一、 前言
每逢高一新生入學,當筆者詢問國中數學中他們覺得最困難的部分，有一半 的同學提到因式分解，求方程式之解的問題最讓他們困惑。對此一位同學有如下 的描述「我覺得國中三年的代數課程裡，解一元二次方程式令我頭痛。有時解不 出來，有時候答案莫名其妙…。」解方程問題已是如此困難了，高一課程中在解 方程式裡引進虛數的概念，又加重了學生的負擔。國中時他們被告知負數沒有平 方根，後來他們又被告知事實上它們有平方根。為何規則改變?這是學生的困擾。
承上所述，當學完了課本所介紹的複數單元之後，學生的反應果然只是「沒 啥意義的符號， 但又不能沒有它」、「一個虛幻不實的數，但我們為何要去研 究一個『不存在』的數呢?它有啥實際用途嗎?」、「虛數只能死背 − 1=i，再 由 i 來計算，無法像實數有清楚的概念。」、「我是覺得虛數是根本不存在的，
只因為要方程式有解或公式能完美，就創造這種數來自圓其說，似乎真的是違背 自己的良心。」...。在數學的教學中，我們強調的是有意義的學習，但是從複數 的學習上，似乎很難看到這樣的成效，學生往往不知為何而學，只是學習一些符 號操弄的技巧。「有沒有另外一種方式能夠幫助學生在虛數上的學習?」，「若 讓學生清楚知道虛數思想發展的原由，是否能讓他們對於複數有不同的感受?」
這是所以選取本單元設計教學實驗的想法，希望能去除學生在虛數上的認知障 礙，幫助學習。筆者所採用的是以數學史融入數學教學的進路，下一段我們將詳 細敘述本文之理念架構。
二、 教學指引
本文將由邏輯、認知心理、和歷史三個面向剖析複數單元。從歷史源流看虛 數思想發展的過程，由Cardano (1501~1576)到 Bombelli (1526~1572)解三次方程 式時第一次不得不正視複數，到19 世紀數學上接納這些數，這是一段很長時間 的發展。數學家花了幾世紀才解決的問題，如何在短短的五節課就讓學生明瞭虛 數的概念?讓我們先看看教師手冊(以本校高一所採用之龍騰版為例)上的教學目 標：1.讓學生了解虛數單位 i 的由來，並能解判別式D=b2 −4ac<0時的實係數 二次方程式ax2 +bx+c=0。2.充分了解複數的四則運算，特別是乘法運算(a＋ bi)(c＋di)=(ac－bd)+(bc＋ad)i。3.建立複數平面，並建立這平面上的點與複數之 間的一一對應。但是在之後的參考資料－複數簡史裡，並沒有強調數學家之所以 不能漠視虛數的緣由，連在複數發展史上位居要津的Bombelli 之名也並未出現。
雖然手冊裡提到複數單元在教材上之地位是承續著有理數→實數→數線而來，但 眾所周知，當學生學完上述教材所建立之基模並不足以同化新碰到的虛數概念 (Kleiner，1988)。
至於課本的編排一開始是從一元二次方程式著手，在複數的由來裡，課本提 到「二次方程式ax2 +bx+c=0在D=b2 −4ac<0時沒有實數解，若要求這方程 式非得要有根不可時，那麼到底要引進什麼樣的新數呢?... 仔細考量，只要引進 -1 的平方根就可以了。」事實上由歷史的發展，我們知道若不是由於三次方程 x3=15x+4 的求解問題，數學家在遇到判別式為负之解時，仍可採行屏除、不予 理會之態度（Kleiner，1988）。我們可以見到今日教科書並不在意歷史的分析，
只是簡單規約出把 i 定義為 −1，這對引起學生的學習動機似乎並沒有多大的幫 助。在如此的教材安排下，數學仍然會被視為是冰冷的、充滿一堆不易理解的定 義、定理，這個學門的發展也無可避免地會被認為是由一些精英所主導，採用直 線進行的方式。誠如 Skemp 在其《數學學習心理學》一書所言，「今天的學習 者處理的，遠非古代發展之初的原始資料，而是一般教科書中經整理、編排的資 料處理系統。一方面這樣做有絕大的好處，因為聰明的學生能夠在一年之中學完 前人幾個世紀才發展出來的東西；但另一方面也把學生暴露在危機之中。因為這 麼一來數學並不完全能由日常生活環境中直接學到，只能由教數學的老師處間接 學到。」（Skemp，1987）。身為教師的我們可以努力讓學生明瞭，數學並不是 靜止的、與生活無關的學門，而是動態的、在發展進程中除了成功也充滿了失敗
（Kleiner，1988），就如同每一個學生的學習過程一般。
從希臘時代以降，究竟數學是如柏拉圖所認為，「數學觀念是哲學觀念的基 礎，也是認識「理型世界」的必備條件」。還是如亞里斯多德認為，「數學仍然 必須附著在物質裡面，數學知識是「物質世界」通往「理型世界」的橋樑，在理 型與物質之間居於中介的地位」（蘇意雯，1999），就是一個見仁見智的問題。
至於今日數學文化的觀點，則強調數學是人類的活動，我們可以視數學為在人類 思想和專業領域中，一個不總是持續朝向完美的航程，也提醒我們注意數學的發 展脈絡，以及了解在不同的社會中所發展的數學理念（Grugnetti, Lucia & Rogers, Leo，2000）。
至於Radford 的社會文化觀點，則認為知識並不是限制於只為了在解決問題 的行動中產生。由社會歷史的進路和文化的傳統，知識被構想為以文化為媒介的 認知的實踐，是從人們參與的行動中產生。在社會文化觀點，教室被視為一般文 化空間的縮影，學生對於數學的了解是被視為師生之間使用心智去了解文化上的 意義與概念的一種過程。因此數學史就是一個相當非凡的途徑，可從中重新建構 和解釋過去，為學生提供嶄新的活動設計。各文化間知識的來源（意即活動與工 具）以及它們的意義和概念，是歷史地和泛文化地構成。我們大部份現行的概念 都是由前代的數學家們在他們所在的獨特脈絡中，竭盡心力所發展的過去概念所 變化、適應、或轉換而來，這就可以得到例證。
基於上述的理念，筆者設計了複數學習工作單六張，主要是為了能讓學生了 解虛數發展的起源，進而接受複數，樂於學習。工作單之後再依照課本內容之編 排，為同學再一次做統整、複習。整個教學實驗的原始想法可以下列流程表示：
根據學生的數學學習，數學教科書編排，數學的歷史發展，以及支持一個歷史本 位的課堂活動設計的方法論 來源：參考修改 Radford，2000
三、 學習工作單之設計
認知理論者強調概念學習的歷程中，個體乃是主動參與者，個體根據情境中 顯示的線索，提出自己的假設，然後經過考驗、修正、證明等步驟，最後終於獲 得概念。本單元教學策略是採用學習工作單設計，以模組（module）方式編排，
所以每張工作單本身便具有完整的意義，同時整份也有一個統一的主旨－了解複 數及複數平面。學習工作單的設計考量在於促進學習者的主動參與，加強教材的 吸引力及組織性（李詠吟，1998）。至於學習單設計的特質和功能，筆者對照任 教環境，並參考Beavis 和 Weatherley（引自：李詠吟，1998）的看法，設計本份 教材使具有如下的特質與功能：
1.單元的內容和形式能配合科目目標。
2.單元教材的內容和所用的文字能配合學習者的程度。
3.運用歷史的舖排，讓學習者明瞭虛數發展的演進歷程。
4.讓學習者和教師之間能夠互動。
5.盡量使學習者參與記錄以增進學習動機。
6.單元工作單中所包含的問題能鼓勵學習者運用史料有條理的組織答案或進行 高層次的推論。
7.提供多樣的、個別的和團體的活動，如思考、發表、閱讀、書寫。
8.介紹複數單元在日常生活的應用，讓學習者更進一步體認數學與人類生活息息 相關。
認識論領域
理論架構
歷史的領域
數學的概念發展 邏輯的領域
學生的數學學習
方法論的領域 學習工作單的設計
認知心理的領域
由於在本單元中，高一學生首次接觸複數，因此偏重於概念性的介紹。筆者 在設計學習工作單時，主要分成六個主題：（1）首先提供數學家們對於虛數的 看法，利用歷史的回顧，讓學生明瞭對虛數的認知障礙，自古皆然。(2)介紹虛 數的由來，使學生了解虛數的起源是來自於解三次方程式，並熟悉複數的四則運 算。（3）提供文本，讓學生藉由文本的說明，實際操作：若 i=0,則 i×i=0,因此－
1=0 為一矛盾的結果，同理若 i＞0,則 i×i＞0×i,因此－1＞0 亦為一矛盾之結果，
最後，若i＜0,則 i×i＞0×i,因此－1＞0，又是一矛盾之結果，使能確實掌握虛數 不能比較大小的概念。（4）讓學生認識虛數的引進，可簡化計算，體會虛數的 威力，並練習求出 i 的平方根。（5）由複數的幾何表示，引進複數平面，讓同 學明白複數在幾何上的表徵，並能了解複數與實數的區別。（6）列舉複數在日 常生活上的應用，使學生認知 i 的發展，對人類確實有所幫助，消弭學生「虛數 是虛幻而不切實際」的迷思。至於內容的設計，在於使學生有完整的概念、思考 和解決相關問題的能力，重視脈絡化、情境化，使學生能夠有意義的學習。有關 教學的現況和評量，筆者將在下一節中闡述，至於各張工作單的詳細內容，則如 附錄所示。
四、 實施情況分析
本次教學實驗所用節數為兩堂，筆者以工作單為主，並以電腦 PowerPoint 簡報系統作為輔助。當兩節課介紹完工作單之後，再利用課本上的內容，幫同學 統整複習。於121 份回收心得中，大部分的同學們經過課堂上的介紹，對於複數 的產生，竟然對日常生活也有很大的幫助，感到驚訝。也有同學覺得 i 不再那麼 神秘，原來不太能想像的數，經過各種計算，加上複數平面的引進，讓學生較能 接受 i 的存在。另外同學們還體認到數學的發展，必須經過幾代數學家的共同努
本次教學實驗所用節數為兩堂，筆者以工作單為主，並以電腦 PowerPoint 簡報系統作為輔助。當兩節課介紹完工作單之後，再利用課本上的內容，幫同學 統整複習。於121 份回收心得中，大部分的同學們經過課堂上的介紹，對於複數 的產生，竟然對日常生活也有很大的幫助，感到驚訝。也有同學覺得 i 不再那麼 神秘，原來不太能想像的數，經過各種計算，加上複數平面的引進，讓學生較能 接受 i 的存在。另外同學們還體認到數學的發展，必須經過幾代數學家的共同努