一、 前言
在一堂數學課中，教師呈現給學生的，往往有專業的理論以及教師的權威。
在這裡，我所指的權威是「老師說，學生聽」的教學模式。如果想要營造活潑的 教學環境，相信教師必須提供學生可熱烈討論的問題，而所提出的問題對於學生 的單元學習若能有所幫助，自然是最佳的學習情境。為嘗試達到此目標，筆者在
『數學期望值』單元教學時，特別挑選歷史上幾位數學家們對於『賭金分配』的 幾種方法，引發學生的探索興趣，希望能經由一連串的討論，讓學生們對於數學 發展具有參與感，並能從數學家錯誤的解決方式中，試著了解自己的學習困難之 癥結所在。
二、教學指引
『賭金分配』曾引發一連串歷史上不同時代數學家的熱烈討論。筆者希望能 將這些重現於教室中，鼓勵學生成為為主動學習者，而教師則擔任觀察者及協調 者。不過，教師的適時介入與引導，卻是很重要的關鍵。筆者所希望達成的教學 過程，以圖略表如下：
至於實施方法，則是由教師提問之後，讓學生討論各種解法之可行性。可想 而知，學生們的看法必定會有不同處，此時的討論就是一種社會化的過程。同時，
透過討論，學生可以檢視自己的想法，讓概念得到更多的澄清。另一方面，在與 歷史上的數學家之經驗連結之後，學生或許可以了解數學並非一蹴可幾，而是一 種循序發展的文化。同時，學生本身會犯的錯誤，也可經由歷史重現的方式找到 盲點，進而獲得改善的機會。
筆者認為，本張工作單的作用，在於鞏固學生對於機率的基本概念，亦即『機 會的均等與否』的討論。不過，或許我們可以先追溯這些相關概念的歷史淵源。
1.歷史回顧
機率論的起源之一為賭博問題。在 15~16 世紀中，義大利數學家帕西歐里 (Luca Pacioli)、塔爾塔利亞 (Niccolo Tartaglia) 和卡爾連奇 (Fillipo Carlandri) 的 著述中，都曾討論過『如果兩個人賭博提前結束，該如何分配賭金?』等機率問
數學史
學生 數學概念 教師介入
題。其中，帕西歐里的著作《大全》(Summa de arithmetica geometria proportioni et proportionalita)，就有如下一題：
兩球隊比賽聲明投進一球得 10 分，先得 60 分者獲勝。但是比賽途中因為有 狀況發生，導致無法賽完，此時一隊得 50 分，而另一隊得 30 分，試問該如 何分配賭金？
以上的情況，當然必須假設兩隊是實力相當的。帕西歐里的解法是根據以得分的 比例作分配，意即 50：30＝5：3。塔爾塔利亞在他的著述 General trattato di numeri et misure 中，批評帕西歐里的解法有誤。他注意到，若是其中有一隊得 0 分，則 他們將無法分得賭金，而這樣的分法是不公平的。
卡爾連奇也一樣在他的著述中，使用了類似成比例的分法。但在其他文件 中，我們發現，他使用了另一種不同的解法，筆者舉例說明如下：若討論與上述 相同問題，有一隊需再得 10 就贏得比賽，而另一隊則需再贏得 30 分就贏得比賽，
因此，分配賭金以其所再需要分數反比分配， 1 1
: 30 :10 3 :1
10 30= = 。就我們現在 的解法去檢驗它，答案當然是錯誤的。
其後的約兩百年間，許多其他數學家也分別給出了許多解法，但是，卻遲遲 無法為機率論揭開神秘的面紗。
2.巴斯卡與費馬的通信
在 1654 年左右，愛好賭博的法國人米爾 (Chevalier de Mere) 向巴斯卡 (Blaise Pascal) 提出了類似的分配賭金問題，引發了巴斯卡與費馬 (Oeuvres de Fermat) 之間探討機率問題的多封通信。在通信中，他們利用組合方法給出了這 類問題的正確答案，從而在機率論中創立了一些基本結果。米爾的問題如下：
兩人比賽各出資 32 金幣，規定必須要贏三局才能贏得賭金，但後來比賽因 故終止，且勝局比為(1,0)，問此時應如何分配賭金？
巴斯卡依序考慮兩人勝局比 (2,1)，(2,0)，(1,0)。首先分析 (2 , 1)，若繼續比賽，
如果第一位贏，則比局 (3 , 1)，他將拿走全部的賭金；如果第二位贏，則比局 (2 , 2)，每個人均分所有金幣，即 32 金幣。因此，第一位至少將得到 32 金幣，而剩 餘均分即 16、16，所以，比賽終止時的分法為 [32＋16,16]，亦即 [48 , 16]。
接下來，分析 (2 , 0)。若繼續比賽，如果第一位贏，則比局 (3 , 0)，他將拿 走全部賭金；如果第二位贏，則比局 (2 , 1)，由上述結果可知，第一位將拿走 48 金幣。因此第一位至少將得到 48 金幣，而剩餘均分即 8、8，所以終止比賽時 的分法為 [48＋8,8]，即 [56 , 8]。
最後，分析 (1 , 0)。若繼續比賽，如果第一位贏，則比局 (2 , 0)，由上述結 果可知，第一位將拿走 56 金幣，第二位將拿走 8 金幣；如果第二位贏，則比局 (1 , 1)，每個人均分所有金幣。因此，第一位至少拿到 32 金幣，第二位至少拿到 8 金幣，剩餘 24 金幣，兩人均分即 12、12，所以，終止比賽時的分法為 [32＋
12,8＋12]，即 [44 , 20]，比例即為 44：20＝11：5。
費馬的解法，是考慮最多還需要幾場比賽才能看出贏家。如果第一位需要再 比 m 場才贏，第二位需要再比 n 場才贏，則最多需再經過 m＋n－1 場比賽即知 結果；例如米爾問題中，兩人勝局比數為(1 , 0)，則第一位需再贏 2 場、第二位 需再贏 3 場即知結果，因此，兩人最多再比 2＋3－1＝4 場比賽，考慮此四場結 果如下（a 代表第一位獲勝，b 代表第二位獲勝）：
aaaa (1) aaab (1) aabb (1) abbb (2) bbbb (2) aaba (1) abba (1) bbba (2)
abaa (1) bbaa (1) bbab (2) baaa (1) baab (1) babb (2) baba (1)
abab (1)
由上述可知，兩位應該分的比例為 11：5，此結果與巴斯卡的答案相同。但 是，法國數學家羅貝瓦爾 (Gilles de Roberval) 卻持不同的看法，他認為有些比 賽不需要列出四場，而只需二、三場則可得結果。
費馬的解法扯出巴斯卡的二項式定理，亦即：若把 a，b 是為兩項，其四次 展開式為(a b+ )4 =a4+4a b3 +6a b2 2+4ab3+ ，其中係數為 1、4、6、4、1，因b4 此，分法為（1+4+6）：（4+1）＝11：5。（很神奇吧！）
荷蘭數學家惠更斯 (Christopher Huygens) 訪問巴黎時，了解到巴斯卡與費 馬的通信研究，對這類問題產生興趣，後來，他撰寫《骰子遊戲》(Dice Game, 1657) 來探討機率問題的原理，其中包含許多習題，被許多人認為是機率史上第一本教 科書。
三、學習工作單之設計
筆者將『賭金分配』問題設計如下：
若有兩人各出資賭金 96 金幣，規定必須要贏三場者才能贏得全部賭金 192 金幣，但比賽中途因故終止，且此時勝局數(甲:乙)為（2:1），問此時應如 何分配賭金？（甲乙兩人實力相當）
賭金的多少，取決於是否能夠被 32 及 3 整除。（原因留待後文說明！）筆者一開 始並不引述歷史上的問題吸引學生，而是稍加改良後再加以提問。有關具體實施 方式，筆者認為有兩種：
1. 提問後，由學生開始討論其解法應為何，教師並適時指導。
2. 提問後，以隱匿作者名字方式舉出各種解法，讓學生判別各解法之可行 性。
筆者決定採用第二種，原因在於本校每班學生在外補習人數約有一半，關於 賭金分配問題以機率求其解的方式，有些學生會『毫無猶豫』（亦即：未經深思）
地提出，而且，我也擔心他們會局限於所學，因此，最後決定採用第二種方式：
一方面讓學生可以欣賞其他解法，另一方面，筆者也有意藉此觀察學生的觀念是
否正確。
筆者分別採用帕西歐里 (A)、卡爾連奇 (B)、費馬 (C)、巴斯卡 (D) 的解法，
並將其匿名引用依序如下：
A：賭金分配應就其勝局比數，即 2:1，依比例分配，甲應分得 2 192 128
× =3 金幣，乙應分得 1
192 64
× =3 金幣。（由於賭金被 3 整除較好討論，因此，筆者將 其賭金設定為被 3 整除之數。）
B：其賭金分配應考慮若不終止比賽，兩人各須贏幾場，按其各須贏得場數 反比分配；即甲已贏 2 場，須再贏一場就可獲賭金，而乙已贏 1 場，須再贏二場 就可獲賭金，因此，甲所需場數：乙所需場數＝1:2，故其反比為 1 1
: 2 :1 1 2= ， 由此可知，甲應分得 2
192 128
× =3 金幣，乙應分得 1 192 64
× =3 金幣。
C：根據至多需要幾場比賽才能看出贏家，如果甲需要再比 m 場才贏；乙需 要再比 n 場才贏，則需再經過 m＋n－1 場才能宣布贏家。以勝局比為（2:1）為 例，接下來的二場比賽可能結果列出如下：
（a 代表甲勝，b 代表乙勝）
aa ab ba bb (甲勝) (甲勝) (甲勝) (乙勝) 所以，兩人應該分的賭金比列為[3：1]，即甲可得 3
192 144
× =4 金幣，乙可得 192 1 48
× =4 金幣。
D：甲贏兩局，乙贏一局，在擲下一次骰子時，若甲贏了，他將得到全部 192 枚金幣；若乙贏了，他們所贏局數比為 2：2，在這種情況之下分賭金，每人 將拿回自己的 96 枚金幣。綜上所述，若甲贏了將得 192 枚金幣，乙將獲得 0 金 幣；若甲輸了則會拿到 96 枚金幣，乙會拿到 96 金幣，因此，甲至少可拿到 96 枚金幣，乙至少可拿到 0 金幣。假如他們不繼續賭下去的話，可將 96 枚金幣先 給甲，至於剩餘的 96 枚金幣，可能甲得，可能乙得，機會是均等的，所以，甲 乙兩人均分剩下的 96 枚金幣，各得 48 枚，亦即：甲乙兩人所得金幣各為[144；
48]。
甲 2 乙 1
甲 3 乙 1
甲 2 乙 2
甲獲得 192 金幣 乙獲得 0 金幣
甲獲得 96 金幣 乙獲得 96 金幣
若今甲贏兩局，乙贏零局，中途停賽而分配賭金，結果應如下：
由上圖知，甲至少獲得 144 金幣，乙至少獲得 0 金幣，而剩下 48 金幣，可能甲 得，可能乙得，機會是均等的，因此，由兩人均分，於是，甲得 144＋24＝168 金幣，乙得 0＋24 金幣。
四、實施情況分析
首先，筆者要求每位學生（在課餘時間）寫下他們自己覺得 A、B、C、D 四人的方法可行性如何，再利用課堂時間引領學生討論，最後，揭開此四人的真 正身分，希望藉以了解此一工作單如何對機率觀念的導正、加強有所幫助。
針對 A、B、C、D 四人的解法，筆者設計問題如下：
問題 1. 請問你認為 A 的分法可不可行？請說明（可舉例）。
問題 2. 請問你認為 B 的分法可不可行？請說明（可舉例）。
問題 3. 請問你認為 C 的分法可不可行？請說明（可舉例）。
問題 4. 請問你認為 D 的分法可不可行？請說明（可舉例）。
問題 5. 利用你所學過的機率，此賭金分配問題應如何解？為什麼？
實施對象有兩班，甲班有 42 人，問卷共回收 35 份；乙班有 43 人，問卷共回收 33 份。針對此 68 份問卷，筆者整理結果如下：
關於問題 1，學生認為不可行的有 68 份，達 100％，其理由分別有：
•應就獲勝機率來分才公平，不可直接比例分配。
•沒考慮到甲和乙勝局有哪些可能，以及往後甲勝或乙勝的可能和場數。有 可能甲會在第四場或第五場才勝，以只有在第五場才勝，之後的機率也要 考慮進去。
•因為有一方先贏三場即停止，所以要分場次討論。
•若今比數 2：0，則甲得 192 金幣，乙得 0 金幣，不合，因不知最後獲勝
•若今比數 2：0，則甲得 192 金幣，乙得 0 金幣，不合，因不知最後獲勝