注意是否符合題意，或有不合理的情形）. 第三節複式評量一、複式評量的理論基礎：複式評量(Composite assessment)又稱複合式評量，是在國科會資助的數學教師教學與評量技能養成及後設培育計劃下，由曹博盛、王樹文、高毓婷及唐書志. 18.

(29) 所共同研發出來，是正式的評量方式(formal assessment) (曹博盛，2001)。正式評量是指如：課後作業、隨堂測驗、週考、段考或數學競試…等，需要學生利用書寫方式回答問題的評量模式。最近這一、二十年來，各類新的評量方式紛紛出爐，這些新的評量方式主要是針對原先在大型測驗中常用選擇題型式的反撲，因此這些評量方式常被稱為另類評量(alternative assessment)。因其評量方式要求學生對超過一個正確答案的開放性問題，是一種建構反應的評量方法。如：問答題、簡答題、口頭報告、展示作品、操作實驗或在一段時間內完成的作品集…等。常見的另類評量模式有真實評量、實作評量、檔案評量、動態評量…等。其至少具備以下三點共通之處：第一，它們都不是傳統的選擇題型式的測驗。第二，它們都是直接測量學生與真實生活有關的表現。第三，教學與評量的界線模糊化(曹博盛，2003)，其特色重視過程、強調有意義的學習，是屬於標準模式的評量。曹博盛(2003)指出，以前在接受測驗的時候，在考完之後發現自己寫錯，即使已發現到錯誤之處，卻無法重新再來，是一大遺憾。而複式評量提供學生一個「改過自新」的機會。讓學生在接受測驗之後，發現自己錯誤之處，提供學生有第二次機會去補救。所以複式評量就如同其他的另類評量一樣，學生不只在接受評量，同時也在進行學習。而當學生有能力和機會去解決問題時，學生從解決問題的過程所獲得的學習效果是最大的。複式評量具有另類評量的精神，使用傳統的評量方式，如：填充、計算、證明，當老師進行測驗之後並批改，將學生易錯或不成熟的題目重新組卷，其中老師可增加一些題目，組卷後的試題除了題目之外，還搭配學生的做法。第二份試卷的測驗模式是，請學生根據題目去「批改」試卷中的做法並正確指出錯誤的地方並修改其做法（陳蕙茹，2003）。曹博盛（2003）說明複式評量強調學生有「反思」的機會，評量時期望學生盡可能「說明白，講清楚」，讓學生不僅知道答案的對與錯，更能著重於知道錯誤的原因。在國立教育研究院籌備處九年一貫種子教師工作坊正式介紹複式評量之後，因其 19.

(30) 便捷性而受到許多老師的青睞。以下為複式評量的實施步驟：第一，依據能力指標和課程目標，擬定一份前測卷。第二，學生接受前測卷的測驗，由老師閱卷。第三，根據前測卷測驗的結果，分析學生錯誤類型之後重新組卷。第四，學生接受複式評量的測驗，請學生閱卷，再由老師閱卷。學生閱卷項目為原作答的對或錯，以及原作答的錯誤之處、解說與建議（王麗娟，2004）。. 二、國內對於複式評量的相關研究：針對國內多位專家學者及老師實施複式評量的成果，摘錄重點結論分述如下：（一）林福隆、陳銘章（2003）在「複式評量－以式子的運算為例」研究的重點結論： 1. 評量方式為形成性評量與診斷性評量。 2. 後測讓學生針對各題的解題過程與結果，指出哪些是對或錯？以及提出建議做法，可看出學生經過補救教學後的概念發展，並從其他同學的解題過程發表自己的看法，以培養學生欣賞多元與尊重他人的態度，進而提供學生反思與溝通的機會，以提高學生學習的效果。 3. 結合教學與評量，重視過程與結果，是質與量的評量。 4. 前測與後測之間必須進行補救教學和檢討測驗內容。 5. 為了符合隨堂測驗精神，建議實施複式評量的題數不超過4題為宜、實施時間在15分鐘內、並於學生學習之概念後1～2天內實施前測，前測後進行檢討或補救教學，且前測與後測的時間間隔不超過一週較有學習效果。. （二）陳蕙茹(2003)在「複式評量實作範例－－以三角形性質為例」研究的重點結論： 1. 指出複式評量在探討學生學習數學概念的情形，診斷學生的迷思概念，進 20.

(31) 而實施補救教學，並檢驗補救教學成果以調整教學。 2. 透過複式評量，研究者發現補救教學的成效只讓學生學會做法，而未能讓學生深入去了解做法，透過第二次的評量模式，有機會讓學生反思自己的想法，若非時間限制與進度壓力，實施第二次補救教學後再評量，學生的概念學習會更穩固。 3. 複式評量的方式可幫助學生學習，但在第二次組卷時的選題與選取代表性的學生做法時，可能需要考慮學生的答題動機與評量目標。正向做法讓學生容易作答，負向做法能激發學生的批判思考，但易造成學生的挫折感而放棄作答。. （三）蔡長霖、姚谷樺(2003)在「複式評量－以三角形與多邊形的邊角關係為例」研究的重點結論： 1. 複式評量是以最接近傳統評量的方式，進而讓學生了解數學，讓學生在訂正題目的過程中，提供反思的機會，並強化已學習數學的能力，提供學生成功的學習經驗，進而喜歡數學。 2. 複式評量是多元評量中之一，期望能讓學生在數學訂正的過程中，從中辨析自己的觀念。研究者發現在中間程度的孩子有一定程度的參與，這是研究者在傳統紙筆測驗中所難以見到的。 3. 複式評量可使老師能更了解學生的錯誤之處，但是在重組卷的過程較為費時，而且學生不一定會寫錯誤之處，是實施的困難之處。 4. 複式評量需要挑出錯誤之處，學生從中可獲得新鮮感。而利用找出錯誤的方式來測驗，較直接填寫答案容易，可減少學生有直接放棄的心態，並能提高其成就感。 5. 複式評量耗費較多時間，故老師可依需求在需要的單元實施，以維持教學品質。 21.

(32) （四）潘鳳琴、何基誠(2004)在「解未知數之複式評量—以六年級為例」研究的重點結論： 1. 傳統的紙筆測驗不易從學生答題列式中察覺學生的想法，本研究利用複式評量的方式，提供學生互相觀摩學習的機會，從同學的建議與回饋中，促進學生解題的反思，並讓老師從學生解題過程中，數學概念的運用情形，而這樣的評量方式，因為簡單容易進行，適合我們做為診斷教學及蒐集學生解題表現。 2. 複式評量初次進行教學後所進行的第一次評量，學生可能沒有機會澄清自己的概念，再經過老師蒐集學生的解題表現，以發現共同錯誤之後，透過第二次評量的結果，更可突顯出學生共同的盲點在哪裡，也可讓學生藉此澄清自己的數學概念，以提昇學生對數學的興趣和成就感。 3. 提供學生第二次接受評量的機會，除了做為補救教學和診斷性評量之參考，更可蒐集學生的解題表現，以發展其他評量方式時的命題參考。. （五）陳二利(2004)在「配方法解題的複式評量」研究的重點結論： 1. 透過複式評量能協助學生找出盲點，診斷出學生的問題，以作適當的補救教學，為老師於教學活動後的改進依據。複式評量除了提供學生反思的機會，也提供師生雙方面極佳的反思機會。 2. 複式評量比傳統的紙筆測驗費時，但此評量方式能讓學生在答題過程中，重新檢視自己的觀念。而且在作答的過程中，學生的參與度遠超過傳統紙筆測驗。 3. 並非每個單元都適合進行複式評量，除了考量教學進度，編輯試卷相當費時，因此視需要的單元實施複式評量，對學生的自我成長，以及老師的教學改進方向，都有很大的助益。 22.

(33) （六）鄭朝亨(2004)在「幾何複式評量」研究的重點結論： 1. 老師在編製第一次評量的命題過程可能無法嚴謹，建議老師可以由數學領域教師組成命題小組，或直接利用曾經使用過的試題，或自行設計的任何試卷選用為第一次評量。建議以計算題方式出題，才能仔細檢視學生的認知情況。 2. 如果適度提高第二次評量的分數比重，學生會較重視第二次評量，將有助於達到使用複式評量的目的。 3. 從第二次評量中發現學生的表達能力和閱讀能力不足，由此可知語文教育必須加強，或許常使用複式評量可改善此現象，也建議老師在使用複式評量之前或初期，要示範老師所期望學生的記錄方式。 4. 從建議及解說中可發現學生在複製老師行為的痕跡，模仿也是一種學習，但老師要多鼓勵學生創新，建構出屬於學生自己的認知。. （七）樊銀華 (2007) 在「複式評量應用在國一生數學銜接課程學習成效之研究」研究的重點結論： 1. 教學活動中使用複式評量，首先要注意的是設計題型須配合課程內容，可先蒐集學生較能接受的題型作為命題的參考。 2. 其次老師要收集及準備如何將學生在該單元的迷思概念在教學活動中呈現，並應用在複式評量的評量工具中。 3. 最後，學生在答題卷所反映出個人的迷思概念，可作為老師課程安排的依據。並可將學生正確的解題表現公佈於佈告欄，讓同學互相觀摩，更可提供學習的機會。. （八）葉信耀 (2008)在「國一學生函數單元融入複式評量的學習成效之研究」 23.

(34) 研究的重點結論： 1. 採用「融入複式評量之實驗教學」，必須配合課程內容來設計題型，使學生在該單元的迷思概念在教學活動中呈現，在經過「融入複式評量之實驗教學」後，讓學生加深印象而獲得具體且正確的觀念。 2. 教學活動融入複式評量，可先蒐集迷思概念與錯誤解題類型作為命題的參考，以配合課程內容來設計題型。 3. 最後，學生在答題卷所反映出個人的迷思概念，可作為老師課程安排的依據。並可將學生正確的解題表現公佈於佈告欄，讓同學互相觀摩，更可提供學習的機會。 4. 「學習日誌」有助於老師了解學生的學習情況，及早發現學生的問題，提供學生協助，有助於提升學生學習興趣。. （九）蕭龍生 (2008)在「國中因式分解之複式評量研究」研究的重點結論： 1. 數學能力中低分群的學生學習速度較高分群學生慢，經由複式評量後測（重組卷）及補救教學，給予他們再學習的機會，使學生在學習成就上有幫助，在學習態度上，更有學習動機與成就感。 2. 由回饋單及訪談顯示，高分群學生對題目相同的複式評量後測（重組卷）較不感興趣。因此建議可在複式評量後測增加幾題稍難的加分題。 3. 在進行補救教學時，可任命高分群學生為小老師，負責教導同組中低分群同學，若同組中低分群同學在數學成就上有進步，則可給予小老師適當的獎勵以提高高分群學生的學習興趣，並達到教學相長。 4. 複式評量比傳統紙筆測驗費時，為了不影響教學進度或教學品質，建議在較需要的單元實施，或是兩個單元合併實施複式評量。 5. 複式評量後測（重組卷）可挑選具代表性的題目施測，避免與前測題目完全相同，也可減少後測的施測時間。 24.

(35) （十）莊宗元 (2008)在「國二學生一元二次方程式融入複式評量的學習成效之研究」研究的重點結論： 1. 教學活動中進行複式評量時，先蒐集學生較能接受的題型作為命題的參考，以配合課程內容來設計題型。 2. 其次，老師要收集及準備好參考資料，設計將學生在該單元的迷思概念在教學活動中呈現，並應用在複式評量的評量工具中。 3. 「學習日誌」是一個非常良好的師生溝通管道，若善加利用，不僅有助於老師了解學生的學習情況，及早發現學生問題所在，以提供學生協助，有助於提升學生學習興趣。. 針對上述的重點結論，歸納出結論如下： 1. 複式評量可有效幫助老師的教學與學生的學習及迷思概念的改善。 2. 複式評量實施費時，因此老師可依需求在需要的單元實施。 3. 老師在編製前測卷可以由數學領域教師組成命題小組，或直接利用曾經使用過的試題，或自行設計的任何試卷。建議以計算題方式出題，才能更仔細的檢視學生的認知情況。 4. 老師要收集及準備好參考資料，設計將學生在該單元的迷思概念在教學活動中呈現，並將迷思概念與錯誤解題類型作為命題的參考，以配合教學活動來設計題型。 5. 複式評量前測與後測的間隔以不超過一週較有學習效果，並且必須在前測與後測之間進行補救教學和檢討測驗內容。 6. 從後測中發現學生的表達能力和閱讀能力不足，必須加強語文教育，或常使用複式評量來改善此現象，或在使用複式評量之前或初期，要示範老師所期望學生的記錄方式。 25.

(36) 7. 從建議及解說中可發現學生複製老師行為的痕跡，模仿也是學習，但老師要多鼓勵學生創新，「創新」即競爭力。 8. 善加利用「學習日誌」有助於老師了解學生的學習情況，及早發現學生問題所在，以提供學生協助，有助於提升學生學習興趣。 9. 複式評量能讓學生和老師從中均得到回饋，老師能從學生的作答中修正並改善教學方式，以達到教學相長。 10.本研究希望透過「複式評量」，對實驗組學生進行一元一次方程式單元之實驗教學，了解學生數學學習態度與數學學習成就之差異情形，及學生對「複式評量」的接受度與相關建議，作為研究者及老師在國中一年級學生數學一元一次方程式單元教學上的參考，並尋找合適的教學策略。. 第四節補救教學在「教育理念與地方教育實務」研討會會議記錄中，曾主張實施「補救教學」如下：「政府辦理國民教育，應該堅持它的普遍性與公平性特質。從學生走進學校，劃入班級時，就應該注意無論何種編班方式，都可能有其功效上的侷限。因此在設計上，應盡力使每個學生都能得到最好的照顧。此外，發展學習診斷工具，搭配合宜的師資，規劃恰當的課程與教材。一方面使學生因為經驗與基本能力不足所造成的學習挫折，減到最小；另一方面，保障未來求知過程中不會受傷，人格得以健全發展。如果在國民教育階段，學習成果因個體的條件，而有難以短時彌平的差異，政府應檢討規劃，建立完整而一貫的補救教學系統，並輔以必要之補償教育措施，使得個人的學習獲得自我改善，可以在終身的學習時程上進行。」 (行政院教育改革審議委員會，1996)。鄧敦平（2000）指出補救教學的實施是實踐「帶好每一個學生」教育改革理念的重要措施，實現教改訴求「把每一位學生帶上來」。以下將就補救教學的意義、補救教學的對象及特徵、補救教學課程內. 26.

(37) 容類型、補救教學適用的教學策略、補救教學的歷程、補救教學課程及教學設計的原則做探討。一、補救教學的意義：補救教學（Remedial instruction）是老師在診斷學生學習困難之後，針對學習困難所進行一連串的積極性教學活動。補救教學具有事後幫助的功能，大多是在對未達成教學目標者或學習有困難者幫助他再學習（陳長春，1992）。學生因為之前學習過的單元，具有某種程度的不適應或學習有障礙，需要老師的特別幫助，因此補救教學為老師的教學活動，必須依據學習診斷分析出來的原因，提供適切合宜的有效補救教學策略（康木村、吳吉昌，2000）。補救教學是一種診斷教學（clinical teaching，也稱臨床教學），在事先選擇好接受補救教學的對象後，再進行教學。其重點在了解學生的學習困難後，精心設計課程內容與慎選教學型態與策略，才能符合學生的個別需求（張新仁， 2001）。由此可知，實施補救教學能幫助學生克服學習困難，降低學習無力、挫敗感，增加學習成就感以及能再學習的信心，因此實踐「帶好每一個學生」所實施的教學措施是補救教學之重要理念。. 二、補救教學的對象及特徵：早期多位學者對「低成就學生」的界定為智力正常，但實際學業表現明顯低於其能力水準。近期對於補救教學對象之界定，分為三類：第一，學生的實際學業表現明顯低於其應有的能力水準，即原稱之為低成就。第二，學生的實際學業表現明顯低於其班級的平均水準，亦稱之為低成就。第三，學生學科成就不及格，且其學業成就表現明顯低於其他學生許多者，稱之為成績低落者。而張新仁(2001) 指出目前國內學校的補救教學對象，是針對學科成績在全校平均數負一個標準差以下者，或成績在全班後百分之五者。低成就學生具有部分類似的特徵(McLaughlin and Edward，1992)。在學業表 27.

(38) 現方面，低成就學生的特徵包括：在測驗表現上，基本作答能力低弱；學業成績表現不理想；在閱讀能力或數學程度比一般學生低下；被留級或學業方面有挫折；經常找理由遲交作業或直接不交作業，或抄同學的作業。在日常行為表現方面，低成就學生的特徵包括：依賴性較重，需要老師或家長的特別叮嚀；對於有興趣的科目或課程有固著的傾向，對其有優異的理解力及記憶力；容易分心，缺乏專注力；缺乏耐心與學習動機，學習態度不佳；在自我或社會性的控制適應有困難；在學習方面，低成就學生的特徵包括：需要比其他學生更多的學習時間；不喜歡到學校、不喜歡寫作業；習慣性遲緩及經常缺席；家庭所提供的支援不足。綜合許多學者的看法，補救教學的對象為智力正常的學生，由於情緒、動機、焦慮、毅力和態度…等學習障礙的存在，造成低成就學生學業成就明顯低於其潛在能力水準或該年級水準的學生，而這些學習障礙可透過教育診斷，實施補救教學，以了解學生的實際學習狀況，給予需要的協助，而予以改進。. 三、補救教學課程內容類型杜正治（1993）說明補救教學的課程內容，因教育理念、教師素養、學習設備以及學生本身需要，而呈現多樣化。其常用的教學課程內容有以下六種課程。 (張新仁、邱上真、李素慧，2000)：（一）補償式課程(compensatory program)：補償式課程即以不同的教學方法達到與一般課程相同的教學目標。實施補救教學之前，得對學生做仔細的診斷，以了解其個別需求、性向、好惡、以及能力水準，以達到預期的教學目標。例如：若學生聽覺能力優於視覺能力，老師可以有聲圖書取代傳統的教科書，以口試或聽力測驗取代筆試。（二）導生式課程(tutorial program)：導生式課程是正規課程的延伸，為學生提供額外的協助，以學習正規課程內容。除了實施一對一或小組教學等教學方式外，其餘與正式課程相同。例如：為學生提供額外的解說，舉更多 28.

(39) 的例子，並對一般課程所呈現的教材再作複習。因此導生式課程模式相當費時，佔用老師大量時間與精神，所以老師可以鼓勵學生同儕參加補救教學活動，由同班同學義務擔任教導的工作。從中可知補救教學成敗的關鍵，在於補救教學老師與正規教學老師兩者之間的溝通與協調，共同策畫教學活動。（三）適性課程(adaptive program)：適性課程的教學目標內容與正式課程相同，但課程和教法較具彈性，老師選編合適的教材，以符合學生的需求，可使用錄音帶或錄影帶，以取代傳統教科書，考試時也允許以錄音、口試，或表演的方式取代傳統筆試。（四）補充式課程(supplemental program)：補充式課程提供學生日常生活或未來就業非常重要的知識或技能。譬如對考試不及格的學生提供有關的補充式課程，即協助學生習得通過考試的必要知識或應試作答技巧，以通過各種考試。例如：對於參加英語甄試的學生，協助其聽力作答的技巧、英語寫作技巧，使其獲得高分。（五）加強基礎課程(basic skills program)：加強基礎課程偏重於學生在正規課程中未能習得的基本技巧。加強基礎課程模式的基本假設，認為學習歷程是一種線性作用，因而國中一年級的學生無法受益國中一年級的課程，除非該生已學會低年級的所有課程。例如：一位國中一年級學生的代數能力，還停置在國小五年級的程度，則補救教學課程即需加強國小五年級的代數能力。因此在實施補救教學之前，重要的課題不僅要診斷學生的學習困難，也要確定學生當時的知識程度與能力水準。（六）學習策略訓練課程(learning strategies training program)：學習策略訓練課程與正規課程不同，其教學重點不是一般的課程內容，而是學習的策略，包括資料的蒐集、整理與組織方法、以及有效的記憶等。. 29.

(40) 四、補救教學適用的教學策略：張新仁、邱上真、李素慧（2000）指出，使用直接教學、精熟教學、個別化教學，以及合作式學習等教學模式，能夠有效的進行補救教學幫助低成就學生，茲分述如下：（一）直接教學模式(direct instruction model)：此教學模式適用於教導學生記憶事實，學習動作技能，以及簡單的讀、寫、算技能。老師負起組織教材和呈現教材的責任，學生的任務是在接受學習。（二）精熟教學模式(mastery teaching model)：此教學模式的基本理念是每位學生的學習速度快慢不同。教學時列出學生精熟的標準，並給予學生足夠的學習時間，幾乎所有學生都能精熟大部分的學習內容。此模式適於中、小學團體教學，適用範圍包括認知和動作技能兩種，但涉及的層次不高。（三）個別化教學模式(individualized instruction model)：此模式的理念和部分作法與精熟教學模式相似，主要的差異在於個別化教學由學生根據教材個別學習，學習進度由學生自行決定。而精熟教學主張由老師進行團體教學，學習進度由老師決定。（四）合作式學習模式(cooperative learning model)：合作式學習強調透過小組內合作學習的方式精熟學習內容。. 五、補救教學的歷程：補救教學是「評量－教學－再評量」的循環歷程，其重視個案資料的蒐集、診斷評量，以及在教學後的測驗結果，從中了解學生的實際學習狀況，並給予學生適當的協助。補救教學實施一段期間後，期望學生能跟上原班的教學進度。其歷程大致上分三個階段，茲分述如下（張新仁，2000）：（一）轉介過程：補救教學的首要工作在篩選、診斷與轉介適當的學生，以接受補救教學。 30.

(41) （二）正式評量：各項評量的重點主要在了解學生在學習過程中，可能遭遇到的困難，找尋問題癥結，選擇適合的補救策略以進行補救教學。評量資料包括學習困難報告、教室觀察記錄、醫生診斷書、同儕互動關係以及心理評量等。（三）教學：選擇接受補救教學的對象後，進行教學。其主要目的在於了解學生的學習困難後，精心設計課程內容與慎選教學模式，才能符合學生的個別需求。. 六、補救教學課程與教學設計的原則：補救教學的課程設計，張新仁（2000)認為首先要考慮到學習原則。課程必須由易到難、由簡入繁、從已學至未學等，才能建立學生的自信與學習動機。其次，學習目標應明確與具體，課程設計具高度的結構性，才能有效掌握學習的重心。另外，學習活動的設計要考慮學生的能力、學習動機，以及接受程度，與留意學習的廣度。因此對中低程度學生的教材應簡化，學習活動有變化、具趣味性。一般補救教學的課程設計，考慮項目張新仁(2000)提出如下：（一）分析基本能力：補救教學老師在設計補救教學課時，要先考量學生的心智能力，包括注意力、理解力、記憶力、觀察力、知覺力，以及想像力等相關能力，再配合教材與教法，如此才能事半功倍。（二）評量學科能力：進行補救教學前，先針對學科的學習能力進行測試與評量，學科能力的評量大多為成就評量，如測驗運算能力、解題能力等，以作為課程設計的依據。（三）評量學習動機：進行補救教學前，老師應先了解學生學習動機的強弱，因學習動機往往會影響學習成就。由此可考慮學習動機強的低成就學生為優先補救的對象，並對缺乏學習動機的學生提供外在的增強。（四）擬定課程目標：老師在擬定課程目標時，要先了解學生的學習能力，以及 31.

(42) 學習的客觀條件。而課程目標的訂定，務必指出學習的對象、學習的內容與行為的標準，以及教學方法與評量的方式。（五）選擇適合受試者能力的教材：根據學生程度選擇合適的教材，進行有效的補救教學課程設計。包括：指導有效的學習策略、簡化教科書內容、另行編選教材、重新自行設計教材等。. 因此本研究嘗試採用補救教學模式，期望能及早發現學生的迷思概念、及時給予學生協助，並能修正其迷思概念，期待對學生的實際學習成效有實質的幫助。. 32.

(43) 第三章. 研究方法. 本研究主要目的是探討「複式評量實驗教學」與「傳統教學」對於國中學生學習數學一元一次方程式單元的學習態度和成就之差異情形。為達此目的，加上考量研究限制，本研究採取準實驗研究法。首先為了配合學校的班級教學，以及避免學生的學習受到干擾，因此選擇研究者任教的班級為實驗組，接受「複式評量實驗教學」。並以國中一年級上學期第一次與第二次數學段考平均成績相近且性質相似的一個班級為控制組，接受「傳統教學」。控制組之任課老師營造教學氣氛方式與教學方式與研究者相似。本研究實驗教學期間為期五週。期盼藉由此實驗過程中給研究者自己深入學習的機會，從中改善研究者本身教學不足之處，並能從實驗過程中了解學生學習數學的心理層面。本章共分成五節，內容包含：研究設計、研究對象、研究工具、研究程序、資料分析。. 第一節研究設計本實驗研究因考量無法隨機分派受試者到各個研究班級，為避免無法控制實驗誤差來源及影響日常教學活動，因此採用「準實驗設計」，即老師為研究者，在國一的班級中挑選兩班做為實驗對象，一班為實驗組，一班為控制組，實驗組由研究者本身進行「複式評量實驗教學」，控制組由與研究者營造教學氣氛方式與教學方式相似之老師進行「傳統教學」，其設計模式如下表3-1：表3-1 研究設計表前測. 實驗處理. 後測. 實驗組. O1 、 O2. 複式評量實驗教學. O3 、 O4. 控制組. O1 、 O2. 傳統教學. O3 、 O4. 33.

(44) 註： O1 ：數學學習態度量表前測。. O2 ：數學學習成就測驗前測。. O3 ：數學學習態度量表後測。. O4 ：數學學習成就測驗後測。. 研究流程如下：一、研究者由某國中裡選取一年班級，以非隨機方式，選定一班為實驗組，一班為控制組。. 二、實施教學活動前，實驗組與控制組於國一上學期第二次段考結束後就先接受「數學學習態度量表前測」( O1 )和「數學學習成就測驗前測」( O2 )。其中「數學學習成就測驗前測」( O2 )乃以國一學生於上學期第一次段考和第二次段考的兩次數學段考平均成績代替。. 三、實驗組採「複式評量實驗教學」進行教學，在一元一次方程式的每個單元先進行教學後，透過複式評量前測診斷學生的迷思概念，之後針對學生的迷思概念進行補救教學後，再進行複式評量後測，並透過學生學習日誌、複式評量回饋單及晤談蒐集資料。時間控制在國一上學期第二次段考結束後直到國一上學期第三次段考完共五週時間，而控制組則採「傳統教學」。. 四、實施教學活動後，兩組皆進行「數學學習態度量表後測」( O3 )和「數學學習成就測驗後測」( O4 )。實驗組在教學實驗過後，填寫「複式評量實驗教學回饋單」，以了解實驗組學生在一元一次方程式單元接受複式評量前、後有何感想和心得。此外，並於高、中、低分群中各選取一名學生進行個別晤談。最後蒐集學習日誌、回饋單和晤談內容進行分析，透過量化與質. 34.