附錄 1
九十二年度推動建立「以學校為中心」之進修模式實施要點
中華民國九十二年三月十一日 教中（一）字第０９２０５０３５７４號書函 壹、依據：
一、 教育部頒教育改革行動方案。
二、 教育部頒健全師資培育與教師進修制度中程計畫。
三、 教育部頒高級中等以下學校及幼稚園教師在職進修辦法。
貳、目的：鼓勵學校建立「以學校為中心」之進修模式，以因應學校需要，並進 而建立學校特色。
參、辦理單位：台灣省各縣市政府、國立特殊教育學校
肆、參加對象：國民中小學及幼稚園暨台灣省國立特殊教育學校編制內按月支領 待遇之校（園）長及依法取得教師資格之教師。
伍、實施策略：由各校以任務編組方式成立教師進修研究小組，規劃辦理左列措 施：
一、 調查並瞭解教師有關進修之需求與困難，探求因應之道。
二、 溝通教師進修觀念，妥善安排進修系列課程與活動。
三、 強化教學研究會功能，協助教師改進教學。
四、 安排進修時間，使不影響正常教學。
五、 規劃以學校為中心多元化進修方式，充實進修內容。
六、 鼓勵教師從事研究或創作發表。
七、 發展學校特色，鼓勵教師配合專業發展生涯規劃。
八、 配合網路、遠距教學方式，規劃教師進修。
陸、辦理方式：
一、 自辦式：
（一）辦理各項教師知能研習或研訂主題，共同研究。
（二）成立學習型組織，擇定主題或研讀專書，定期研討（讀）。
（三）成立教師進修研究工作圈，解決教學實際問題。
（四）加強教師進修專題報告。
（五）敦聘學者專家到校專題演講。
（六）辦理參加校外研習教師返校心得報告座談會。
（七）其他。
二、 合辦式：
（一）聯合鄰近學校相互支援合辦專題講座及教學觀摩會。
（二）配合附近社會資源舉辦教師進修活動。
三、 自修式：
（一）學校提供書籍、視聽媒體、錄影帶、錄音帶以供教師進修。
（二）自訂主題，申請專案研究。
四、 成果發表：
（一）出版教師之進修心得專輯。
（二）舉辦進修成果發表會。
（三）鼓勵教師參加學術論文發表會。
柒、經費：
一、 來源：由教育部中部辦公室九十二年度預算支應。
二、 補助對象：台灣省各縣市政府。
三、 各校辦理「以學校為中心」之校內教師進修所需費用，請依左列標準編 列：
（一）鐘點費：以有授課事實為要件，並以實際講演或擔任授課者為支 給對象。
外聘：專題演講－每小時一千六百元、授課－每小時八百元 內聘：專題演講－每小時八百元、授課－每小時四百元
（二）講師差旅費：依規定編列，核實支給。
（三）資料印刷費：每人一百元。
（四）出席費：二千元以內（以專家學者重大專案或研究諮詢情形，視 經費酌情核定支給標準，最高以二千元為限，）。
（五）成果印製費：打字印刷費核實編列。
（六）雜支：以總經費百分之二編列。（包括郵電、攝影、文具等等）
（七）其他行動研究經費另案辦理。
四、 各校提報之研習計畫，請併同研習經費概算表逕送主管縣市政府審查 後，函送本辦公室核撥款項（國立特殊教育學校備文逕送本辦公室辦 理）。
捌、申請金額上限：每校每年最高十萬元，每縣市以彙報四校為原則。
如預算經不足或有特殊情事時，得由本室衡酌實際情形，予以減支給。
玖、考核與獎勵：
一、教師參加本進修活動，承辦單位得依實際上課情形，報經主管教育行政 機關同意核給研習時數。
二、有關執行績效考核、敘獎事宜由各主管教育行政機關自行辦理。
三、教育部得視實際需要派員督導，承辦單位應於九十二年十二月三十一日 前執行完畢並繳回餘款；另於九十三年一月二十日前由主管教育行政機 關將各校執行結果檢討表函送本室，作為次年度核撥相關補助經費之參 考。
拾、本要點得視實施成效檢討修正。
附錄 2
HPM 與教師專業發展問卷
填表時間：
姓名：
任教學校與年資（如多校請全部列出）：
目前擔任課程：
學歷（含哪一年大學或研究所畢業）： 學位論文（如果有的話）：
何時接觸數學史或 HPM：
1. 參加本計畫前後，上課前的備課方式是否不同？為甚麼？請舉例說明！
2. 參加本計畫前後，你認為你自己的教學活動是否作過調整？為甚麼？請舉例說明？
3. 這一年多來，你對於與計畫有關的活動（譬如教學或研習等）中，哪一項的印象最 為深刻？為甚麼？
4. 你對於數學知識本身或數學教學與學習的看法是否改變？請舉一個具體的例證（譬 如課本中的某一單元）說明之！
5. 參加本計畫之後，你與學生的關係有無變化？如果有的話，請舉例說明之。
6. 參加本計畫之後，你與同事（非參與本計畫者）的關係有無變化？如果有的話，請 舉例說明之。
7. 你覺得最近這一波數學教育改革的爭議中，哪一些面向的問題如果從 HPM 角度切 入可以比較容易澄清？
8. 參加本計畫之後，你所閱讀的哪一份論著（文本、書籍或文章）對你有深刻影響？
請舉例說明之！
9. 有關本計畫，你目前最想與同事分享的成果或心得是什麼？請舉例說明之。
10. 其他心得！
附錄 3
數學史融入數學教學－以矩陣單元為例
一、前言
將數學史融入教學中以活化數學，拉近與學生的距離，一直是筆者所期望 的；當筆者教授到高三選修數學(甲)中矩陣這個單元，心想對一位高中生而言，
這是個完全陌生的單元，它完全獨立於先前所學的數學；實際上陌生就代表距離 代表疏遠，但是矩陣的運算在科學上已被廣泛運用，因此，如何把這個數學工具 很自然有效的介紹給學生實為重要。
關於矩陣在數學史上記載的史料並不多，因此面對這個單元所設計的補充內 容並不求深與廣，而是增加人物與時代背景的介紹，及運算法則的由來與可運用 的拓展等。
筆者以為一個新觀念的引進，不要貿然的把太多複雜的資訊帶給學生，徒然 增加學習者的負擔，非但無法拉近學生，更可能把他們推得更遠，尤其對即將面 臨學測考試的高三生而言，更是不可不慎。
在高三的教本當中對矩陣觀念的起源並無敘述，只是藉著例子直接告訴學生 何為矩陣及其乘法的意義，或許學生針對該題了解它的意思，但也止於該例子，
為何階數不同便不能相乘?一般性的概念似嫌欠缺，多了突兀，少了連貫；在此 可以適度的引進數學史，雖然它無法取代教本為主教材，但以它來融入教學可以 彌補教本之不足是可努力的方向。筆者將以工作單的設計引進矩陣觀念的起源與 計算由來，對自己任教班級及非任教班級實施教學並作分析比較，以期對數學史 融入教學的效果上有更深一層的定位，或許能在高中教材內容編寫時多提供一份 參考方向。
二、教學指引
(一)三緯度的結合說明：
(A)數學邏輯結構方面：
筆者在介紹何為矩陣後，將複習高二所學矩陣的列運算，並引進矩陣的加減 法及數與矩陣的乘積，再進一步介紹矩陣的乘法､單位矩陣與反矩陣，過程中可 結合向量的性質與向量內積作對比，使同學了解其同質性與差異性，待同學熟練 矩陣的乘法後，再引入座標變換的矩陣表示，以結合課本第二章〝平面上的座標 變換〞單元作再次整合，並延伸到平面上線性變換的矩陣表示(其中涵蓋了平移､
旋轉､鏡射､伸縮､推移等)，也一併介紹矩陣在機率上的應用。
(B)數學教育方面：
在蕭文強先生所著〝為什麼要學習數學?〞一書中提到：「數學發展是由具體
到抽象，從歸納到演譯。」因此筆者將先以具體例子說明，從先備概念切入，再 提出新問題使其產生認知上的衝突或不足，進而建立矩陣運算的完整觀念，在開 拓矩陣實際運用範圍，以期學生在矩陣的功能上有更深一層的體驗。
筆者將藉由第三冊所學的平面向量，空間向量中的向量內積，係數積為例：
平 面 向 量 ： r(a1,a2)=(ra1,ra2) (a1,a2)+(b1,b2)=(a1+b1,a2 +b2)
2 2 1 1 2 1 2
1, ) ( , )
(a a ⋅ b b =ab +a b 空間向量： r(a1,a2,a3)=(ra1,ra2,ra3)
) ,
, (
) , , ( ) , ,
(a1 a2 a3 + b1 b2 b3 = a1+b1 a2 +b2 a3 +b3
=
⋅( , , ) )
, ,
(a1 a2 a3 b1 b2 b3 a1b1+a2b2 +a3b3 此為學生已建立之基模。筆者將提出新的問題：
(1) ?
22 21
12 11 22
21 12
11 =
+
b b
b b a
a a
a (2) ?
22 21
12
11 =
a a
a r a
(3)
22 21
12 11 22 21
12 11
b b
b b a a
a
a 其代表意義為何?
(4)為何階數n×m與m×n之矩陣才可以相乘?
筆者將利用實際生活例子，結合線性變換的觀念，說明其原委，使學生在矩 陣的運用上有更穩固的觀念，以期學生在拓展矩陣功能時有更佳的能力。
(C)數學史方面：
面對多元變化的社會，如何幫學生建立好接受挑戰的能力，實為各界所期 盼；因此對教育的內容及層面會有更多的期許，如「心教育」，「資訊教育」，「兩 性平等教育」等均希望有效融入教學，筆者選用了矩陣的創始者凱利其生平的種 種事蹟與好友席爾維斯特的共同成長學習過程及當時的時代背景，藉由問題留給 學生討論空間，目的是要他們認識一位數學家成功的另一面，有什麼值得我們借 鏡學習的地方；並就當今環境是否有相似之處?以激發其想像力，除了要引起學 習動機之外也能在「心教育」融入課程做部分發揮。
在矩陣運算中，筆者以凱利定義矩陣乘積的原始想法，讓學生更了解一個算 式的最起始源頭倒底為何?如此方能建立數學觀念一脈相承的意境。
在矩陣列運算中，筆者也藉由《九章算術》的例題讓學生認識到中國數學史 上重要的文獻。
藉由(A)(B)(C)三個方面的理解，筆者將矩陣理論課程設計架構，以圖表列之 如下：
三、學習工作單之設計
(1)Work 1：關於矩陣
在數學教學中，除了知識的傳授外，如何讓同學能有良好的求學態度與正確 的人生觀，往往是老師不易著力的地方，因此筆者想藉由數學史中數學家的生平 介紹，引導學生以不同的角度欣賞其成功的另一面；此外藉由矩陣與行列式的發 展順序，提供學生不同於數學的問題思考。
矩陣理論的創始者―凱利，1821 年出生於英國，早年就展現其不凡的數學 天賦，後來雖轉業為律師，但基於對數學的愛好，投注了大量時間做數學研究，
期間發表了近兩百篇論文，也在同時他與英國另一位數學家席爾維斯特共同研究 有關代數不變量理論(thery of algebraic invarianls)亦有豐碩的成果。
在此筆者要特別提出：身為律師的凱利，卻能致力於數學的研究，這在現今 教育體制並不容易，因為這是相當沒有交集的兩個領域，而凱利卻可以兼顧，而 且副業(數學研究)的成就更高於主業(律師)，或許是凱利具備了敏銳的觀察力與 追根究底的精神，使他在這兩個領域中有此傑出表現；面對今日多元的社會，漸 漸的也有多元的學習機會，大學裡跨科系選修及攻讀雙學位的已非新鮮事，不過 早在一百多年前，凱利就已經做了良好的示範。
另外凱利與席爾維斯特共同作代數不變量理論的研究，也告訴我們一件事，
他們在研究的路途上並不孤獨；而同學在面對聯考的挑戰中，試想是否也有不藏 私的奮鬥夥伴，還是單打獨鬥的獨行俠?這兩者的心情是不同的。
理論上，矩陣的概念應先於行列式，即應先有陣列，才有陣列式子的演算，
但是由歷史的發展來看，這個順序恰好反過來；當凱利引介矩陣，把它視為獨立 認識論領域
理論架構
歷史的領域
數學的概念發展 邏輯的領域
學生的數學學習
方法論的領域 學習工作單的設計
認知心理的領域
個體可以自行運作，已是在行列式發展後一世紀之久了。若與當今自然界與科技 界來比較可發現：我們早就知道荷葉葉面不沾水的功能與撥水布料的研發乃至奈 米科技的未來廣泛應用，是否與行列式、矩陣的發現有異曲同工之妙，又如醫學 界對阿斯匹靈的使用和治療愛滋的雞尾酒療法均有相似之處。它告訴我們任何一 件工具的使用，有時候，經過精心設計後所發揮的功效往往不是原來工具可以相 比的，自然界､科技界乃至數學界(數學史)…..亦然!
關於 Work 1 的問題討論以上亦提供了部分答案。
(2) Work 2：矩陣的列運算
凱利在引介矩陣時對方程組
+
′= +
′=
dy cx y
by ax
x 提出了矩陣
d c
b
a ，它提供方程組 變換的基本資料；在第三冊提到過三元一次方程组與矩陣的列運算，來求得方程 組的解，因此本工作單主要目的，是提供學生複習高二所學的利用矩陣列運算求 解；另外亦把中國古代數學家所研究的數學書籍《九章算術》介紹給同學，藉以 引起同學對中國古代數學的好奇，其中取錄『方程組』第八題： 『今有賣牛二 羊五，以買一十三豕，有餘錢一千；賣牛三豕三，以買九羊，錢適足；賣六羊八 豕，以買五牛，錢不足六百.問牛， 羊， 豕價各幾何?
答曰：牛價一千二百， 羊價五百， 豕價三百
術曰：如方程.置牛二羊五正，豕一十三負，餘錢數正；次，牛三正九負， 豕 三正；
次， 五牛負六 羊正，八豕正，不足錢負.以正負術入之』
譯文：『假設賣了2 頭牛､5 隻羊，用來買 13 隻豬，尚餘 1000 錢； 賣了 3 頭牛､3 隻豬， 用來買 9 隻羊，錢恰好足夠；賣了 6 隻羊､8 隻豬， 用來 買5 頭牛，不足 600 錢。問 1 頭牛､1 隻羊､1 隻豬的價錢各是多少?
答：1 頭牛的價錢是 1200 錢， 1 隻羊的價錢是 500 錢， 1 隻豬的價錢是 300 錢。
解法：如方程那樣求解；佈置牛頭數2､羊的隻數 5､正的，豬的隻數 13，
負的，餘錢數，正的。接著，佈置牛的頭數3，正的，羊的隻數 9，負的，
豬的隻數 3，正的。再佈置牛的頭數 5，負的，羊的隻數 6，正的，豬的隻 數8，正的，不足的錢數，負的。將正負術納入之。』
設牛每頭 a元，羊每頭b元， 豬每頭c元，則
−
= + +
−
= +
−
=
− +
600 8
6 5
0 3 9 3
1000 13
5 2
c b a
c b a
c b a
⇒ 增廣矩陣
−
−
−
−
600 8
6 5
0 3
9 3
1000 13
5 2
列運算
⇒
−
−
⇒
300 1 0 0
500 0 1 0
1200 0
0 1
2400 8
0 0
1000 15
11 0
1000 13
5 2
(3)Work 3：矩陣的運算
關於兩矩陣的乘法，凱利直接以兩個變換的合成變換的表示法加以呈現. 如：
變換(一) 變換(二) y
a x a
x′= 11 + 12 x′′=b11x′+b12y′ y
a x a
y′= 21 + 22 y′′=b21x′+b22y′ 則x′′, 與 yy′′ x, 之關係為：
x′′=(b11a11 +b12a21)x+(b11a12 +b12a22)y y′′=(b21a11+b22a21)x+(b21a12 +b22a22)y
因此凱利定義兩矩陣的乘法為：
22 21
12 11
b b
b
b
+ +
+
= +
22 22 12 21 21 22 11 21
22 12 12 11 21 12 11 11 22
21 12 11
a b a b a b a b
a b a b a b a b a
a a a
即積中元素c 為左矩陣第 i 列與右矩陣第 j 行對應位置元素的乘ij 積之和，並發現乘法具有結合律但不具交換律.
又如兩變換分別為
+ +
′=
+ +
′=
z a y a x a y
z a y a x a x
23 22 21
13 12
11 與
+ ′
= ′
′′
+ ′
= ′
′′
y b x b y
y b x b x
22 21
12 11
可推得
+ +
+ +
+
′′=
+ +
+ +
+
′′=
z b a b a y b a b a x b a b a y
z b a b a y b a b a x b a b a x
) (
) (
) (
) (
) (
) (
22 23 21 13 22
22 21 12 22
21 21 11
12 23 11 13 12
22 11 12 12
21 11 11
因此對照矩陣乘積為：
+ +
+
+ +
= +
22 23 21 13 22 22 21 12 22 21 21 11
12 23 11 13 12 22 11 12 12 21 11 11 23
22 21
13 12 11 22 21
12 11
b a b a b a b a b a b a
b a b a b a b a b a b a a
a a
a a a b b
b b
若矩陣A2×3與矩陣B2×2作乘積，則變換關係：
(1)
+
′=
+
′=
y a x a y
y a x a x
22 21
12
11 與(2)
+ ′ + ′
= ′
′′
+ ′ + ′
= ′
′′
z b y b x b y
z b y b x b x
23 22
21
13 12
11 顯然(1)式缺少 z′
之變換好讓(2)式作x,y,z之變換， 因此矩陣A2×3與矩陣B2×2無 法作乘積
以上亦提供了Work 3 習題之解答。
對於數學史融入矩陣教學中，筆者設計了三張工作單，均以模組(module)方 式呈現，每張均可獨立使用，難易度由淺到深，但均以易懂易學為原則，堅持其 為催化學習的觸媒角色，而非數學的主幹。因此秉持的理念為下列各點：
(1) 工作單的設計是為拉近學生與數學的距離，而非加重其學習負擔，
一切以簡易為原則，想深入了解的同學，可於課後討論。
(2) 每張工作單均為獨立單元，可依狀況作選擇使用。
(3) 為提高學生的學習興趣，激發其思考力與師生互動，以問答題的方 式開放討論。
(4) 藉由數學家與當時的時代背景介紹，建立學生正確的人生觀與學習 態度。
(5) 利用中國古代數學書籍的介紹，引起同學對數學史的學習動機。
(6) 經由數學家最起始的思考模式介紹，讓學生充分了解矩陣乘法的原 由。
(7) 藉由古代狀況與當今現況的比較，加強學生學習印象。
四、實施情況分析
對於工作單的使用時間與使用方式，分述如下：
(1) Work 1：關於矩陣
(a) 使用時間：約 15 分鐘。
(b) 使用說明：
1. 首先將凱利的生平大略介紹給學生，再將當時的時代背景一併介紹。
2. 以凱利身為律師的角色，亦能堅持自己的興趣志向而有成，適時給予學生機 會教育。
3. 以凱利與席爾維斯特的例子，鼓勵學生亦可建立學習夥伴的關係。
4. 藉由行列式與矩陣的發展先後次序，配合問題 2 與學生共同討論，以激盪思 考，加強印象。
5. 藉由行列式與矩陣的例子，提示學生對事物的看法，應有更多種面向，只要 加些巧思將有意想不到的功能變化。(可參考工作單之細部分析部分)
(2) Work 2：矩陣的列運算 (a) 使用時間：約 20 分鐘。
(b) 使用說明：
1. 以矩陣的列運算幫忙學生複習高二所學的部分。
2. 以習題適時引介中國古代數學書籍《九章算術》(約在公元 50 至 100 年間，書 中系統的節錄戰國､秦､漢以來的數學知識，共收集了246 個數學問題和解法，
列為九章)；藉以引起學習動機。
(3) Work 3：矩陣的運算
(a) 使用時間：約 20 分鐘。
(b) 使用說明：
1. 將矩陣的基本定義加以介紹，可配合 Work 2 的內容介紹。
2. 介紹凱利直接以兩個變換的合成變換來定義矩陣的乘法。
3. 以習題 1 來檢測學生是否了解凱利所定義的矩陣乘法。
4. 以習題 2 來說明為何A2×3與B2×2無法作乘積，當然，仍要借助凱利所定義的 矩陣乘法。(於細部分析中有所說明)
筆者以自己任教的兩個班級(314，319)與非任教的一個班級(317)分別作工作單 教學，事後並作問卷調查與訪談。
問卷部分：
(1)經過上述介紹，你對於矩陣的概念是否有不同的體會?請寫下您的心得 (2)這種上課方式你喜歡嗎? 把數學史融入數學課程中是否能幫助你更能
解矩陣的概念? 不管你的答案肯定與否，請說明你的理由?
結果分析：
(1) 關於前一題幾乎所有同學均認為對於矩陣的概念會有更清楚的認識。
(2) 關於第二題持正面與反面人數分別統計如下：
班 級 314 319 317 正 面 (人 數) 28 37 30
非 正 面 (含 中 性) 15 8 14
對於數學史融入教學持正面意見者三班比例分別為：65%，82%，68%其正面意 見分別有：
(一) 増加了不同的課外知識，連補習班也聽不到。
(二) 更了解矩陣的來龍去脈，加深學習印象，較有踏實感，而非一知半 解。
(三) 不同的教學方式，讓學習生動有趣，加強學習動機，而非死板的算 數學，死記公式。
(四) 不再是毫無目標的解題，盲目的計算。
(五) 與生活面的結合思考，學起來比較不會乏味。
(六) 讓數學與歷史融合，能接近事物的本質，減少冷冰冰的感覺，而更 能得到相乘的效果。
(七) 比較能夠跳脫“考試領導教學”的模式。
(八) 歷史的輔助，對了解抽象的數學有所幫助，且往往隨時間的推移，
自淺入深。
(九) 有較整體性的架構，可加深體會，了解其精神目的，而非一些片段。
(十) 認識到中國老祖先對數學也是有所研究。
(十一)悟出青出於藍更勝於藍的道理。
(十二)擺脫制式的想法，改從先了解來由，再作課程教學，使規則更加 明確。
(十三)較清楚矩陣相乘為何左取列右取行作對應乘積相加。
(十四)由兩個變換的方程式，了解到矩陣的意義和運算法則，比起從題 目下手來得更為深刻。
(十五)藉由老師與學生的問答討論，可培養思考力，增加師生互動，激 發學習興趣與成效。
(十六)體會到創意的改變其功能將遠遠超過原先的。
(十七)對啟發尚未對數學有興趣的同學，具有相當的助益。
(十八)體會到學習過程中，學習夥伴的重要性。
(十九)感覺高深的學問要從最基礎學起，因此數學史的加入有其必要性。
反面意見分別有：
(二十)考試用不到，幫助不大。
(二十一)使得進度變慢，減少上課時間，感覺沒有效率。
(二十二)對計算熟練度沒有幫助。
(二十三)不習慣這種上課方式。
(二十四)對數學史的發展，不感興趣。
(二十五)不適合目前教育體制。
(二十六)比較適合高一､高二，因為高三時間寶貴。
(二十七)數學史不能解釋整個數學內涵。
(二十八)如果不考試不聯考才能接受。
(3) 針對兩班任課班級數學成績統計分別為： (另一班沒資料)
班 級 314 319 意 見 看 法 正 面 反 面 正 面 反 面 平 均 成 績 78 82 78 73 全 班 成 績 79 77 (4) 意見分析：
1、 在九條反面意見當中，有六條與分數有關。
2、 在兩班持反面意見者中，均提到這六條意見。
3、 314 班當中 15 位持反面意見者均認為無法提高其成績。
4、 319 班當中 8 位持反面意見者，有 5 位認為無法提高其成績，另 3 位對課程不感興趣。
5、 無法從成績高低判斷學生正反面的看法。
6、 兩班學生(無論正反面)絕大多數均認為，對矩陣有更深一層認識。
7、 無論是自己任課班級或非任課班級，學生的反應幾乎一致，並無 明顯差異。
訪談部分：
筆者在訪談部分，就正反面看法挑出 6 位學生作訪談，節錄 3 位記錄作代表：
楊文耀同學： (正面)
1､對於 Work 1 的內容，你獲得了什麼?
答：我習得了有關矩陣與行列式概略的發展史，也認識了幾位不常聽到的數 學家；另外我也得知了就算工作領域和數學毫無關係，還是有機會在數學領 域中出人頭地的。
2､對於 Work 2 的內容，是否讓你有不一樣的感受?
答：雖然數學(甲)課本並未提及 Work 2 內容中的列運算，不過 Work 2 的前 半段的課程講解，對我並沒有太大吸引力，因為大部分的多元一次方程組，
我比較習慣使用高斯消去法，不大想使用到矩陣列運算的方法，反倒是後半 段《九章算術》的部分較令我感到新奇有趣，或許是教科書上極少介紹類似 中國古代數學的問題，因此對這部分的問題增加了解題的渴望與趣味性。
3､對於 Work 3 的內容，是否讓你有更深的體認?這種體認是什麼?
答：的確有的! Work 3 與教科書最大的差異，在於整個觀念的敘述，條理，
流程比起課本來得清晰，尤其是才剛剛學完第二章的平移､旋轉使得我能很 快接受
+ +
′=
+ +
′=
z a y a x a y
z a y a x a x
23 22 21
13 12
11 與
+ ′
= ′
′′
+ ′
= ′
′′
y b x b y
y b x b x
22 21
12
11 可推得
+ +
+ +
+
′′=
+ +
+ +
+
′′=
z b a b a y b a b a x b a b a y
z b a b a y b a b a x b a b a x
) (
) (
) (
) (
) (
) (
22 23 21 13 22
22 21 12 22
21 21 11
12 23 11 13 12
22 11 12 12
21 11 11
這樣子的觀念，因此比看教科書更能進入狀況，且更快體認矩陣乘法的基本 概念，在例題中，也習得矩陣乘法的重要性質。
4､學完此一章節，那一張工作單的內容讓你印象最深刻?
答： Work 1 的內容印象最深刻。平時上課，老師無論教那一單元，似乎從 不提及有關這方面的(數學史)，因為很多公式也許我們知道它的證明，但卻 不知它的由來，究竟是誰又怎有此能耐，導出那些令人讚嘆或頭痛的公式，
Work 1 是平常數學課聽不到的。
5､你覺得老師教授此一章節的方式與以往有何不同?較喜歡哪一種?為什麼?
答：我覺得老師在教授此一章節時，又比平常更用心，準備功夫比平常更加 努力，整堂課一氣呵成，絲毫沒有冷場局面，而且又是首次使用工作單，跳 脫出課本的俗套，看得出老師用心良苦!
至於喜歡此章節的方式；畢竟，教科書中盡是老掉牙的觀念和題目一板一眼 的，想必很多人老早就在補習班算過n 次了，而這一次，少了課本固定模式 的束縛，完全按照老師的意思和教材上課，而且教材上的大觀念我覺得比課 本更易吸收，因此，我喜歡這種上課方式。
郭滌宇同學： (非正面)
1､這種上課方式，為何覺得尚可?
答：因課程內容及方式，雖趨於生動，讓人容易吸收，培養出良好的學習態 度，但是此種方式的缺點在於一定時間內能教授的範圍有限，太壟長的課程 會排擠到其他內容，對於現今的考試模式其實並不適合。
2､你喜歡數學嗎?
答：還好! 數學是一門深奧的學問，舉凡邏輯思考，物體型態的描述，時空 的切割等都與之相關，日常生活中更可見蘊含其中，初步入這個領域，實有 見山是山，見水是水之想，但在學習過程中則是見山非山，見水非水，爾後 小有所成後，才算是見山還是山，見水還是水，然而其中意境已與之前大不 相同。
3､你覺得好的教授方式為何?如果再實施應如何改善?
答： 好的教授方式是將繁雜的原理以簡易的方式呈現，如以圖形表示說明，
並再上新課程時能先將整體觀念和公式加以詳加介紹，使同學有整體認知，
再以循序漸進的方式讓人了解，熟悉觀念公式之後進而融會各章節，如此方 能使人心無疑惑，全盤通曉。
陳亭綱同學： (反面)
1､這種上課方式，為何覺得尚可?
答： 因為感覺沒什麼效果。Work 1 的內容對矩陣的觀念沒什麼幫助。
2､你喜歡數學嗎?
答： 算是喜歡! 因為要背的東西最少，只要觀念清楚，公式和定義熟記，就 可以考高分；但有時會因一個小錯誤而白忙一場，算是比較討厭的地方。
3､你覺得好的教授方式為何?如果再實施應如何改善?
答： 希望上完課本然後再作補充教材， 再作小考。
Work 1 的內容可再増加； Work 2， Work 3 可以不用教授。
五、心得與建議
筆者作完數學史融入教學後，深深感覺到絕大部分的學生對數學史的教學方 式均持正面看法(支持百分比：65%，82%，68%)無論自己任課班級或非任課班 級，或者是成績高或低的學生大部分均希望以這種方式教學，而持負面看法的學 生，真正在意的是成績無法有效快速提升；而這也是筆者面對高三學生顧忌所 在，畢竟聯考的壓力仍在，正如學生所言：高一高二的學生適用性是比高三來的 好，無論如何，學生的反應已經讓筆者甚感鼓舞!
筆者認為數學史的融入猶如教學上的潤滑劑一般，它可生動教材，吸引學 生，引起興趣，提供人文、社會多元面向，藉此拉近學生與數學的距離，數學不 再是只有冰冷的一面，但是在使用技巧上仍要注意，別把數學史當成正課來上，
避免偏離數學的主學習目標，再來，選材避免過於艱澀，別忘了我們用意是要拉 近學生，而非嚇跑學生，會增加學生太多負擔的內容皆應避免。
學生的思考力是無限的，在Work 1 的問題 2 中同學的答案有：先人早有釀 酒技術，後來才有酵母菌的發現；孟德爾的遺傳法則遠比基因，DNA 的發現還 要早；天體的軌道猜測比萬有引力的提出還來的早；熱力學中第零定律比第一定 律還晚被發現…等。能討論出這些答案，已超出筆者所預期。
在教授完工作單後，有位同學名叫陳以勳，私下找我，表示自己正處於低潮，
努力與成效差距太大，內心實感徬徨無助；筆者以凱利與席爾維斯特為例，他們 的聰明才智無庸置疑，尚且懂得互相研討學習，在研究的路途上，他們並不孤獨；
建議他可以組成一組學習夥伴，彼此交心，切磋學習心得，不但可以增進情誼，
在課業上也可相輔相成；隔段時間後，當他再次來找筆者時，面帶笑容，敘述著 有那些人已加入團隊，他對目前的狀況相當滿意。後來該生在模擬考中為班上第 一名，參與的同學成績表現，也進步甚多。此事的結果，讓筆者甚感欣慰，而這 種教育功能，似乎不是其他教材可以取代的。
另外，在學生負面意見中，也提醒筆者，在大環境未改變之前，學生依舊 相當在意分數，在授課前(數學史)不妨先告訴學生教授此單元的用意與目的，避 免學習時產生不必要的疑慮。當然任何一種教學沒有絶對的好與壞，當中技巧的 拿捏才是關鍵所在。
六、參考文獻
李儼和杜石然 (1992)：中國古代數學簡史。台北市：九章出版社。
林炎全、洪萬生和楊康景松譯 (Kline， M.， 1972 原著) (1983)：數學史－數學 思想的發展。台北市：九章出版社。
洪萬生 (2002)：如何利用古代數學文本作為認知的媒介？。HPM 通訊， 5(5)，
1-3。
七、附錄
Work1：關於矩陣
十九世紀在英國數學界最具代表性的三位數學家分別是凱利(Cayley)，席爾 維斯特(Sylvester)和沙門(Salmon)而凱利被認為是矩陣理論的創始者.
凱利，1821 年出生於英國，早年即表現了不凡的數學天賦.於劍橋大學求學 即通過數學優等考試及格， 榮獲史密斯獎，後來轉業為律師，在這期間他投注 了大量時間於數學研究且發表了近兩百篇論文，也在同時他與席爾維斯特在代數 形(quantics)上的共同興趣一同切磋研究有關代數不變量理論(theory of algebraic invariants). 凱利特別是在 n 維解析幾何，行列式理論，線性變換，斜曲面及矩陣 理論上都有相當的創見與著述.
理論上，矩陣的概念應先於行列式，但是由歷史的發展來看，這個順序恰好 反過來. 數學界一般印象，以為矩陣是由數學家預見此種觀念之潛力而發明的一 種原創性與獨立性之創見，這也是錯誤的；早在十八世紀中葉人們便注意到行列 式的研究，可是關切的均是行列式數陣運算後的值，在這些大量有關行列式的作 品中，很明顯的數陣本身是可以獨立研究與運作的，且與行列式的值無關，所以 凱利在引介矩陣時便把它視為獨立個體且其用法已建立的很完善.
矩陣理論在近代物理的數學結構中有其特別的重要性.
問題1 ：看完這篇簡介之後有何感想?
問題2 ：行列式與矩陣的發展過程(先後)，理論上與實際上有著截然不 同現象，就你所知自然界或科學上是否有類似情形?
Work 2 ：矩陣的列運算 凱利在引介矩陣時對方程組
+
′= +
′=
dy cx y
by ax
x 提出了矩陣
d c
b
a ， 它把方 程組的變換提供了基本資料； 而在解方程組時我們常用的加減消去 法，其實可以增廣矩陣的列運算加以簡化.
例：
=
−
= +
) 2 ( 0 2
) 1 ( 4 2
"
"
"
"
y x
y
x −(1)+(2)⇒
−
=
−
= +
4 2 0
4 2
y x
y x
= +
=
⇒ +
2 0
4 2
y x
y x
⇒
= +
= +
2 0
2 0 2
y x
y
x
= +
=
⇒ +
2 0
1 0
y x
y x
增廣矩陣的列運算：
−1 0 2
4 1
2 (第一列)×(−1)加到第二列
−
⇒ −
4 2 0
4 1
2
第二列除以(-2) ⇒
2 1 0
4 1
2 (第二列)×(−1)加到第一列
⇒
2 1 0
2 0
2 第一列除以 2
⇒
2 1 0
1 0
1 得
=
= 2 1 y x
習題： 在[ 九章算術 ]「方程章」第八題：
『今有賣牛二羊五，以買一十三豕，有餘錢一千；賣牛三豕三，以 買九羊，錢適足；賣六羊八豕，以買五牛，錢不足六百.問牛， 羊，
豕價各幾何?
答曰：牛價一千二百， 羊價五百， 豕價三百
術曰：如方程.置牛二羊五正，豕一十三負，餘錢數正；次，
牛三正羊九負， 豕三正； 次， 五牛負六 羊正，八豕正，
不足錢負.以正負術入之』
(1) 是否能將文章翻譯?
(2) 能否列出方程式?
(3) 能否以矩陣列運算求解?
