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七、附錄
學習工作單一、數學家們對虛數的看法
十六世紀身兼醫生和數學家身分的卡丹諾(Cardano,1501~1576)對方程極有研 究，在1545 年的著作《大術》裡，他盡量避免涉及虛數根，只有一次在第三十 七章中，卡丹諾提到一個這樣的問題：「把十分為兩部分，其乘積是四十。」他 的答案是5+ −15和5− −15，但他的注解卻帶有道歉的口吻：「不管會受多 大的良心責備，把5+ −15和5− −15相乘，便得到25−(−15)，即是40。可見 算術是怎樣神秘地發展下去，正如我先前說過，它的目標既精緻但也是不中用 的。」
法國哲學家暨數學家笛卡兒（Descartes，1596~1650）認為虛數根是虛幻的，不 能接受。英國數學家暨物理學家牛頓（Newton，1643-1727）也覺得虛數根沒有 實際意義。
同時期的德國哲學家暨數學家萊布尼茲（Leibniz，1646~1716）則說：「聖靈在 分析的奇觀中找到超凡的顯示，就是那理想世界的端兆，那個藉乎存在與不存在 之間的兩棲物，那個我們稱之為虛幻的負1 的平方根。」
棣摩根（De Morgan，1806-1871）在 1831 年說：「我們已經證明了 − 是沒有a 意義的，或者甚至是自相矛盾和荒唐可笑的，但通過這些記號，代數中極有用的 一部分卻建立起來，它依賴於一件必須用經驗來檢驗的事實，即是代數的一般法 則可以應用於這些公式而不導致任何錯誤的結果。」
哈密頓(Hamilton，1805-1865)在 1852 年一月十三日給棣摩根的信中談到：「我 認為你或我－但我希望是你－選個時機寫下 −1的歷史。」五天後棣摩根回信 說：「有關於 −1的歷史，要從印度以降好好寫起，可是一件不小的工程。」。
在數學思想的進程上， −1的發展相當的艱辛，數學家們從漠視、否定、懷疑 到接納，歷經重重曲折和迂迴，同學們！現在請一起搭乘時光機器，讓我們悠遊 於時間的長河，回溯這一段 −1的歷史。
討論：
1. 請描述你心中的虛數。
學習工作單二、邦貝力的解釋
(1) 加法:(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i (2) 減法: (a+bi)—(c+di)=(a—c)+(b—d)i (3) 乘法: (a+bi)˙(c+di)=(ac—bd)+(ad+bc)i
(4) 除法: i
學習工作單三、尤拉的說明
尤拉（Euler，1707－1783）是十八世紀偉大的數學家，尤拉於 1770 年在德國印 行的《代數指南》，是18 世紀相當重要的代數著作。書中有下面一段話：
All such expressions as −1, −2, etc., are consequently impossible or
imaginary numbers, since they represent roots of negative quantities; and of such numbers we may truly assert that they are neither nothing, nor greater than nothing, nor less than nothing, which necessarily constitutes them imaginary or impossible.
討論：
1. 上述文字，用現代數學符號表示，就是 i 既不是 0，i 也不大於 0，也不小於 0。
你能加以證明嗎?
2. 承上題，你覺得 2i 和 3i 可以比較大小嗎？請說明你的理由。
3. 同學們！若 n 是任意自然數，你能不能由 n=1、n=2、n=3、n=4、…推算出 in 的值？
學習工作單四、複數的威力
出生於法國，長期在荷蘭工作的數學家基拉德（Girard，1595-1632）從形式上接 受了虛數根，他說：「你會問，這些不可能的解有什麼用？我回答：它有三方面 的用途－一是因為藉著它我們肯定一般法則；二是因為它們有應用；三是因為捨 此外別無他解。」。虛數 −1發展至今，在處理代數、分析、幾何與數論的問 題上，皆可看到複數的蹤跡。以下讓我們觀察兩個恆等式：
(22+32)(42+52)=533=72+ 222 = 232+ 22，以及
(172+192)(132+152)= 256100 = 642+ 5022 = 82+ 5062。 這是數論的 一個定理：兩組兩個整數平方和的乘積，總是可以用兩種不一樣的兩個整數的平 方和來表示。在1225 年斐波那契寫成並呈獻給神聖羅馬帝國皇帝－菲特烈二世
（FrederickⅡ,1194-1250）的《平方數之書》（Liber quadratorum）中，共用了五 頁的篇幅才得到結果。現在我們有了虛數的概念後，很快就可證明出來。亦即：
(a2+b2)(c2+d2)= A2+B2 = C2+D2。其中A、B、C、D 皆為整數：
(a2+b2)(c2+d2)= [(a+bi) (a-bi)] [(c+di)(c-di)]
=[(a+bi)(c+di)] [(a-bi)(c-di)]
= [(ac-bd)+(ad+bc)i] [(ac-bd)－(ad+bc)i]
=(ac-bd)2+(ad+bc)2
(a2+b2)(c2+d2)= [(a+bi)(a-bi)] [(c+di)(c-di)]
=[(a+bi)(c-di)] [(a-bi)(c+di)]
= [(ac+bd)+(ad－bc)i] [(ac+bd)－(ad－bc)i]
=(ac+bd)2+(ad-bc)2。 討論：
1. 請找出滿足等式(32+22)(22+12)= A2+B2 = C2+D2的四個正整數A、B、C、D。
2. 同學們！你想知道 i 的平方根到底是什麼嗎？何不動筆求求看。
學習工作單五、複數平面
雖然數學家做了不少關於虛數的工作，在高斯之前人們對複數還是抱著懷疑的態 度。尤拉(Euler，1707-1783)在 1777 年以 i 這個字母表示－1 的平方根。雖然尤 拉等人在十八世紀前半期已經知道以平面上的點(a,b)來表示 a+bi，但明確地以幾 何語言描述複數的四則運算這件工作，是十八世紀末在挪威出生的測量員威塞 (Wessel，1745-1818)所完成。
威塞自學數學，以向量的想法來描述複數的加法和乘法。一個複數z=a+bi 表成 一個向量(如圖一)，z1＋z2可用平行四邊形法則得到(如圖二)。z1z2就是把z2逆時 針方向再轉一個x 角，長度是 z1和z2長度的乘積(如圖三)。威塞把他的論述發表 在丹麥皇家學院的刊物上，但極少人知道它的內容，至1897 年他的作品被譯為 法文重新發表之前，威塞的論文一直未受到重視。瑞士的阿甘德(Argand，
1768-1822)在 1806 年也發表了有關複數的論述，看到負數在數軸上是以相反於 正數的方向來表示，啟發了他們多加一個垂直於實軸的方向來表示虛數。
使複數增加可信度的，高斯居功厥偉。高斯在研究工作裡嫻熟地運用複數，又公 開宣揚複數的幾何表示，並在1831 年引進複數以別於虛數。哈密頓(Hamilton，
1805-1865)在 1837 年的論文中，建議把複數 a+bi 定義成有序實數對(a,b)。這樣 做使複數有更清晰的邏輯基礎，因為i 就是有序數對(0,1)。
a，b 皆為實數，形如 a+bi 的數，叫做複數。其中 a 稱為實部，b 稱為虛部。若 虛部b=0 時，則 a+bi=a+0i=a 是一個實數。實數以外的複數，稱為虛數。當實部 a=0 時，bi 稱為純虛數。
討論：
1.根據複數與複數平面上的點有一一對應的關係，試問下列敘述何者為真？
(1) 3+ i, 1－3i, －3－i ,所對應的三點與原點等距。
(2) 2+2i, －1－i, －6+8i, －3+11i 所對應的四點形成一平行四邊形。
(3) 1+i, －2i, 2i 所對應的三點形成一等腰三角形。
(4) 2, 1+i, 2i 所對應的三點共線。
學習工作單六、複數在日常生活的應用
複變函數是一門重要的數學分支，它的應用是廣泛的，並不只限於流體力學，還 經常用於熱力學、電磁學、彈性理論等。近代美籍匈牙利數學家馮•諾伊曼（Von Neumann，1903-1957）喜歡講一個這樣的故事，他說在十九世紀初應用科學上 急需解決的問題是如何避免發生航海事故，因為當時航海事故導致的人命財物損 失數字驚人。很多人嘗試使用各式各樣的辦法，效果都不大。然而當時數學家埋 首研究的一門理論，卻為日後成功地解決這個問題幫了大忙。這門理論就是複變 函數論，它的應用之一就是通訊理論，尤其在雷達探測和無線電通訊這兩方面，
大大地減低了航海事故招致的損失。物理學家和工程師必須通曉複變函數，天天 與 i 這個東西打交道。我們還能說 i 是個不食人間煙火的虛幻之物嗎？同學們！
在日常生活中，當我們開關電燈或者使用電話時，就已經不知不覺與 i 扯上關係 了！
討論:
1.經過了上述的介紹，同學們對於 i 是否有另一種體會呢？請寫下你的心得。
2.這種上課的方式你喜歡嗎？把數學史融入數學課程中是否能幫助你更能掌握 虛數的概念？不管答案肯定與否，請說明你的理由。