本研究為研究學生對於四邊形的及其分類，研究方法為透過個人的概念定義 與概念心來找出學生在 van Hiele 的幾何思考發展層次，因此由第肆章的第一節 與第二節的研究結果來分析不同階段的學生在四邊形及其包含關係的認知結 構。
一、個人的概念定義
由第壹章的第一節，透過學習四邊形的階段以及學生學習的狀況，將五年級 學生到師培生共分為四個階段。五到七年級為第一階段，八年級與九年級年級為 第二階段，高中生為第三階段，師培生(中等教程、小學教程)為第四階段。
第一階段中有七成左右的學生有在個人的概念定義表現的編碼為 H0，只能 畫出圖形，沒有在圖形上說明，或是沒有任何文字說明。此階段學生較難使用文 字寫出對於特殊四邊形的個人的概念定義。
第二階段中有五成左右的學生在個人的概念定義表現的編碼為 H2，這個編 碼的學生能夠正確的寫出特殊四邊形的完整定義，不將圖形限定在特殊例(典範 圖形)；另一半的學生是編碼 H0，只能畫出圖形且沒有在圖上說明，或是沒有任 何文字說明。此階段的學生已有一半的學生能夠使用文字定義特殊四邊形，明顯 優於第一階段的學生。
第三階段中有六成左右的學生在個人的概念定義表現的編碼為 H2，三成左 右的學生是編碼 H0 或是 H1。此階段的學生優於第二階段學生，有更高的比例 的學生能夠掌握特殊四邊形的完整定義。
第四階段中有九成左右的學生在個人的概念定義表現的編碼為 H2，在此階 段的學生幾乎都能夠完整的寫出特殊四邊形的正確定義，明顯比其他三個階段學 生有更高的編碼表現。
二、辨識與推理
由第壹章的第一節，透過學習四邊形的階段以及學生學習的狀況，將五年級 學生到師培生共分為四個階段。五到七年級為第一階段，八年級與九年級年級為 第二階段，高中生為第三階段，師培生(中等教程、小學教程)為第四階段。
(一) 心智圖像
第一階段中有八成左右的學生在概念心像中的心智圖像的表現為編碼 H1(平行四邊形為編碼 H2)，除了梯形的心智圖像表現的編碼為 H0 的五成左右之 外，其他四種特殊四邊形(平行四邊形、菱形、長方形、正方形、箏形)大多數都 在 H1。此階段的學生沒有學過特殊四邊形的及其包含關係，因此習慣以典範圖 形來判斷。而梯形的編碼 H0 的學生則是因為選擇了編號 16 的圖形，此類學生 被編號 16 的外形(斜邊)所影響，而認為編號 16 是梯形。
第二階段中有五成左右的學生在概念心像中的心智圖像的表現為最高編碼 (平行四邊形為 H3-1，菱形、長方形、正方形為 H2)，除了箏形與梯形的編碼表 現分別在編碼 H1(61%)和編碼 H0(50%)比例較高之外，約有一半的第二階段學生 已經有特殊四邊形的及其包含關係。此階段的學生已經學過特殊四邊形的及其包 含關係，因此可以由學到的知識來辨識包含關係。但是箏形的包含關係並沒有進 行教學，因此大多數第二階段的學生在箏形的編碼表現為 H1。而梯形的編碼表 現為 H0 是學生梯形的定義不清，有一半的學生認為梯形包含平行四邊形、菱形、
長方形、正方形，甚至認為梯形也包含箏形。
第三階段中有七成左右的學生在概念心像中的心智圖像的表現為最高編碼 (平行四邊形為 H3-1，菱形、長方形、正方形為 H2)，梯形也有一半以上的學生 的編碼為 H2，除了箏形的編碼表現為 H1(50%)比例較高之外。此階段大多數學 生已經有特殊四邊形的及其包含關係且在國中階段已經學過特殊四邊形的及其 包含關係，除了箏形不在現行的課程內，其他在現行課程內之特殊四邊形的及其 包含關係，此階段大部分學生已經趨於完整，但也有 25%左右的學生認為梯形包 含平行四邊形、菱形、長方形、正方形或是箏形。
第四階段中約有九成左右的學生在概念心像中的心智圖像的表現為最高編 碼(平行四邊形為 H3-1，菱形、長方形、正方形為 H2)，箏形的心智圖像之表現 有半數以上學生在最高編碼 H3-1，梯形則是有七成左右的學生在最高編碼 H2。
此階段的學生在現行課程內的特殊四邊形的及其包含關係已經非常完整，而箏形 也有半數的學生能夠自己推得箏形的正確之及其包含關係，但此階段也有 2 成左 右的學生認為梯形包含平行四邊形、菱形、長方形、正方形。
(二) 性質
第一階段中有六成左右的學生在概念心像中的性質的表現為編碼 H1(平行 四邊形為編碼 H2)，在箏形的性質之編碼表現有八成左右的學生為編碼 H1。因 為我國學生的答題技巧都表現優異，所以學生在語句有「都」的選項都打 X，但 是從其他判斷學生是否具有特殊四邊形的及其包含關形之能力的選項中，進而發 現學生的表現在編碼 H1。此階段學生使用特殊例(典範圖形)來判斷特殊四邊形 的性質。
在概念心像中的性質的編碼表現上，統計分析發現，第三階段學生略優於第 二階段學生。這兩個階段中有七成左右的學生在概念心像中的性質之編碼表現為 最高編碼(平行四邊形為 H3-1，長方形和菱形為 H2)，在箏形的性質之編碼表現 也有四成左右的學生為最高編碼 H3-1，但也有此二階段之學生有五成左右在箏 形的性質之編碼表現為 H1。此二階段學生在判斷性質時，已經能夠使用特殊四 邊形的一般化之性質，除了箏形上還有半數以上的學生在編碼 H1，使用箏形的 特殊例(典範圖形)來判斷。研究者認為此二階段的大部分學生在平行四邊形、長 方形和菱形的及其包含關係已趨於完整。
第四階段中有九成以上的學生在概念心像中的性質的表現為最高編碼(平行 四邊形為 H3-1，長方形和菱形為 H2)，在箏形的性質編碼的表現有六成左右的 學生為最高編碼 H3-1，但也有 4 成左右的學生在箏形的性質之編碼表現為 H1。
由此可知，此階段的學生在平行四邊形、長方形和菱形的及其包含關係已經非常
(三)過程
1.包含關係的推論過程
第一階段中有七成左右的學生在非梯形的特殊四邊形之包含關係的編碼表 現為 H1，除了在平行四邊形與菱形以及正方形與菱形的包含關係，有一半的學 生可以由外觀判斷出菱形是一種平行四邊形、正方形是一種菱形，其他非梯形的 特殊四邊形的包含關係之編碼表現皆為 H1；梯形的包含關係之表現則有九成以 上的學生表現為 H1。這個階段的學生，雖然沒有學過特殊四邊形的包含關係，
但是可以透過幾何圖形的外觀判斷他們之間的包含關係。多數學生的編碼表現為 H1，不認為特殊四邊形之間有任何包含關係。
在概念心像中的過程內的包含關係的推論過程之表現上，由統計分析發現，
第三階段學生略優於第二階段學生。在非梯形的特殊四邊形之包含關係的編碼表 現上，第二階段學生有三成左右的學生達編碼 H3-2，有超過一半以上的學生在 編碼 H2 以上，在平行四邊形的包含關係之編碼也有超過一半以上的學生在編碼 H3-1 以上，但沒有學生編碼是 H4。第三階段學生有四成左右的學生達編碼 H3-2，
有超過一半以上的學生在編碼 H2 以上，在平行四邊形的包含關係之編碼也有超 過一半以上的學生在編碼 H3-1 以上，有少部分學生達到編碼 H4。此二階段學生 在箏形的包含關係之編碼表現是很類似的，約有一半以上在此二階段之學生的編 碼表現在 H3-1 以上。研究者認為此二階段大部分的學生對於非梯形的特殊四邊 形的包含關係已趨於完整，有一半以上的學生能夠正確地對特殊四邊形做及其其 之間的包含關係。另外，此二階段的學生在梯形的特殊四邊形的包含關係，約有 三成左右的學生會認為梯形包含平行四邊形、長方形、菱形、正方形或是箏形，
其編碼表現為 H0。但也有超過一半的學生認為梯形不包含平行四邊形、長方形、
菱形、正方形或是箏形，又因為理由是使用梯形不是一種平行四邊形的語句來描 述，所以此二階段學生在梯形的包含關係的表現之編碼為 H1。
第四階段中有九成以上的學生在非梯形的特殊四邊形的包含關係中之編碼 表現為 H3-2，有少數學生為 H4，在箏形的包含關係也有 7 成以上的學生之編碼
表現在 H3-2。明顯較其他三個階段的學生有更高的編碼，研究者認為此階段的 學生對於非梯形的包含關係已經完整。且說明上也能較其他三個階段的學生更為 完整，超過九成的學生為非形式演繹期，甚或是形式演繹期。另外，此階段中約 有 3 成左右的學生在梯形的包含關係之編碼表現為 H0，這三成左右的學生會認 為梯形包含平行四邊形、長方形、菱形、正方形，只有非常少數(小學教程 8.1%、
中等教程 4.5%)的學生會認為梯形包含箏形。在不認為梯形與其他特殊四邊形有 包含關係的學生中，說明梯形的包含關係時會使用非形式演繹的方式來說明(詳 見第參章)，因此此階段中有五成左右的學生在梯形的包含關係判斷中的編碼表 現為 H3-2，而在箏形與梯形的包含關係則有七成左右的學生的編碼表現為 H3-2。
2. 結構操作或推理
第一階段中有半數學生在第九題的外接圓之編碼表現為 H0，學生填寫答案 為 C，或是雖然選擇了 A、B，但是內容都是空白。在第 10 題的部分則有六成以 上的學生可以看出或是量測出圖形是平行四邊形或是菱形。在此階段的大多數之 學生因為沒有特殊四邊形的包含關係，所以在這兩題的回答皆是以外形作答，編 碼表現為 H0 或 H1。
在概念心像中的過程內的結構操作或推理之表現上，由統計分析發現，第三
在概念心像中的過程內的結構操作或推理之表現上，由統計分析發現，第三