三、學習工作單之設計
我們將逐步分析本單元中所使用的工作單，並期能進一步對此工作單有更 深入的理解。
平移旋轉
理論架構
數學教育方面 的領域
邏輯思考方面 的領域
數學史方面 的領域
學生數學學習 數學概念發展
學習工作單
教程活動設計
（1）Workcard １：阿基米德──與坐標平移變換有關的最古早定理
我們皆知道歐幾里得的《Element》，它集當時大部分的幾何知識之大成並加 以擴大之，再進而系統化；它是幾何的教科書，又被當成嚴密科學思維的典範。
它對西方數學及哲學的思想，皆有著很重要的影響。歐幾里得有一個再傳之弟子 阿基米德。現在我們先來談阿基米德的生平大略。
阿基米德(Archimedes , 287B.C~212B.C)出生於西西里島的敘拉古，第二次布 諾戰爭期間被羅馬士兵殺害。阿基米德早年曾跟隨歐幾里得的門生學習，他有許
將d式代入c得
（２）Workcard２：李善蘭筆述中的坐標平移變換。
在1858 年美國數學家羅密士（Loomis）所著的"Analytical Geometry and of the Differential and Integral Calculus"，經由偉烈雅力口譯，由李善蘭筆述，使此 書成為以中國文字寫成的第一本微積分的數學典籍。李善蘭在書中的”易縱橫軸
Herschel 的《談天》，E,Loomis 的《代微積拾級》；他還與艾約瑟(J.Edkins)合譯 了《圓錐曲線》 和《重學》等書。在1850 年代，可說是他一生創作的顛峰時
間，而中國的傳統數學也在此時逐步匯入現代數學的主流。
（３）Workcard３：李善蘭筆述中的坐標旋轉變換。
在李善蘭所筆述的“代微積拾級”中，它是第一部以中國文字所寫成的微積
由此，我們已經說明了古文本中的數學意義，即已經說了討論１的問題。
（４）Workcard４：李善蘭筆述中的斜角坐標變換
在李善蘭的”代微積拾級”中卷三的代數幾何三中的第十款裡，闡述”凡正
餘弦
（５）Workcard５：李善蘭筆述中的平移並極角坐標變換。
在李善蘭的”代微積拾級”中卷三的代數幾何三中的第十一款裡，『準正交
文中公式中的”未為帶徑”表示未即為呷’巳線段長，亦即
巳 未 呷'
= 之意。而”
亥為帶徑交橫軸之角”，即表示亥代表角巳呷’叮，亦即如圖中的θ角。其中甲，
乙代表呷’在原坐標系中的坐標。
接著我們要引用古今對照的方式來說明古文本中的平移並極角坐標變換公 式的推導方式。
古文本寫法 現今寫法
味 乙 乙 呷 味 呷= ⊥
OB=OA+AA
未亥餘弦
＝
弦 餘 叮 呷 巳
巳 呷 叮
＝呷 味
乙 '
'×
=
AB=CD=O' Pcosθ
未亥弦 甲
天 = ⊥
⇒ x=h+O'Pcosθ
叮
學生數學的文化素養，避免學生對數學產生僵硬、無趣、枯燥無味，艱 澀難學的負面感覺。
６、提出問題討論，讓學生與教師之間能夠有適當的互動；使學生能參與學 習討論的過程，期望能增加學生的學習動機。
７、密切留意教學過程的正常化，不可偏向過份強調數學歷史，造成學習目 標的偏差；使學生偏離學習重心。更要明白數學史並不是教學目標；它 只是教學過程中，為了引起學生學習動機，加強數學人文面向維度的工 具之一而已。切不可反賓為主，而失去了數學教學的真義；進而產生與 現實須求背道而馳的重大缺失。因此，在實施數學史融入數學教學的過 程中，教師本身的尺度拿捏是相當重要的一環，在恰到好處的情況下，
使數學史發揮其最強大的力量。
８、分析古今推導平移、旋轉公式的異同處，進一步與學生討論何者感覺較 為自然。由於古人心思直接了當，常以通俗自然之法解決問題，常可見 到其運用基本的原理、基本的概念去探討數學原理及公式。試看 Workcard２中的平移坐標變換，古文本乃用自然的線段相加性質直接得 到；而現今課本（以大同版為例）是利用向量相加的概念推導平移變換 公式。由此可見，利用線段相加性質較為自然；因後者還須要有向量的 基本概念而前者不必用到向量。當然其中結果兩者本質無異，但是線段 的長度相加性質，總是較於日常自然之中可以感覺得到。這“自然”的精 神展現，其實也是為何要引進“數學史”最無形難見的重要目的所在。因 為，當今所見的數學推導過程大都已經經過相當完美的潤飾，看起來很 美；然而在這很美的面相上，較不易看到古代數學家從無到有的辛苦研 究、探討、思考過程；故此，若能融入適當的“數學史”，應該可以對古 代數學家原創思考過程有進一步的了解，而其原創過程即是吾人作學 問、作研究的重大啟發，它可以給我們許多探討、思考的參考，這些寶 貴的原始探究過程說不定就是我們站在巨人肩膀上的立足點所在。
三、學習工作單的呈現：
首先，筆者先分別敘述各工作單使用的時間及使用說明。之後，再將各工作 單以單張單頁方式呈現；如此，可以方便有心要引用者的使用。
（１）Workcard１：
（ａ）使用時間：約15 分鐘。
（ｂ）使用說明：
c先介紹阿基米德的生平大略，再介紹命題４的敘述；最後推導圖（一）的拋物 線方程式。
d進行問題討論（１）及（３）的探討，並以師生互動方式進行。
e教師可以推導圖（一）的拋物線方程式給學生看，而圖（二）的拋物線方程式 可請學生自己完成。
（２）Workcard２：
（ａ）使用時間：約15 分鐘。
（ｂ）使用說明：
c先說明美國數學家 Loomis 所著之微積分，經由傳教士偉烈雅力口譯，經由李 善蘭筆述。
d說明“易縱橫軸法”前三行，可請學生起來作古文本的翻譯，並加強師生之互動 教學。
e簡介李善蘭的生平大略。
f由古文本中，古今對照，並作平移變換之推導過程。在古今對照之中，亦可請 學生回答，依古文本的寫法，問其如何相應現今之寫法。並作古文本相加符號說 明。
g在師生互動之中，自然完或問題討論１、２、３。
（３）Workcard３：
（ａ）使用時間：約20 分鐘。
（ｂ）使用說明：
c簡介第九款古文本的主要教學目標。
d由古文本中，古今對照，作坐標旋轉變換的古文本推導過程。e古文本的相關 符號介紹說明。
f推導過程中，隨時詢問學生，引導問題討論１、２、３的探討。
（４）Workcard４：
（ａ）使用時間：約15 分鐘。
（ｂ）使用說明：
c斜角坐標，因教材中無此單元，故可視情形使用。時間不許可便不用之。
d斜角坐標要能讓學生了解其意義，即要明白斜角坐標中的Ｐ（ｘ,ｙ）是坐落 在那裏。
e古今對照其運算推導遇程，並自然推導其斜角坐標變換公式。
f在推導過程中，隨時可以師生互動問答得到結論，而在自然探討之中完成問題 討論１、２。
g問題討論３是計算之例題，可請學生自行練習，最後再大家一起探討之。
（５）Workcard５：
（ａ）使用時間：約15 分鐘。
（ｂ）使用說明：
c此極角坐標在教材中也是沒有的概念，故須視時間許可而教授之。
d介紹極角坐標之意義，可由工作單細部分析中得到說明。
e利用古今對照的方式，將極角坐標變換公式推導展現出來。進而自然完成問題 討論１、２的探討。
f要求學生一起做問題討論３之計算題，最後再大家一起討論之。
接著筆者將各工作單以單頁單張工作單之方式呈現如後之五頁之中。