van Hiele 幾何概念

壹、van Hiele 幾何發展理論

民國八十二年部編本國小教材中的幾何課程以 van Hiele 幾何發展理 論為依據設計，故在此針對其理論做探討，其幾何思維發展分為五個層次

：視覺的 (visual/visualization) 、分析或描述的 (analytic/descriptive) 、非 形式演繹 (informal deduction/abstract) 、形式演繹 (formal deduction) 、嚴 密 (rigor) 。各層次分述如下：

一、層次一：視覺的

此層次的兒童依據感官所察覺到的實物外觀來分辨形體，直觀的認為 正正方方的就是正方形，長長扁扁的就是長方形，而無法了解正方形的條 件為四邊等長且四個角都是直角，長方形為兩兩對邊等長且四個角亦為直 角這些幾何圖形的定義，其他如三角形或圓形亦是如此。因此，這層次的 兒童可以透過生活中接觸到的實物來認識圖形，並藉此加深對圖形的認知

。

二、層次二：分析或描述的

當兒童熟練層次一的概念之後，便對圖形具有分類的能力，能分辨不 同圖形之間的特徵，如圓形沒有邊、三角形有三個角三個邊、正方形有四 個直角四個邊，長方形各有一對等長的邊，四個相同的角，兒童便藉由這 些圖形的基本構造將其分類，但兒童還無法理解圖形中各構成要素之相互 關係，如長方形兩兩對邊相等且四個角都是直角時，其對邊也互相平行。

三、層次三：非形式演繹

此層次的學童能辨認圖形內的各組性質，並能利用圖形定義辨認圖形

，了解不同圖形之間的包含關係。如「矩形的對角線互相平分且相等」，「 兩兩對邊相等是平行四邊形」，此時學童也能了解，在平行四邊形中，如 果有一個角是直角的話，此圖形也一定是矩形，藉由透過理解構造性質的 定義，對各性質能作有系統、邏輯化的聯結。

四、層次四：形式演繹

此層次的學童除了理解幾何性質之間的關係之外，亦能對定理作有系 統的推理演繹證明，能在一個公設系統下，了解定理、定義等的相互關係

，並可區別定理和逆定理，了解一個定理的充分或必要條件，例如學童可 藉由平行公理證明三角形的內角和為 180 度，對於圖形已有能力去檢驗其 幾何性質。

五、層次五：嚴密性或公理性

此層次的學童能以較嚴密的程度分析比較不同公設系統，如歐式幾何 和非歐幾何，了解抽象的幾何概念，在公設系統中建立定理，了解公設系 統的性質具有一致性、獨立性及完整性。此層次為 van Hiele 幾何思考的最 高層次，一般人較難達成此層性。

van Hiele (1986) 曾對其幾何思考層次提出其具有某些固定特性，許多 研究學者對 van Hiele 幾何思考層次的特性也有不同的解釋，Usiskin (1982) 提出固定順序 (fixed sequence) 、毗連性 (adjacency)、特異性 (distinction)

、分離性 (separation) 、以及造詣 (attainment) 等；Crowley (1987) 提出 了序列性 (sequential) 、進展性 (advancement) 、內在與外在 (intrinsic and extrinsic) 、語言性 (linguistics) 、不協調性 (mismatch) 。研究者依據上 述特性及國內外相關研究 (吳德邦，1999；林軍治，1992；譚寧君，1993

；Crowley, 1987；Usiskin, 1982；Clements & Battista, 1992；Shaughnessy &

一、次序性

幾何思考層次必須按照一定的順序依序漸進，學童須將原本層次的概 念精熟之後，才能往下一個層次學習，每個層次若要順利學習，則必須掌 握上一個層次的概念。

二、內在與外在

在每個層次中，前一層次的內在元素將轉為下一層次的外在元素。如 學童在視覺層次時，能透過觀察圖形的外觀而分辨圖形，但對圖形的特質 和構成要素並無法掌握，而到了描述層次時，這些圖形的特質和構成要素 學童已能掌握操弄，即原本層次一中的內在元素 (圖形的特質和構成要素) 到了層次二中即轉為可掌握的外在元素，亦即學童能在前一層次中的概念 內化為自我概念，並成為下一層次的使用工具。

三、語言性

每一層次中皆有專屬的符號或語言，而隨著層次的改變，有些語言或 符號就需做適當的修正，如描述層次的學童無法了解長方形亦可稱為平行 四邊形，而到了非形式演繹層次就可理解其之間的關係。

四、分離性

教學過程中是師生互動的，教師的幾何認知層次必然和學生不同，因 此需站在學生的立場，分析學生的幾何思考層次，從學生的角度給予適當 的教材，否則容易造成師生之間的溝通障礙。如教師在教導面積公式時，

若直接給予公式背誦，學生未能先了解面積的意義，而無法建立面積的概 念。

五、進展性

從一個層次提升到另一個層次，需經過教學課程計畫的安排，並不是 自然提升的 (van Hiele, 1986) ，相較於學童的年齡或成熟度，適當的教學 課程安排更顯的重要。因此學童在某個層次尚未精熟之前，若強行加強下 一層次的概念是沒有效果的。

六、不連續性

學童的學習有時會出現不連續的跳躍，當由一個層次要提升到更高層 次時，學童會遭遇所謂的思考危機，若克服了思考危機，那麼學童便能建 立一套新的思考概念。學生的學習可能會有斷層，但在學習的過程中較少 出現。

貳、相關研究

國內外有相當多對於 van Hiele 幾何思考理論的研究，九年一貫課程之 幾何課程也依據其理論設計，故在此將相關研究結果簡介如下：

Mason (1989) 在研究中指出，學童在學習不同的幾何概念時，其所呈 現出來的層次也會有所差異，且經由個別晤談結果，可以得知學童在學習 幾何時的錯誤觀念，且高年級的幾何思考層次也較高。

Golinskaia (1997) 指出van Hiele理論有其簡單和應用的優點，並將van Hiele理論應用到課程設計中，證明其理論能適切的描述課程架構與內容，

但在較高層次的描述則較不明確。

Baynes (1998) 在如何提升學童的幾何思考層次研究中指出，學童的幾 何層次發展具有低層次往高層次發展的趨勢，且學童的幾何思考層次是有 階層性。

Idris (1998) 在van Hiele幾何思考層次對於場獨立及場依賴的中學生 的影響的研究中指出，實驗組的學生透過課程設計的教學活動能學習的較 好，顯示教師可以經由課程設計、選擇及準備教學，幫助學生提升其思考 層次。

Larew (1999) 於研究中對實驗組27位使用自動繪圖工具學習幾何與 控制組36位使用標準教材學習幾何的學生進行比較，研究結果顯示，組別 之間並無顯著差異，但實驗組在層次0進入層次1有顯著差異，控制組在層

次0進入層次1無顯著差異。

Angela (2008) 以四年級學童為研究對象，應用Realistic Mathematics Education (RME) 和van Hiele理論，探討學童在角的幾何概念上的學習情 況，研究顯示透過這兩種理論，可以幫助學童在角概念上的學習。

盧銘法 (1996) 在國小中高年級幾何概念之分析研究中，以406名中、

高年級學童為樣本，發現學童幾何概念在年級別、圖示題與文字題兩種項 目上達顯著差異；van Hiele水準層次上則受年級不同之影響，未受性別不 同而有明顯差異。

何森豪 (1999) 在van Hiele幾何發展水準之量化模式－以國小中高年 級學生在四邊形概念之表現研究中，結合無母數試題反應理論及模糊理論

，針對van Hiele幾何思考模式提供另一種方法論，使van Hiele幾何思考模 式量尺化，對學生的思考水準能更準確的測量。研究中發現，層次一的學 童 (40.39%) > 層次二 (34.18%) > 層次三 (25.43%) 。教師透過量尺能更 了解學童的能力與學習狀況。

左台益、梁勇能 (2001) 在國二學生空間能力與van Hiele幾何思考層 次相關性研究中，發現222位國二學生空間能力與van Hiele幾何思考層次，

及學生解決幾何空間問題均呈現正相關，因此在幾何教學適當的融入空間 視覺與操作活動以增進學生幾何學習效果。

林玉琦 (2003) 在國小高年級學童的梯形認知成份與VHL發展層次之 研究中，以721名國小五、六年級學生為樣本，研究顯示不同年級在層次 上的分佈達顯著，6.7%學生在梯形幾何層次上屬逆階層類型，違反van Hiele 幾何思考層次理論，這類學生可能多使用猜測的方式作答。

張永杰 (2003) 在實作評量取向的幾何思考研究中，針對國小四、五

、六年級共459名學生進行四邊形幾何概念的認知情形與層次研究。愈高 年級的學生在幾何思考層次上的表現愈好，幾何思考層次愈好的學生，其 後設認知的表現也愈好。學生的測驗分數相同時，其認知結構可能會有差

異。

薛建成 (2003) 在依據van Hiele幾何思考理論－探究臺灣中部地區國 小學童幾何概念發展之研究中，以中部四縣市共722名學生為樣本，測驗 學生在九大類不同圖型上的表現，其中在直線與曲線上的判別表現最好，

在圖形旋轉上的判別表現較差。高年級的表現優於中年級，中年級的表現 則優於低年級。不同城市的表現上，城市與鄉村的學童在表現上達顯著差 異。

李昆達 (2005) 在從van Hiele發展層次分析國小六年級學童平行概念 之研究中，以城市、鄉村共123名六年級學童為樣本，研究顯示六年級學 童在層次一 (43.1%) > 層次二 (23.6%) > 層次三 (18.7%) ，男女生在層次 上的分佈則無顯示差異。城市、鄉村學童在層次上的分佈達顯著差異，城 市學童多偏向高層次，鄉村偏向低層次。

陳進春、吳德邦 (2005) 在醫護專科學生van Hiele幾何思考層次上之 研究，以464名學生為樣本，層次一至層次五之分布分別為：44.2%、21.6%

、4.5%、0.0%、0.0%。學生在不同性別及科別之幾何思考層次上並無顯著 差異 (p=0.377，p=0.675) ，在年級上則有顯著差異 (p=.038) 。

紀妙貞 (2005) 在基於模糊理論與試題反應理論來探討國小中高年級 學童三角形的概念發展中，發現四年級學童大多位於van Hiele幾何思考層 次的第一、二層次，五六年級則位於第二、三層次；並利用試題通過率顯 示，四、五、六年級在van Hiele幾何層次一、二、三上的分佈是有明顯差 異的，在性別上無差異，年級上則是五、六年級優於四年級，但五、六年 級之間並無顯著差異。

紀小玉 (2005) 在探討接受九年一貫學童幾何思考層次上，以國小一

紀小玉 (2005) 在探討接受九年一貫學童幾何思考層次上，以國小一