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第 5 章 高中生學習三角函數之現況分析

5.2.2 教材

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研究者發現,受訪的高中教師皆因應這一屆學生在三角函數單元課程進度的 落後,而討論決定縮減該學期第二次段考的範圍,部分學校更因為最後無法教 完,將課程順延至暑假的輔導課再繼續。而在學期終了以前結束三角函數單元的 教師也表示,課程到最後相當匆促,只能勉強地將課本上的教完,完全沒有辦法 講解任何補充的教材。

受訪教師以其過去的教學經驗,分析學生應有的學習歷程,他們表示:三角 函數單元需要花時間去熟悉其符號以及運算,練習的份量必須要達到一定程度,

否則的話學生無法消化三角函數單元大量的內容,且必須經過學習、練習、錯誤、

改正,然後再練習、再錯誤、再改正,這些都需要教師在課堂上做適當地引導。

然而在實務上常為了配合進度,不斷地加新的內容進來,教材的精讀以及習題的 演練只能讓學生在課後自行安排時間,學生沒有跟上的話,便很難在後面的章節 運用,因此愈到後面,學生落後、甚至放棄的情形就愈多。

以平均 90 堂課的學習情形況且如此,而《95 學年度高中數學課程暫行綱要》

中的三角函數單元課程時數將縮短為 60 堂課,雖然刪除部分內容,但教師一致 認為不足,對未來的學生感到憂心。

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因應實際所需,提出修改高中教材的相關措施,並針對 94 學年度高一新生規劃 銜接教材。但是在學生身上由於國中教材所產生的程度上的落差,似乎並不是找 個學習的空檔期,將遺漏的內容填進去就足以彌補。

九年一貫課程在教材上呈現出截然不同的面貌,題材中除了完全刪除「三角 函數的基本概念」單元之外,三角函數相關課題的內容也都有不同程度的變動,

這些變動對於學生在銜接高中課程上造成了什麼樣的影響?以下歸納受訪教師 觀察學生在三角函數單元的學習歷程中,由於九年一貫後國中教材的變化所產生 的重大差異。

(1) 推理能力薄弱,無法獨立作出正確證明過程

九年一貫課程在國中階段,對於幾何推理的內容,僅強調學習「簡單」步驟 的推理,教材中的習題多以「填充式證明」為主,加上基本學力測驗題型只 有選擇題造成國中教學策略的改變,因此學生在國中時期幾乎沒有獨立做證 明題的練習,以致對證明過程非常陌生,教師在課堂上講解三角函數的相關 定理或是公式的推導時,發現許多學生無法將證明的過程一脈相連地去思 考。而在考試時只要遇到證明題,約有一半的學生會直接放棄作答,有作答 的學生大部分也無法掌握書寫證明題該有的規則與細節。

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研究者詢問教師認為 94 學年度高一學生在學習三角函數單元上,所發生的 特殊困難為何?教師答覆如下:

T08:我覺得尤其他們證明的能力,幾乎是非常非常地弱,比以前差很多,

幾乎不太會寫證明,因為我們有一些就是數學上必須要用的,就是推 理的模式,他們寫的根本就不行,他們在國中的時候沒有經過這個訓

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練……像前幾屆,我只要把證明簡單地帶他們整個看過去就行的,但 是這一屆的不行,我必須一題一題講,然後把學生一個一個叫過來問,

跟他們說這種証法是不行的。這很嚴重,像我們證明的東西,比如說 A=>B 這個式子,他們就都會直接寫 A=B 這樣,他們的心裡就會覺得就 是可以這樣寫,而且這個已經講過很多次了,他們還是會,那個邏輯 概念都不行。

T14:他們對證明非常地陌生,因為他們國中的時候沒有講那種證明……比 如像前一屆的,你只要跟他說這是怎麼來的,他就算是以後忘記,他 還是可以自己慢慢導,慢慢去湊,可是這一屆即使是程度比較好的,

他還是湊不出來,然後你會發現他湊不出來不是因為他沒唸,是因為 他沒有辦法去聯想到,可以說是對這個比較沒有感覺……他們比較不 會自己去推公式,就是當他忘記的時候,而且是對成績好的學生來講,

他上課的時候也許聽得懂,可是他沒有辦法自己去推,還是用硬記的。

T15:以前的國中有幾何證明題,現在沒有,所以他們好像都不會思考,不 知道要思考什麼,我覺得沒有教證明題差很多,腦袋有沒有訓練差很 多。這樣數學跟其他科目沒差別,就是背起來,然後現在又不用什麼 計算,數字很簡單,所以他們到高中會覺得數學一下子變得好複雜。

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(2) 無法判讀應用問題題意

九年一貫課程實施後,國中教材整個作了一次大幅度的改變,其中一個較為 明顯的差異,就是許多版本的教科書內容大量使用圖片,學生由豐富生動的 光鮮圖文,加深對課內知識的認知,然而也造成學生對於教材所提供的圖像 產生依賴,以致於閱讀文字的能力降低。在高中遇到僅有文字敘述的應用問 題時,無法自行構思出題意所指的圖形,更難以下筆繪製、解題。其中又以

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空間問題最為嚴重。

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研究者詢問教師認為學生在三角函數中的哪些部份較有困難,教師答覆如 下:

T04:只要遇到應用問題都很害怕,就是看到中文,他沒有辦法把它轉變成 數學的式子……測量最大的問題就是他們不會畫圖,他圖畫不出來,

那當你圖畫不出來的時候,你三角函數、邊跟邊之間的關係就不對了!

T06:測量方面的問題就是,他們立體的概念很缺乏,在平面的時候他們還 可以,但是如果遇到應用問題,他們就會連圖形都畫不出來……連畫 都沒有畫,這一部分我就不曉得是國文程度不好,還是不會畫圖,我 覺得應該都有啦!所以導致他們無法解題。

T08:應用問題的話,以前的學生問的問題比較少,這屆的學生連題目都不 見得看得懂……像應用問題有時候會講到走幾步路,然後測量高度,

那以前的學生真的就很容易自己做圖,現在的學生不會。

T09:看著題目的敘述,他畫不出那個圖來...一般的數學語句,簡單一 點的,比較明確一點的,他們都畫不出圖,最主要是沒有那個習慣,

而且國文程度又很差,還有這邊還有一些測量的問題是空間問題,但 是他們在一張紙上面要想像出空間問題來不太容易。

T10:學生遇到立體測量的問題,大多無法自行繪出正確圖形,也無法將立 體圖形轉成平面圖形。

T12:應用對他們也有一點難,他們不會畫圖,他們很難把中文轉成數學,

就是比方說題目講我現在人在燈塔的右邊,然後看什麼地方等等的,

然後他就不知道怎麼去畫那個圖形,我不知道是他們的空間概念差,

還是他們解讀的那個語意上不太能瞭解,然後要我畫在黑板上,他們 才知道原來是這樣子畫,然後真的拿一個題目給他們看,他們其實也 很難下筆,不知道要去畫哪邊。

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(3) 缺乏函數圖形概念

國中課程將函數的概念去掉,僅教導學生將方程式的數對對應繪製到直角坐 標系的平面上,而同樣由於基本學力測驗題型只有選擇題造成國中教學策略 的改變,因此學生練習的機會減少許多,以致對於在坐標平面上作圖的概念 相當模糊,甚至對於數對中的數字該對應 x 軸或是 y 軸都不清楚。受訪教師 表示,許多學生在高中第一冊的一次函數、二次函數圖形已較過去的學生表 現為差,三角函數圖形的繪製對他們而言更是困難。

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研究者詢問教師認為 94 學年度高一學生在三角函數單元中的哪些章節較 難進入狀況,教師答覆如下:

T02:你就花時間帶著他們描點,這些他們都還可以接受,只是給他們題目 要他們自己去畫,他們就都不是畫得很好,那圖形的應用、移動,有 些學生就是沒有辦法接受。

T07:我覺得圖形不只是在三角函數有問題,連坐標系的建構的時候,他們 連一次函數、二次函數,他們對函數的圖形感覺都很差,我覺得高一 的時候,函數的圖形要畫在坐標平面上這種轉換,我覺得他們在國中 的時候訓練度比較欠缺,國中的時候是把函數的概念去掉,那現在他 們一次函數、二次函數都不一定會畫,那三角函數更是困難……他們 現在函數圖形的概念就很差,我發現他們在國中之前,他們幾乎都沒 有建構。

T09:他們都畫不出圖,最主要是沒有那個習慣……而且那個反三角函數,

只是一個符號而已,但是對他們來講,因為他們國中都沒講過函數,

所以這些都要靠我們來講,我們講起來簡單,可是對他們來講都不是 那麼容易。

T11:以前的國中也是有教函數,然後他們這一屆函數到我們高中才教,所

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以這一屆的確對函數比較弱一點,那因為他函數方面比較弱一點,那 三角函數還一直教下來的話,那他們的觀念就比較沒有像以前那麼強。

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以高中教師的觀點,九年一貫課程的教材中,少了嚴謹的推理證明,多了繽 紛的情境圖像,刪除基本的函數概念,加上升學考試制度影響教學策略,學生學 習數學的歷程似乎因此演變成較為以認知、記憶為主的模式。這樣的方式或許可 以讓部份的內容形成定型的內化知識,也能在國中課程內容相關的測驗上得到良 好的成績,但無法從這樣的表現中判斷學生是否經過思考而真正理解。受訪教師 表示,在高中課程進行中,學生常有思考停頓的情況發生,或是甚至不知道要思 考什麼,然而由於教學進度的壓力,課程必須要繼續往下發展,但是即使在課後 安排讓學生發問的時間,學生也無法思考出問題到底在哪裡。