三、學習工作單的設計
現在我們將逐步分析本單元中所使用的工作單，並期能進一步對此學習工作 單有更深入的理解，在教學活動中有更有趣、更熟練的教學展現。
（１）Workcard１：無限多的概念。
季諾（Zeno）是義大利南部的依利亞人，約生於紀元前 495 年和 480 年之間，
他不僅是個數學家，更是個出色的哲學家。據說他與他的老師巴曼尼迪斯
（Parmenides），均曾在畢氏門派中研究，他提出評多詭辯，其中有四個是關於 運動方面的。由於希臘哲學史資料不足，無法清楚他提出這些詭辯的動機。有人
極限概念
理論架構
邏輯思考方 面的領域
數學史方 面的領域 數學教育方
面的領域
數學概念 發 展 學生數學
學 習
學習工作單 數學講義
教材講解
教程活動設計
說他是為巴曼尼迪斯辯護。
葉。由自然推想可知；上兩者皆為有限數目，只因其難數，難思量，故古人以此 喻“無限多”。因此，以此喻“無限多”可以理解，但其實非真“無限多”矣！
（２）Workcard２：極限的概念（一）
歐多克索斯是古希臘時代成就卓著的數學家和天文學家，生於尼多斯﹝今土耳其 西南角﹞，卒於同地。曾受教於柏拉圖及阿爾希塔斯。
歐多克索斯對數學的最大功績是創立了關於比例的一個新理論。他首先引 入『量』的概念，將『量』和『數』區別開來。用現代術語來說，他的『量』指 的是連續量，而『數』是離散的，僅限於有理數。其次，改變『比』的定義為：
『比』是同類量之間的大小關係。從這一定義出發可以推出有關比例的若干命 題，而不必考慮這些量是否可公度。這在希臘數學史上是一個大突破。其創立之 比例論，成為歐幾里得《幾何原本》，特別是其中五、六、十二卷的主要內容。
事實上，19 世紀的無理數理論是歐多克索斯思想的繼承和發展。不過歐多克索 斯理論是建立在幾何量的基礎之上的，因而廻避了把無理數作為數來處理。儘管 如此歐多克索斯的這些定義無疑給不可公度比提供了邏輯基礎。為了防止在處理 這些量時出錯，他進一步建立了以明確公理為依據的演譯體系，從而大大推進了 幾何學的發展。從他以後，幾何學成了希臘數學的主流。
現今數學中盛稱的『阿基米德公理』﹝對於任意二正數 a，b，必存在自然 數n，使得 na>b﹞，阿基米德明確地把它歸功於歐多克索斯。後者還證明了一個 十分重要的命題：取去一量之半，再取去所餘之半，這樣繼續下去，可使所餘的 量小於另一任給的小量。這是近代極限論的前驅。他還研究了『中末比』和『倍 立方』問題。做出一種作圖工具得到倍立方的解。在應用窮竭法時代獲得極大成 功，借用歸謬法証明了兩圓面積之比，等於其半徑平方之比，兩球體積之比等於 其半徑立方之比，棱錐與圓錐的體積分別是等底等高的棱柱、圓柱體積的1/3 等 命題。
歐多克索斯在天文學方面最有影響的工作，在於把球面幾何用於天文研 究。他的同心球模型，是建立數學化的天立理論的第一次嘗試，也是顯示了天才 的獨創性的一次嘗試。
由學習工作單中，可以真接推導出圓周長的公式。在證明過程中，極限乃用 在邊數ｎ的值，ｎ值很大時，便可展現正ｎ邊形之周長與圓周之間誤差愈小。就 是因為其誤差將趨近於零，故可以保證其證明過程無誤！
由幾何看出：
an πn sin
=2 A D B
O
tan sin tan lim sin(
) limsin(
lim sin
0
的正六邊形開始，由正192 邊形的面積得到 π=151/50 或 3.14。不過他更進一步
論１的問題，作為引進極限的討論。
3.請學生回答問題與討論２，並引導其對此問題的理解。
（３）Workcard３：
（ａ）、使用時間：約２０分鐘。
（ｂ）、使用說明：
1.先以直觀割圓、接合之的手法，讓學生大略理解圓面積的來源。
2.簡單介紹中國數學家劉徽之大略生平。
3.說明劉徽證明圓面積公式的過程，並提出問題與討論１，與學 生互相討論其古文本之大意為何。
4.提出問題與討論２，並和學生一起討論其幾何意義。
上述對極限概念單元，筆者設計了三張工作學習單，是利用模組（module）
方式編排；故此每張工作單本身即有完整的意義及概念的闡述，而同時整份也有 一個統一的主旨。在此，筆者將這些工作單的特質及設計理念條列提出，以供給 有緣者參考：
１、各工作單有單一概念的引導，加強學生學習此單元的動機。
２、運用模組的方式編排，以便整合全體單元的基模概念。
３、設計內容和形式以配合數學科該單元的教學目標為主，並且合符學習者 的程度。
４、運用古人對極限概念的想法，引起學習者學習的動機；另一方面使學習 者對於古人極限概念的推導方式有更進一步的了解，進而得以對古今推 導過程作一深入的比較。
５、融入一些數學家故事，引發學生的數學人文面向的涵養；期望從中提昇 學生數學的文化素養，避免學生對數學產生僵硬、無趣、枯燥無味，艱 澀難學的負面感覺。
６、提出問題討論，讓學生與教師之間能夠有適當的互動；使學生能參與學 習討論的過程，期望能增加學生的學習動機。
７、密切留意教學過程的正常化，不可偏向過份強調數學歷史，造成學習目 標的偏差；使學生偏離學習重心。更要明白數學史並不是教學目標；它 只是教學過程中，為了引起學生學習動機，加強數學人文面向維度的工 具之一而已。切不可反賓為主，而失去了數學教學的真義；進而產生與 現實須求背道而馳的重大缺失。因此，在實施數學史融入數學教學的過 程中，教師本身的尺度拿捏是相當重要的一環，在恰到好處的情況下，
使數學史發揮其最強大的力量。
８、分析古今推導極限概念的異同處，進一步與學生討論何者感覺較為自 然。由於古人心思直接了當，常以通俗自然之法解決問題，常可見到其 運用基本的原理、基本的概念去探討數學原理及公式。這“自然”的精神 展現，其實也是為何要引進“數學史”最無形難見的重要目的所在。因 為，當今所見的數學推導過程大都已經經過相當完美的潤飾，看起來很
美；然而在這很美的面相上，較不易看到古代數學家從無到有的辛苦研 究、探討、思考過程；故此，若能融入適當的“數學史”，應該可以對古 代數學家原創思考過程有進一步的了解，而其原創過程即是吾人作學 問、作研究的重大啟發，它可以給我們許多探討、思考的參考，這些寶 貴的原始探究過程說不定就是我們站在巨人肩膀上的立足點所在。
四、實施情況分析
筆者將工作單，實際在兩個班實施教學，一個班是自己任教的班級(308)，
另一個班級為學校甄選出來的數學資優班。經過教學之後，再以以下問卷作調 查，進而將結果作一分析：
（Ａ）、問卷部分：
１、經過上述的介紹，你對於極限的概念是否有另一種體會？請寫下你的心 得。
２、這種上課方式你喜歡嗎？把數學史融入數學課程中是否能幫助你更能掌 握極限的概念？不管你的答案肯定與否，請說明你的理由。
（Ｂ）、結果分析：
（１）對於持正面與反面的人數分別統計如下：
班 級 308 數資班 正 面 （ 人 數 ） 35 21 非正面（含中性） 3 3
對於數學史融入教學的方式持正面意見者兩班之比例分別為92%，87.5%。
（２）正面意見者：
１、可以增加思考方法，又可以了解古人的智慧。
２、可以幫助我更能掌握極限的概念。
３、讓我見識到古人探求真知的智慧；不像平常算數學，只會解題，而 無法真正了解抽象的極限概念。
４、能引入中國的智慧，不只能加深印象，亦能傳承中國數學的博大精 深。
５、現在制式填鴨的教育下學數學似乎已失去了那一點「真」，不必了 解緣由，不必了解公式背後的原始意義，只有熟練的演算，只有現 實的分數。但若能以此另類卻又似復古的方法，不僅帶給學生多吞 發，也許亦能造就真正屬於中國人的數學、科學模式。
６、數學奧義在於基本概念，而不是複雜的公式運算。經數學史的引導 教學，使學生一步一步進入庖丁解牛般精密解剖的極限世界；使我 在簡易的日常生活問題中，也能深究到隱微精闢的地步。古人的智 慧令人讚賞。
７、聽了融入歷史的數學，彷彿分享著古人的喜悅，好像自己置身在其 中的那種喜悅是無法用言語表達的，不僅促成學習動機，也讓我們
有種莫名的成就感。一旦自我的內心受到肯定，便有了維護自身的 榮譽感，史家的智慧是千年來的累積，文化的傳承是不可磨滅的，
一代一代的數學人才是造就數學史上，輝煌的果實，所有科學的根 源及一切學問的基礎就是數學，如果沒有數學就不會有物理的發 展，沒有數學的話，就不會有…的成就！數學是智慧之母！
８、由上課的內容和資料中，能夠發現許多前人的智慧和發展歷程，對 於極限的觀念也更容易掌握。看看古代數學的演進，創造出現代先 進的教學基礎，奠定了科技的基石，再想想自己對於數學這領域的 理解，發覺自己真的是非常的藐小，應該要更加努力去追求數學這 個一切知識的根源。
９、教學內容伴隨著數學史的發展，確實能讓學生加深印象，更容易記 憶住上課內容。其實如果每次上課時都能以數學歷史或發展的故事 來開場，一定能更加強學生對數學的興趣。
１０、此種教學可使人了解該領域的最初目的及根源，得知該領域非屬 於象牙塔裡的課程。
１１、由於透過數學史，經由一些新觀念的輸入，讓我能夠在更短的時
１１、由於透過數學史，經由一些新觀念的輸入，讓我能夠在更短的時