本研究旨在探討九年一貫課程實施後，對於學生在高中學習三角函數所造成的影 響。九年一貫數學課程將「三角函數的基本概念」單元從國中教科書中刪除，相 關課題內容也有所更動，未來的學生到了高中，三角函數對他們而言，會是一個 前所未見的新課題。在如此差異甚鉅的先備知識條件下，學生是否具有足夠的能 力以承受目前訂定的高中三角函數課程？這即是此章所欲分析的主題。4.1 節說 明國、高中課程中的三角函數相關課題的內容是否具有足夠的銜接性，4.2 節說 明高中三角函數單元的課程內容，並分析各個學習段落所需要的先備知識。
為了因應時代的潮流以及社會的變遷，教育部於民國 87 年開始著手推動九 年一貫課程，91 學年度先行實施《國民中小學九年一貫課程暫行綱要》，爾後經 參考各方意見，適度調整暫行綱要的修訂方向，於 94 學年度正式實施《國民中 小學九年一貫課程綱要》。而為使課程有所連貫，教育部考量目前之可行性，以 漸進方式進行高中課程綱要的修訂，結合現行高中課程標準及 92 年新修訂課程 綱要草案，修訂成《95 學年度高中數學課程暫行綱要》，預定於 95 至 97 學年度 實施。未來 98 年普通高級中學課程正式綱要，亦將以暫行綱要為基礎，持續朝 理想修訂。
此外，由於高中課程在因應編修的時程上有所不及，94 學年度高一學生仍 沿用 85 年版高中數學課程標準，教育部唯恐國中與高中教科書內容上的落差造 成學習上的困難，因此著手進行「九年一貫暫行綱要銜接高級中學課程數學學習 領域銜接教學素材製作計畫」，經由國、高中銜接教材內容比對研究，制定《九 年一貫暫行綱要銜接高級中學課程數學學習領域銜接教材》，要求各高中於 94 學年度每週加一節數學課來配合進行，並鼓勵學校於開學前的假期提早辦理國、
高中教材的銜接學習，彌補課程不足之處。
27
本章就現行國、高中課程中的三角函數相關課題，分析其是否有足夠的銜接 性與連貫性。欲具體瞭解國、高中階段的三角函數相關課程，本研究參考相關文 獻（張琇涵，2006），從教材來作觀察與分析，並援引文獻中資料，考量教科書 在同一個版本下較有一致性，選定以同時出版國中、高中階段數學課本的「南一」
版教材為範本進行分析研究。
4.1 國、高中課程之三角函數相關課題
《95 學年度高中數學課程暫行綱要》將三角函數單元安排在高中第二冊教材中 的第 2 章及第 3 章，學生在正式學習三角函數之前的國、高中課程中，所接觸的 相關課題內容皆經過大幅變動。本研究從實體教材分析新課程，將國中第一冊至 第五冊（國中第六冊無三角函數相關課題內容）以及高中第一冊中的三角函數相 關課題內容列示如表 4-1。而其中由於本研究在撰寫上的時程仍為課程漸進式改 革之過渡期，製表以「現行最新」為原則，國中第一冊至第四冊採用根據《國民 中小學九年一貫課程綱要》編輯的教科書，國中第五冊採用根據《國民中小學九 年一貫課程暫行綱要》編輯的教科書，並於表內國中第一冊至第四冊的欄位中以
「*」註記各個課題內容與暫行綱要的差異。
表 4-1 95 年南一版國、高中數學教科書三角函數相關課題內容 冊
別 三 角 函 數 相 關 課 題 內 容
國 中 第 一 冊
分數的四則運算（2 - 4 pp.149--152）*暫行綱要無負數及四則混合運算例題*
在分數的算式中，如果同時有加、減、乘、除的運算，應由左向 右依序計算且依循整數的運算規則。分數的運算也滿足乘法對加 法的分配律。
例題：
4 1 2 1 3
12 ×
−
÷ 。
28
解：
4 1 2 1 3
12 ×
−
÷ =
( )
4 2 1 3
5 × − ×
=
4 1 10 ×3
−
= 5
− 6
解一元一次方程式（3 – 3 pp.182--188）*暫行綱要第三冊內容*
當一個方程式中的未知數用某個數代入，能使這個方程式中左右 兩邊的值相等，那麼這個數稱為方程式的解或根。求出方程式的
「解」的過程稱為解方程式。一個 x 的方程式如果可以化簡成 ax + b = 0（a≠0）的形式，就稱為 x 的一元一次方程式。
利用等量公理解一元一次方程式：
例題：
2 3
x
= 1解： 3 2 3 1 3
x
÷ = ÷6
= 1
x
國 中 第 二 冊
解二元一次聯立方程式（1 – 2 pp.21--26）*暫行綱要第三冊內容*
例題（代入消去法）：
x + 2y = 20…………○1
x = 3y………○2
解：先將○1 式中的 x 以○2 式中的 3y 代入 得 y = 4………○3
再將○3 式代入○2 式，得 x = 3 × 4 = 12。
29
例題（加減消去法）：
x + 7y = 15…………○1
x +y = 3………○2
解：原聯立方程式的○1 式與○2 式，等號的左邊都有 x，所以由
（x + 7y）−（x + y）= 15−3 = 12 得 y = 2…………○3
再將○3 式代入○2 式，得 x + 2 = 3，x = 1。
直角坐標平面（2 – 1 pp.40--51）*暫行綱要第三冊內容*
在平面上先選定一基準點 O（稱之為原點），再選定兩條相交於 O 點且互相垂直，單位長相同的數線，橫的數線稱為 x 軸，箭頭方 向（向右）表示正方向，縱的數線稱為 y 軸，箭頭方向（向上）
表示正方向。我們稱這樣的平面為直角坐標平面，簡稱坐標平面。
如果有序數對（a, b）所代表的是坐標平面上 P 點的位置，我們就 稱 P 點的坐標為（a, b），記作 P（a, b）。其中，第一個數 a 叫做 P 點的 x 坐標，第二個數 b 叫做 P 點的 y 坐標。
坐標平面上的 x 軸與 y 軸將坐標平面分成四個區域，我們把四個 區域依逆時針旋轉的方向，依序稱之為第一象限、第二象限、第 三象限、第四象限（x 軸與 y 軸上的點不屬於任何一個象限）。
二元一次方程式的圖形（2 –2 pp.56--73）*暫行綱要第三冊內容*
方程式 ax + by = 0（a ≠ 0 且 b ≠ 0）的圖形是一條通過原點的直 線。當 a ≠ 0，b ≠0，c ≠ 0 時，方程式 ax + by + c = 0 的圖形是 一條直線。
方程式 by + c = 0（b ≠ 0）的圖形是一條直線，它通過（0, b
− c ）
且與 y 軸垂直。
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方程式 ax + c = 0（a ≠ 0）的圖形是一條直線，它通過（
a
− c , 0）
且與 x 軸垂直。
當二元一次聯立方程式恰有一解時，這個解所代表的點就是此聯 立方程式各式直線圖形的交點。
二元一次聯立方程式有無限多組解時，表示兩條直線重合。
當二元一次聯立方程式無解時，表示兩條直線平行。
比例式（3 – 1 pp.78--83）*暫行綱要第五冊內容*
a 與 b（b≠0）兩個數的比記作 a：b，讀作 a 比 b，其中 a 稱為這 個比的前項、b 稱為這個比的後項；它的比值為
b
a ，表示前項是
後項的 b a 倍。
a：b 與 c：d 兩個比相等的意思，就是他們的比值 b a 與
d
c 相等，
記為 a：b = c：d。
函數與函數值（4 – 1 pp.123--125）*暫行綱要無此內容*
給定自變數 x 的一個值時，都恰好能找到一個應變數 y 的值與它 相對應，這種 x 與 y 的對應關係就稱為函數（function），或稱 y 是 x 的函數，記作 y = f (x)（f(x)讀作 f of x）。
當 y = f (x)是 x 的函數，給定 x 的一個值 a，就可以得到一個與之 對應的 y 值時，我們就稱這個與 a 對應的 y 值為函數 y = f (x)在 x
= a 時的函數值，以 f (a)表示。
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函數的圖形（4 – 2 pp.131--134）*暫行綱要無此內容*
將自變數看成橫坐標，對應的 y 值看成縱坐標，我們就可在此坐 標平面上描出有序數對（x, y）所對應的點，所有合於 y = f (x)關 係的點（x, y）所成的圖形，就稱為函數 y = f(x)的圖形。
在函數 f (x) = ax + b 中，當 a ≠ 0 時，f(x)稱為一次函數；當 a = 0 時，f(x)稱為常數函數。這兩個函數的圖形都是一條直線，所以我 們稱函數 f (x)= ax+b 為線性函數。
國 中 第 三 冊
乘法公式（1 – 1 pp.6--13）*暫行綱要第四冊內容*
對於任意數 a、b、c、d，（a + b）（c + d）= ac + bc + ad + bd (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 （a + b）（a - b）= a2 - b2
平方根的四則運算（2 -1 pp.67--68）*暫行綱要無此內容（僅有平方根意義）*
例題：
5 3 3
5 −
解：
5 3 3
5 −
=5 3 3
5 −
=
5 5
5 3 3
3 3 5
×
− ×
×
×
=
5 15 3
15 −
= 15
5 1 3
1
− = 15
15 2
32
利用分子、分母同乘以一數，其值不變的運算性質，使分母不再 帶有根號的化簡過程，稱為有理化分母。
勾股定理（2 – 3 pp.75--79）*暫行綱要第四冊內容* (之前僅在小四介紹直角)
「任意一個直角三角形，其兩股長的平方和等於斜邊長的平方。」
在西方稱為畢氏定理。而在中國，這個定理一般稱為勾股定理。
距離公式（2 – 3 pp.85--87）*暫行綱要無此內容*
給定坐標平面上任意兩點 A(x1, y1)、B(x2, y2)，則 A、B 間的距離
( x
2x
1) (
2y
2y
1)
2AB = − + −
。國 中 第 四 冊
點、直線與角（2 – 1 pp.32--35）*暫行綱要第二冊內容 (無互餘內容)*
在幾何中，用點表示位置，但不考慮它的大小。
在平面上，通過點可以畫出很多線，但只有一條是直線，也就是 說兩點決定一直線。兩點間的距離以直線距離最短。
以 A 點為起點的兩個射線 AB 和 AC 形成了一個角，我們把這個角 記為
∠ BAC
或∠ CAB
，簡記為∠ ，點 A 稱為 AA ∠ 的頂點，射線 AB 和 AC 稱為∠ 的邊。 A如果∠ =A
90 °
，我們就說∠ 是直角；如果 AA ∠ <90 °
，我們就說∠ 是銳角；如果 AA ∠ >
90 °
，我們就說∠ 是鈍角；如果一個角A 的兩邊在同一直線上，且不重疊，我們稱這個角是平角，平角是°
180
的角。如果兩個角的和是一個直角，則稱這兩個角互餘，其中一個角稱 為另一個角的餘角；如果兩個角的和是一個平角，則稱這兩個角 互補，其中一個角稱為另一個角的補角。
33
三角形（2 – 1 pp.35--36）*暫行綱要第二冊內容* (勾股定理先於三角形分類)
若依三角形的內角角度來分類，可以分為：
銳角三角形（三個內角都小於 90 度）
直角三角形（有一個內角是 90 度）
鈍角三角形（有一個內角大於 90 度）
弧長與扇形面積（2 – 1 pp.41--43）*暫行綱要第二冊 (無扇形面積內容)*
在一個圓中，以圓心為頂點，兩半徑為邊所組成的角稱為圓心角。
在一個半徑為 r 的圓中，如果有一個圓心角為x ，那麼它所對應° 的弧長及其所夾的扇形面積分別為：
(1) 弧長 = 圓周長
360
× x = 2πr
360
× x 。
(2) 扇形面積 = 圓面積
360
× x = πr2
360
× x 。
三角形的邊角關係（3 – 3 pp.122--130）*暫行綱要第二冊內容*
三角形中大邊對大角，大角對大邊。
平行線的性質（4 – 1 pp.136--144）*暫行綱要第五冊內容*
兩條平行線被一直線所截，則同位角相等，內錯角相等，同側內 角互補。
國 中 第 五 冊
相似三角形（2 – 2 pp.65--74）
SAS 相似性質：如果兩個三角形的一角相等，而且夾此角的兩邊 對應成比例，則這兩個三角形相似。
AAA 相似性質：如果兩個三角形的三個內角對應相等，那麼這兩 個三角形相似。
SSS 相似性質：如果兩個三角形的三邊長對應成比例，則這兩個三 角形相似。
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三角形的外接圓（3 – 2 pp.98--100）
通過△ABC 的三個頂點 A、B 與 C 的圓 O，叫做這個△ABC 的外 接圓，O 點叫做△ABC 的外心，這個△ABC 叫做圓 O 的一個內接 三角形。
直角三角形的外心即斜邊的中點，它到三個頂點的距離相等。
直角三角形中，若有一個內角為
30 °
，則此角所對應的股，長度是 斜邊長度的一半。推理（4 – 1 pp.116--125）
作為推理依據的「已知事項」叫做推理的「前提」，推出的「新的 結果」叫做推理的「結論」。推理的每一個步驟都必須「言而有據」， 這些根據就是「已知事項」。常見的「基本推理模式」如下：
（模式一）(1) 矩形的對角線等長。
(2) 正方形是矩形。
所以，正方形的對角線等長。
（模式二）(1) 矩形的對角線等長。
(2) 有一四邊形的對角線不相等。
所以，此四邊形不是矩形。
幾何證明（4 –2 pp.128--135）
所謂「證明」就是依據公理、定理、定義、題設條件……等「已 知事項」去論證某一事項的正確性。幾何證明的對象是有關幾何 的敘述。
例題：
如果有兩個角是對頂角，那麼這兩個角相等。
解：推理如下
在右圖中，∠1 與∠2 是對頂角，