一、前言
Richard R.Skemp 在《The Psychology of Learning Mathematics》一書中曾提到：『我 們日常生活的知識多半直接由環境中學來，其中牽涉到的概念通常不很抽象。數學學習的問 題就出在過於抽象和一般化。數學的成就確實是一代代中特殊智慧的人把前代的概念更加抽 象化、一般化而得來的。今天的學習者處理的並非古代發展之初的原始資料，而是一般教科 書中經整理、編排的資料處理系統。….』筆者對於這番敘述印象極為深刻，省思自己過去的 教學方式，的確太過於偏重數學技巧，而這樣的內容，學生對於數學有什麼感覺？只是一大 堆冷冰冰的數學公式罷了。
從課本教材編排內容來看，高中二年級的教材著重於幾何部分，其內容皆以代數形式探 討之，因此在一開始學習『圓』這個單元時，即以定義的方式引入圓的方程式，這樣的上課 方式，一點也不浪費時間，直接切入重點，但是，筆者認為，教室是一個文化場，學習的人可 以在文化場裡，自動、主動地學習，所以文化場的經營是必要的條件，因此筆者特別選取『圓』這個 富有文化的單元，以設計教學工作單的模式，嘗試將本單元滲入一些數學史，期盼能帶給學生不 同以往生硬的教學內容，營造一個能重新認識知識與價值的場所。
二、教學指引
(一) 關於數學結構、數學教育及數學史三維度的結合說明
我們在高中課本第一冊第二章中，曾向學生介紹了平面座標係，並用坐標方法去處理直 線問題，而在第三冊第二章中，我們更將平面座標拓展為空間座標，從而以坐標方法處理空 間中直線及平面的各種問題，”坐標系”不但可拓寬學生們的視野，更重要的是：它是代數 與幾何的一座橋樑。本章節為座標幾何的延續，因此，課本的教學目標重在圓的方程式之學 習。
我們也都知道，「圓」是生活隨處可見的東西，如車輪，常用的杯盤器皿，星星、太陽等，
學生對圓絕對有深刻的印象，但是那只是對形體的圓的一種直觀，還不算進入數學討論的層 面，所以抽象的圓的幾何概念，在數學裡是非常重要的，也是學生必須學習的重點之一，而 由於數學中對圓的理解和探討，才能進一步延伸到科學上的應用。在做「延伸」動作之前，
我們必須讓學生看到淺顯易懂的例子，讓他們對於圓的認知不僅僅只是生活上的圓而已，而 是更具劃時代的一種文化產物，因此筆者引入圓對於天文運動的影響，企圖拓展學生們對於 圓的認知；進而由引入古希臘哲學家、數學家們對圓的定義後，加深學生印象，鼓勵學生從 坐標化的過程中，尋找圓的方程式，從而建立學生關於圓的數學模型。（將實際情形理想化，
以便運用適當的數學方法作處理分析，此一步驟就稱為建立一個數學模型。）之後，我們利 用此次機會介紹坐標幾何的原創概念發展，希望能將學生對幾何的具體運思加深至形式運思 期；最後，對於課本習題所提到阿波羅尼爾斯圓稍作解釋，並且藉機介紹阿波羅尼爾斯的圓
錐曲線，為下學期學習「圓錐曲線」單元鋪路。
三、學習工作單之設計
工作單一
參讀了蘇惠玉之『古代文本在課堂上的應用之教學報告：圓』後，筆者感受到圓在文化 上演進的過程令人驚奇，因此開始搜尋資料，進而發現希臘時期對於圓非常重視。
在古希臘，哲學家大都格外重視數學，在這些人當中，最強調數學的、在數學上成就最 大的，當推畢達哥拉斯。畢達哥拉斯曾遊歷埃及、波斯學習幾何、語言和宗教知識。回義大 利定居後，他招收了三百門徒，建立了帶有神秘色彩的團體，被稱為畢達哥拉斯學派；他們 提出〝萬物皆數〞的觀點，認為萬世萬物皆由數產生：1 生 2，2 生諸數（其中包含整數及分 數）；但是在畢達哥拉斯給出了勾股定理的證明之後，畢達哥拉斯（也許是他的門徒）發現，
邊長為 1 的正方形，其對角線應當是 2，但 2既不是自然數，也不是分數。這一發現，造 成了萬物皆數觀點的破滅；由於知道了有些幾何線段不能用數表示，當時研究數學的希臘學 者們便對數的重要性產生了懷疑，轉而把幾何看成更基本的數學，於是，幾何學的研究變繁 榮興盛了起來；而隨著幾何學的美妙結構和精美推理的發展，數學變成了一門藝術。
歐幾里得的《Elment》集當時全部幾何知識之大成並加以系統化，在二千年之久的時期 內，《Elment》既是幾何教科書，又被當成嚴密科學思維的典範；它對西方數學及哲學的思想，
都有重要的影響。它從定義、公設、公理出發，一步一步推證出了大量的、豐富多采的幾何 定理。
由於希臘哲學家認為，圓是最重要的平面圖形，且是最完美的。因為它是由一條線圍成，
且不用加任何東西在上面；所以球也是最基本、最完美的立體圖形。受到希臘學者們深遠的 影響，「圓」這個概念在西方世界裡所成就的，不僅是在數學發展本身，或在天體觀測上，甚 至是藝術上，都佔有特別的地位。且讓我們先來看一下古希臘哲學家及數學家們對「圓」的 定義：
畢達哥拉斯(Pythagoras)：圓是最完美的圖形。
柏拉圖(Plato)：－Round(i.e circular)is, I take it, that the extremes of which are every way equally distant from the middle.(圓形的圖形，即末端 的每一個方向到中心點都等距。)
亞里斯多得(Aristotle)－the circuler figure bounded by a line; the plane equal from the middle(圓的圖形由一條線圍成；一個平面圖形上到中心點處處全 等的，極為圓形。)
歐幾里德(Euclid)－圓是一條直線包圍的平面圖形，其內部一點與這條直線上的點 連成的所有線段都相等。此點稱為圓心。
從地球上看來，在天空中的行星是雜亂無章的。因此，柏拉圖提出設計一套系統，既適 合於行星有系統的運動，柏拉圖堅信，太陽、月亮、星星都各自被牢牢地固定在一個球體上，
而且它們在自身的軸上繞地球旋轉。另外每個星體的軌道也一定是圓形，因為圓和球具有同 樣美的魅力。
由於哥白尼(Copernicus)接受了一些希臘 學術思想，因此他也堅信圓周運動是天體的 自然運動，因此他用圓作為建立自己理論的 基本曲線。他假設每個天體，無論是月亮或 是行星，都在一個圓周上運動，這個圓的圓 心又在另一個圓周上運動，後一個圓的圓心 又在一個圓周上運動；最後一個圓心他假設 是太陽。（以太陽為中心可以使複雜的圓從 77 個減低至 33 個。）
在往後的五十年，受到哥白尼的影響，德國人 克卜勒(Kepler)亦獻身於天文學研究；他假定 6 個 行星的軌道半徑是五種正多面體的球面半徑，這 些球和 5 種正多面體按以下方式聯繫起來：最大 的半徑是土星的軌跡半徑，他假設在這一半徑的 球裡有一個內接正立方體，在這個正立方體裡有 一個內接球，這球的半徑就是木星的軌道半徑，
然後他假設這個球裡面有一個內接正四面體，對它 又有一個內接球，它的半徑是火星軌道半徑，如此 繼續下去，遍歷五個正多面體。這個體系要有六個 球，正好和當時知道的行星數目一樣。
由於這一假設所導出的結論卻與結果不合，克卜勒不得不拋開這一個想法，提出 所謂的行星運動三大定律；其中第一定律為：每個行星運行的軌道不是圓，而是一個 橢圓，太陽不是處於圓形的中心，而是位於橢圓的的一個焦點上。
再往藝術方面看，圓這個圖形的特性亦影響了藝術的表現模式；以文藝復興時期的作品 為例，達文西對比例的研究中，他試圖使理想人物的結構適應理想的圖形—正方形和圓；而 杜喬的作品除了引用圓，更引入了第三維，在繪畫中處理了空間、距離、體積、質量和視覺 印象。
回到數學本身來看，以畢達哥拉斯為代表的希臘人認為圓是最完美的平面圖形，以圓和 直線為最基本的研究對象，有了尺規後，直線和圓可以就做出，因此歐幾里得體系規定做圖 只能用”尺”、”規”兩種工具，這個目的是為了保持幾何學的簡單與和諧。
工作單(二)
有關圓面積的問題，在小學時就曾學過，圓面積＝3.14×π×π；然後國中學了圓週率π 之 後，就變成πr2，但是圓面積的求法在不同時空中各有不同的發展。
以阿基米得為例：
阿基米得在『圓的度量』命題一中敘述求圓面積的方法。
任何一個圓面積等於一個直角三角形面積，它的夾直角的一邊等於圓的半徑，而另一邊 等於圓的周長。
阿基米德證明的方式是使用窮盡法：如果圓不等於三角形面積，則圓大於三角形面積，
或是圓小於三角形面積。……
以我國《九章算術》為例：
《九章算術》是中國數學史上的重要著作，其確切作者與寫作年代均不可考。現存的傳本 是經劉徽、李淳風等人注釋的版本。《九章算術》全書共有 246 道題，內容分為：方田、粟米、
衰分、少廣、商攻、均輸、盈不足術、方程及勾股共九章。方田一章中列舉許多與土地丈量 有關的面積公式，其中第 31 題是有關求圓面積的問題：
2πr
r
今有圓田，周三十步，徑十步。問田為何？
術曰：半周半徑相乘得積步。
《九章算術》一書關於個問題僅僅列舉公式，對於內容中之公式由何而來，文中並未多加 解釋，幸而有劉徽的注解、證明與系統化才不至於只是一本數學公式手冊。
工作單(三)
以第三冊的內容看來，平面上或空間上圖形都可以代數的形式表示，但是這樣的一個使 用工具，其發展過程是經過多人的努力。
差不多有 2000 年以上，幾何與天文佔盡了數學的領域，但是在十七世紀以後，科學技術
差不多有 2000 年以上，幾何與天文佔盡了數學的領域，但是在十七世紀以後，科學技術