第四章 研究結果與討論
第一節 不同能力值學童的幾何概念 ISM 結構圖比較
第一節 不同能力值學童的幾何概念 ISM 結構圖比較
本研究根據全體受試學童能力值的平均數 (θ =0) 上下一個標準差 (Sθ =.903829)為分界，將受試學童區分為高、中、低三組不同能力組，如 表 4-1 所示。再從各組中選取兩名受試學童，即 A1、A2、B1、B2、C1、C2
六名學童，另選取一位全部答對之學童，將之設定為專家，七名學童的能 力值及作答情形如表 4-2 所示。
表 4-1 學生能力值分組表
能力值最小值 能力值最大值 能力值平均數 全體學童 (N=504) -2.06 2.41 0.00 低能力組 (N=96) -2.07 -0.91 -1.21 中能力組 (N=319) -0.90 0.88 -0.02 高能力組 (N=89) 0.92 2.41 1.39
表 4-2 不同能力值學童之能力值及作答情形
組別
受試學
童代號 能力值
答對
題數 答題組型
專家 E θ =2.41 20 11111111111111111111 A1 θ =1.89 17 10111111110111111110 高能力組
A2 θ =1.18 16 11111111110111011100 B1 θ =.56 13 11111011110101101000 中能力組
B2 θ =-0.49 10 10101110001111010000
C1 θ =-0.94 7 11110100010100000000
低能力組
C2 θ =-1.51 4 10100001010000000000
將七名學童能力值、試題鑑別度參數、難度參數和試題的概念屬性矩 陣，經 SAS/IML 運算可得其概念間指向的模糊關係矩陣及七名學童在各概 念的精熟度，再將個別學童的模糊關係矩陣輸入 AISM，以 α=.59 進行截 矩陣分析，可得個別學童的幾何概念模糊關係截矩陣和幾何概念 ISM 結構 圖，如表 4-3 及圖 4-1 至圖 4-7 所示。
表 4-3 專家及不同能力值學童之幾何概念屬性截矩陣
K1 K2 K3 K4 K5 K6 K7 K8 K9
K1 0 0 0 0 1 0 0 1 0
K2 0 0 0 0 0 0 0 1 0
K3 0 0 0 0 0 0 0 1 0
K4 1 1 1 0 1 1 1 1 1
K5 0 0 0 0 0 0 0 0 0
K6 0 0 0 0 0 0 0 0 0
K7 0 0 0 0 0 0 0 0 0
K8 0 0 0 0 0 0 0 0 0
專 家
K9 0 0 0 0 1 0 0 1 0
K1 K2 K3 K4 K5 K6 K7 K8 K9
K1 0 0 0 0 1 0 0 1 0
K2 0 0 0 0 1 0 0 1 0
K3 0 0 0 0 0 0 0 0 0
K4 1 1 1 0 1 1 1 1 1
K5 0 0 0 0 0 0 0 0 0
K6 0 0 0 0 0 0 0 0 0
K7 0 0 0 0 0 0 0 0 0
K8 0 0 0 0 0 0 0 0 0
高 能 力 組 A1
生
K9 0 0 0 0 1 0 0 1 0
表 4-3 專家及不同能力值學童之幾何概念屬性截矩陣(續) K1 K2 K3 K4 K5 K6 K7 K8 K9
K1 0 0 0 0 1 0 0 1 0
K2 0 0 0 0 1 0 0 1 0
K3 0 0 0 0 0 0 0 0 0
K4 1 1 1 0 1 1 1 1 1
K5 0 0 0 0 0 0 0 0 0
K6 0 0 0 0 0 0 0 0 0
K7 0 0 0 0 0 0 0 0 0
K8 0 0 0 0 0 0 0 0 0
高 能 力 組 A2
生
K9 0 0 0 0 0 0 0 1 0
K1 K2 K3 K4 K5 K6 K7 K8 K9
K1 0 0 0 0 0 0 0 1 0
K2 0 0 0 0 1 0 0 1 0
K3 0 0 0 0 0 0 0 0 0
K4 1 1 1 0 1 1 1 1 1
K5 0 0 0 0 0 0 0 0 0
K6 0 0 0 0 0 0 0 0 0
K7 0 0 0 0 0 0 0 0 0
K8 0 0 0 0 0 0 0 0 0
中 能 力 組 B1
生
K9 0 0 0 0 0 0 0 0 0
表 4-3 專家及不同能力值學童之幾何概念屬性截矩陣(續) K1 K2 K3 K4 K5 K6 K7 K8 K9
K1 0 0 0 0 0 1 1 0 0
K2 0 0 0 0 1 1 1 1 1
K3 0 0 0 0 0 0 0 0 0
K4 1 1 1 0 1 1 1 1 1
K5 0 0 0 0 0 0 0 0 0
K6 0 0 0 0 0 0 0 0 0
K7 0 0 0 0 0 0 0 0 0
K8 0 0 0 0 0 0 0 0 0
中 能 力 組 B2
生
K9 0 0 0 0 0 0 0 0 0
K1 K2 K3 K4 K5 K6 K7 K8 K9
K1 0 0 0 0 0 1 1 0 1
K2 0 0 0 0 1 1 1 1 1
K3 0 0 0 0 0 0 0 0 0
K4 1 0 1 0 1 1 1 1 1
K5 0 0 0 0 0 0 0 0 0
K6 0 0 0 0 0 0 0 0 0
K7 0 0 0 0 0 0 0 0 0
K8 0 0 0 0 0 0 0 0 0
低 能 力 組 C1
生
K9 0 0 0 0 0 0 0 0 0
表 4-3 專家及不同能力值學童之幾何概念屬性截矩陣(續) K1 K2 K3 K4 K5 K6 K7 K8 K9
K1 0 0 0 0 0 1 1 0 1
K2 0 0 0 0 1 1 1 1 1
K3 0 0 0 0 0 0 1 0 1
K4 0 0 0 0 1 1 1 1 1
K5 0 0 0 0 0 0 0 0 0
K6 0 0 0 0 0 0 0 0 0
K7 0 0 0 0 0 0 0 0 0
K8 0 0 0 0 0 0 0 0 0
低 能 力 組 C2
生
K9 0 0 0 0 0 0 0 0 0
第 3 層 精熟度
.65~.73
第 2 層 .73~.78
簡 化 圖
→ 第 1 層
… † ‡ ˆ
• ‚ ƒ ‰
„
.87圖 4-1 專家之幾何概念 ISM 結構圖
第 3 層 精熟度
.61~.69
第 2 層 .72~.74
簡 化 圖
→ 第 1 層
ƒ … † ‡ ˆ
• ‚ ‰
„
.84圖 4-2 高能力組 A1生之幾何概念 ISM 結構圖
第 3 層 精熟度
第 3 層 精熟度 .21~.33
第 2 層 .34~.42
簡 化 圖
→ 第 1 層
… † ‡ ˆ ‰
• ‚ ƒ
„
.45圖 4-7 低能力組 C2生之幾何概念 ISM 結構圖
依據以上七名學童的幾何概念 ISM 結構圖，可從中分析並歸納出以下 重點：
一、概念 4(能認識「度」的角度單位，使用量角器實測角度或畫出指定的 角)在七名受試學童中，皆位於 ISM 圖中的第一階層，精熟度為.45 到.87 之間，顯示概念 4 是學童較易學習的概念，在教學上，學童藉 由透過使用量角器認識角度，可幫助其加深學習印象與理解其意義。
二、概念 1(能運用「角」與「邊」等構成要素，辨認簡單平面圖形)及概念 2(能透過操作，認識基本三角形與四邊形的簡單性質)在七名受試學童 的幾何概念 ISM 結構圖中，皆位於第二階層，精熟度為.34 到.78 之 間。
三、概念 5(能理解旋轉角的意義)、概念 6(能理解平面上直角、垂直與平 行的意義)、概念 7(能由直角、垂直與平行的概念，認識簡單平面圖形) 及概念 8(能利用三角板畫出直角與兩平行線段，並用來描繪平面圖形) 在七名受試學童中皆位於最高階層，精熟度為.26 到.73，顯示學童在 概念 5、概念 6、概念 7 及概念 8 的學習上較不易理解。
四、在低能力組的 C1生和 C2生的幾何概念 ISM 結構圖中，概念結構都分 為三個階層，C1生的結構圖中，只有「4→1→6」、「4→1→7」、「4→1
→9」為三個階層間的概念關聯指向，C2 生的結構圖中，只有「4→3
→7」、「4→3→9」為三個階層間的概念關聯指向，其餘皆為兩個階層 間的概念關聯指向，顯示低能力組學童在各階層間之概念關聯性較為 不足。
五、在中能力組的 B1生和 B2生的幾何概念 ISM 結構圖中，概念 4 皆位於 第一個階層，概念 1 及概念 2 位於第二個階層，概念 3、概念 5、概 念 6、概念 7、概念 8 及概念 9 位於最高階層，在 B1生的結構圖中，
具有「4→1→8」、「4→2→5」及「4→2→8」的概念關聯指向，在 B2
生的結構圖中，具有「4→1→6」、「4→1→7」、「4→2→5」、「4→2→6」、
「4→2→7」、「4→2→8」及「4→2→9」的概念關聯指向，顯示中能 力組的學童的幾何概念結構較低能力組的學童完整。
六、在高能力組的 A1生及 A2生的幾何概念 ISM 結構圖中，概念 4 位於第 一個階層，概念 1、概念 2 及概念 9 位於第二階層，概念 3、概念 5、
概念 6、概念 7 及概念 8 位於最高階層，在 A1生的結構圖中，具有「4
→1→5」、「4→1→8」、「4→2→5」、「4→2→8」、「4→9→5」及「4→9
→8」的概念關聯指向，A2生的結構圖中，則具有「4→1→5」、「4→1
→8」、「4→2→5」、「4→2→8」及「4→9→8」的概念關聯指向，顯示 高能力組學童的幾何概念結構較中、低能力組的學童完整。
七、概念 9(能理解長方形和正方形的面積公式與周長公式)在中、低能力組 的受試學童的幾何概念 ISM 結構圖中，皆屬於最高階層，但在高能力 組的受試學童的幾何概念 ISM 結構圖中，是位於第二階層，顯示能力 較高的學童在學習長方形和正方形的面積與周長公式時較能理解其 意義。
八、將低、中、高三組六名不同能力受試學童在不同概念的精熟度繪製成 折線圖，如圖 4-8 所示，由圖中可知受試學童在概念 4 的精熟度高於 其它概念，此結果與學童的幾何概念 ISM 結構圖中，概念 4 屬於第一 階層相符合，顯示概念 4 是學童較易學習的。在概念 9 的精熟度分析
上，顯示高能力的學童在概念 9 的精熟度明顯高於中、低能力的學童
，即高能力組學童與低能力組學童在概念 9 的精熟度差距較大，顯示 高能力組學童在概念 9 的學習上較能理解，而中、低能力組學童則感 到學習上的困難，此與高能力組學童的幾何概念 ISM 結構圖中，概念 9 位於第二個階層，而中、低能力組學童則位於最高階層之情況相符 合。
圖 4-8 不同能力受試學童之精熟度折線圖