一、前言
在高中數學第二冊中，與三角形有關之篇幅，佔了很大的比重。以龍騰版第 二冊為例，本冊內容共分為三章，第二章探討三角形的邊角關係，第三章則是三 角函數的性質。第二章共分為四節：2-1 銳角三角函數。2-2 廣義角的三角函數。
2-3 正弦定律與餘弦定律。2-4 三角測量。在 2-3 節的教學方法與注意事項中，教 師手冊提到「為了將面積公式作一完整的介紹，可先介紹正餘弦定律，因為海龍 公式的證明必須借助於餘弦定律。」。雖然在教師手冊的參考資料中附有海龍公 式的幾何證法，但在課文中，只是簡略以海龍公式的幾何證法不在此處討論帶 過，就直接以三角形面積為 ab sinC
2
1 × ，再以sinC= 1−cosC2 ，而
ab c b C a
cos 2
2 2
2 + −
= 代入，得出海龍的三角形面積公式 s(s−a)(s−b)(s−c)（a,b,c 為三角形之三邊長，s為周長之半）。這個證法雖然簡潔，可是，卻無可避免地陷 入了「以今觀古」，從高觀點看古人公式的迷思，因此，筆者才有編製此工作單 的構想。一方面是為了把課本提及海龍的「幾何證法」，做一個交代，事實上，
在上課時，學生也對課本的敘述感到好奇。另一方面，是為通常成為學生夢魘的 三角單元，增添人文的面向，希望能增加學生的學習興趣。
二、教學指引
在教科書的編排上，三角形面積公式是安排在正弦定律、餘弦定律之後，三 角測量之前。海龍公式的證明在單元中的地位，都是為了讓學生嫻熟三角形面積 公式以及餘弦定律而引入。這在上述的龍騰版中已加以說明，而南一版及康熙版 的教科書都是將公式列在習題裡，但是也都提示了同學以上述的證法完成。這種 證明方式造成時空錯置的問題已如前所述，雖然對同學的學習看似較為簡便，但 是若能在適當的地方，引進古人原始的想法，相信對於數學思想的發展與學生的 學習過程上，能有更貼近的牟合，也能讓學生對數學有更全面的觀照。
至於在認知心理的領域，數學教育中的啟蒙例教學，就是指教學時，當學習 抽象數學概念時，用具體例子以引動學習。啟蒙例教學概念可包含有「代表性」，
就是能正確表達欲教的數學概念，以及「發展性」，就是能接續在相關概念的學 習時所用，還有「易學性」，即能讓學生容易操作，最後是「樂學性」，能引起學 生的學習動機等四個屬性（鄭英豪，2000）。對照於本學習工作單的內容，海龍 的原始想法僅用到相當基本的平面幾何知識，就可以得出所求結果，只要學生肯 花下時間研究，再加上教師提示，應可做為教學上一可行之啟蒙例。至於三斜求 積公式，可讓同學自行導出，貼近文本，增加參與數學活動的機會，也是一不錯 之範例。另外，雖然海龍公式與之後秦九韶的三斜求積公式，都能解決已知三邊
長，求三角形面積的問題，但乍看之下，兩者所呈現的數學形式卻不相同，我們 希望在此產生學生的認知衝突，最後在問題與討論中，讓學生自行由三斜求積公 式導出海龍公式，讓他們明白事實上此二公式有等價的意義，達到教學的效果。
根據 HPM 研究綱領History in Mathematics Education: The ICMI Study (John Fauvel and Jan van Maanen 主編，2000) 第九章『在數學課堂中原典的使用』（The use of original sources in the mathematics classroom）的說明，研讀原典有三項特別的效 果，一是觀念的替換：讓數學可被視為智力的活動，而不僅是知識大全或一堆技 巧的組合。二是重新定向：歷史提醒我們數學概念是被發明的，而不是自然而然 產生的。三是文化的了解：讓我們明瞭數學的發展是有脈絡的，與科技、社會息 息相關。當我們在課堂中提供學生原典時，正應該朝著這三個方向努力才是，教 師也可於學生之後的回饋中，探察使用原典的成效。
基於以上的認知，筆者根據 HPM 三面向的理念，以下圖為流程，完成此份 學習工作單的設計。關於工作單設計的思維分析，將於第三部份討論。
三、學習工作單之設計
根據前文的理念，本份學習工作單共分成三張，以三角形面積公式為主軸，
涵蓋了希臘以及中國的數學，除了希望能讓同學對已知三邊長，求三角形面積的 問題多所研究外，也希望學生能對這兩種文化所呈現的數學有初步的認識。
第一張是海龍的生平介紹，讓同學能對海龍所處時代背景，以及海龍的數學 研究風格有所了解。之後所安排的問題與討論，是為了了解學生對於數學的看法 以及喜歡的數學課上課方式，除了讓教師對所任教的學生多所認識之外，也讓學 生有內省之機會。
第二張學習工作單主要是介紹海龍公式的幾何證明，海龍的證法相當迂迴、
曲折，不到最後關頭，很難想像會得到如此神奇的結果。他的論證非常基本，僅 認識論領域
理論架構
歷史的領域
數學的概念發展 邏輯的領域
學生的數學學習
方法論的領域 學習工作單的設計
認知心理的領域
使用平面幾何上非常簡單的要素，亦即只涵蓋命題的基本元素。但是，海龍顯示 了驚人的幾何美感，將這些基本元素組成豐潤而典雅的證明，而得到數學上登峰 造極而又難以想像的結果（Dunham，1996）。讓學生欣賞海龍的證明方法後，再 練習用餘弦定理證出此公式，如此便可比較兩種證法的異同，對此公式再作一番 統整。
此外，基於很多學生對中國數學家的認識僅止於「商高」，第三張學習工作 單是以中國為背景，介紹南宋大數學家－秦九韶，我們藉此機會讓學生對秦九韶 的生平事蹟有一個概括的了解。接著提及秦九韶的著作，也是宋元數學的代表作 之一－《數書九章》，此算書第五卷－田域類的第二題「三斜求積」，就是已知三 角形三邊之長，求其面積的題目。在此處秦九韶提出了「三斜求積術」，等價於 古希臘著名的海龍公式。以希臘數學對比於中國算學，我們也希望同學能在兩相 對照之下，體會到不同的文化脈絡中，所孕育出不同的數學風貌。在問題與討論 中，筆者試著讓學生藉由原典的導讀，解出三斜求積的答案。再來是請學生由三 斜求積公式導出海龍公式，使學生明白這兩個公式雖然形式不同，但卻含有等價 的意義。有關學習工作單的實際內容，我們安排於最後的附錄中呈現。
四、實施情況分析
本次學習工作單之實施與上學期不同，上學期是直接在課堂中講解，讓學生 們邊聽邊回答問題。本學期由於課本內容較多，進度較趕，所以，筆者在課堂中 只稍加講述，就發下去讓學生利用假日自行完成，之後再加以收回。從收回的問 卷中，筆者根據對海龍公式證明的反應，隨機抽樣了十位同學接受訪談，訪談問 題如下：
1.請問你為什麼喜歡海龍的證明方法？
2.請問你以前聽過那些中國數學家？秦九韶呢？
3.你喜歡老師上課補充這些數學史資料嗎？為什麼？
4.關於工作單的實施，上下學期有不同的方式，我們上學期用講授的方式，這學 期是先提示再發下去自行完成，你覺得那種形式較好？
對於上述的問題，喜歡海龍證明方法的同學所持的理由是：
※比較有邏輯性，而且證得很完整。
※是原始的證法，我們課本是抄捷徑的方法。
※覺得他證得很妙！他走的方法比較特別，課本的證法都會局限於現在學到的東 西去證，有些時候更好的證法就沒辦法學得到。
※即使你不知道任何公式你也可以把它證出來，如果你是用課本上教的證法，
你要先會課本證明才能繼續推下去啊！
※ 海龍證法因為有圖解，所以不會太抽象，講的也都蠻清楚的，所以可能會比 較容易記得。
不喜歡海龍證法的理由大部分都是因為複雜，比較難懂。也有人從實用性質考
量「既然有一種更簡單的方法可以把它證出來的話，雖然原始證法有比較特殊的 意義在，可是我覺得用課本的方法應該就夠用了。」
至於聽過那些中國數學家的問題，只有 3 人回答出「劉徽」、「祖沖之」、「賈 憲」、「楊輝」，其餘同學都是一無所知。讓筆者深覺得應在適當時機多引進中國 數學家的介紹。
有關第三題「補充數學史資料」，大部分同學都持肯定的態度，他們認為：
※因為這樣可以知道那些來源啊！就不會說只是背公式，然後不知道那裡來的。
※如此就知道當初那個公式是為了什麼而做的，我覺得知道原理的話會比較容易 記下來，會比較容易去應用它。
※像這樣的話，可以讓海龍公式比較熟，然後也多學到一些東西，感覺學起來比 較流暢，有連貫的感覺。
※鼓勵自己想要跟數學家一樣。
※不錯啊！因為如果說全部看課本的話就不需要老師來上課了，所以說上點課 外的也是不錯。
※至少可以了解一下它的原由之類的，就是不是光看說它的結果，也可以知道 它的一些過程。
※更了解他的背景。
※因為本身就比較喜歡歷史課，然後補充數學史的資料就是可以認識多一些東 西。
※多知道一些會比較好吧！同一種方式會有不同的解法，你可以知道一些不同的 解法，知道比較多，對自己還蠻有幫助的。
關於工作單的實施情況，由於上下學期有不同的方式，上學期是用講授的，
教師邊講邊讓同學作答，本學期只由教師稍加提示學習工作單內容，便發下去讓 同學自己研究，過些時日再收回。當問及那一種型式比較好，有三位同學認為講 授式的較好，第一位同學所持的理由是「用講的比較好，然後最好是在剛考完試
教師邊講邊讓同學作答，本學期只由教師稍加提示學習工作單內容，便發下去讓 同學自己研究，過些時日再收回。當問及那一種型式比較好，有三位同學認為講 授式的較好，第一位同學所持的理由是「用講的比較好，然後最好是在剛考完試