研究對象是國中九年級學生。研究發現學生的一般四邊形典型圖形心像 為「四邊邊長不刻意畫等長」和「角度不刻意作特殊角」；長方形典型圖形 心像為「兩雙對邊不等長」和「較長一雙對邊呈水平，另一雙對邊則呈鉛直」； 平行四邊形典型圖形心像為「一雙對邊呈水平」、「水平的一雙對邊較另一雙 對邊長」以及「左右的一雙對邊由右上斜至左下」；菱形典型圖形心像為「對 角線呈水平和鉛直」和「鉛直的對角線較水平對角線長」。
二、 黃志祥(2003)
研究對象是國小六年級學生。研究發現學生在四邊形幾何圖形的概念心 像上普遍有包含性不足的情況，也就是有些圖例被錯誤地排除（如：以為斜 擺的正方形是菱形，但不是正方形）。此一現象應與學生接觸的通常是典型 圖例所致，且會影響更高層次的幾何推理之發展，例如無法理解正方形與菱 形的包含關係。另外也有部分概念出現相反的現象，也就是概念心像中混淆 了錯誤的圖例在內（如：以為鳶形也是菱形的一種），學生透過選圖方式所 呈現的答案優於透過繪圖方式所得到的答案。
三、 何敏華(2005)
研究對象是國中九年級學生。研究發現學生有「長方形的長寬一定不相 等」，「平行四邊形的角不能是 90 度」，「菱形的角度不能是 90 度」的迷思概 念，使得包含關係的判斷錯誤。
四、 林柏嘉(2008)
研究對象是國中七年級學生。研究發現學生對於定義內容用詞的掌握，
尚未到精確嚴謹的程度。但是在正方形的部分，大多數學生能夠掌握正確的 圖形定義；長方形的部分都有提到四個直角，但是會認為長與寬不能相等；
平行四邊形與梯形的部分，則會有上下邊、上下底的用詞；菱形的部分，則
認為需要有一條對角線是水平線。
五、 朱芳儀(2013)
研究對象是國中七到九年級學生。研究發現除了菱形和箏形之外，所有 種類四邊形的圖形都具有「有一組對邊呈水平」這種主要圖形特徵。菱形和 箏形的圖形都具有「有一條對角線為對稱軸且呈鉛直，另一條呈水平」這種 主要圖形特徵。學生在四邊形、平行四邊形、梯形、菱形和箏形時，都有 11%
以上的學生會畫出圖形中的特例。學生在說明為什麼所畫的圖形符合題目所 要求的特殊四邊形時，三個年級中大部分的學生都已認定其為該特殊四邊形，
說明時並沒有提及「圖形是四邊形或圖形的構成元素」，只著重於特殊四邊 形所具備的特殊屬性。
六、 Emine Gaye Ç ONTAY& Asuman DUATEPE PAKSU (2012)土耳其 研究對象是師培學生(5 位學生)。研究問題為土耳其師培生對於箏形的包 含關係，研究發現研究對象對於箏形與正方形的包含關係，四位師培生能夠 正確說出正方形是箏形的一種，但是有一位在研究者不停地詢問之後改變答 案，認為正方形不是箏形的一種。當研究者詢問理由時，剩下三位正確回答 出正方形是箏形的一種中，只有一位能夠正確使用定義解釋，研究者認為此 人有到 van Hiele 的層次 2─非形式演繹期；而其他兩位則是在解釋時還是使 用視覺期或是部分的性質來解釋包含關係，研究者認為這兩位的 van Hiele 的層次 1─分析期；而兩位認為正方形不是箏形的一種，雖然在訪談中曾經 說出正方形是箏形的一種，但是有承認只是記憶起來，實際上並不這麼認為，
研究者認為大約在 van Hiele 的層次 0 到 1 之間。
七、 Taro Fujita & Keith Jones(2006, 2007) 、Taro Fujita(2008,2012) 英國 Fujita 與 Jones (2007)提出將圖形概念與概念定義和概念心像兩者的意義 綜合起來的研究架構，他們認為正式的概念定義，就是所謂的正式的圖形概 念，個人的概念定義與概念心像就是個人的圖形概念(Personal figure concept)。
發展判斷學生四邊形及其包含關係之層次的方法。
並且 Fujita 與 Jones (2007)也提出梯形的定義會影響梯形是否包含其他特 殊四邊形，英國定義梯形為「一雙對邊互相平行的四邊形」，這個定義的狀 況之下，梯形就包含其他特殊四邊形；而美國定義梯形為「只有一雙對邊互 相平行的四邊形」，則梯形就不包含其他特殊四邊形。以下分別說明他們不 同研究對象之結果：
(一) 研究對象是 85 位九年級學生(14 歲)，是高於平均水準的學生。研究發 現：概念心像中的心智圖像(本研究之問卷的第 2 題，無編號 16)對於平 行四邊形的判斷有 90%的學生沒有包含其他特殊四邊形；對於菱形的判 斷有 70%的學生沒有包含正方形；對於長方形的判斷有 50%的學生沒有 包含正方形。在平行四邊形的性質判斷(本研究之問卷的第 6 題)，有 55%
的學生能夠正確回答；關於平行四邊形的定義則有 60%的學生能夠回答 正確的定義。菱形的性質判斷(本研究之問卷的第 6 題)則有 12%的學生 能夠完整回答。關於本研究問卷第 9 題有 34%的學生能正確答出正方形 或是長方形。
(二) 研究對象是 19 位大學一年級的學生。研究發現：概念心像中的心智圖 像(本研究之問卷的第 2 題(1)，無編號 16)有 8 位在非形式演繹期。對於 描寫平行四邊形的定義有 13 位能夠正確回答，但是研究者認為學生只 是單純將定義進行記憶，因為由研究者的問卷(本研究之問卷的第 9 題) 能夠發現學生認為正方形或是長方形不是一種平行四邊形又或是認為 平行四邊形沒有直角。在平行四邊形的性質判斷(本研究之問卷的第 6 題)，
則有 10 位能夠正確回答而不被典範圖形影響；而在菱形的性質判斷(本 研究之問卷的第 6 提的部分子題)，研究者認為 12 位學生沒有任何正確 的菱形的概念知識；長方形的性質判斷(本研究之問卷的第 6 提的部分子 題)，則只有 2 位學生沒有正確的概念知識，有 10 位學生則是使用長方 形的典範圖形來回答問題，剩下 7 位學生則是有完整的長方形的概念知
識。
(三) 研究對象是 158 位大學一年級的小學師培生，研究者想了解學生的個人 概念定義與正式的概念定義之間的差距。研究發現：(本研究之問卷的第 一題的部分子題：平行四邊形、正方形、長方形、梯形)學生在畫平行四 邊形、正方形與長方形的圖形，正確率都有九成以上，但只有 60.8%的 學生能夠正確畫出梯形的圖形。另外學生在描述定義上之正確率卻是遠 不如繪製幾何圖形的正確率，正確率為平行四邊形 58.9%、正方形 38%、
長方形 21.5%、梯形 12%。研究者認為平行四邊形的定義描述正確率較 高是因為「平行」兩個字給學生提示。正方形的定義描述錯誤的原因是 學生只寫了「四邊等長」，而沒有「四角相等」或是「四個直角」，研究 者認為學生沒有發現菱形符合「四邊等長」，並且認為學生對於正方形 的圖形認知最強的部份是邊。長方形的定義描述錯誤的原因是「有兩個 長邊和兩個短邊的四邊形」，學生因為典範圖形造成錯誤。
(四) 研究對象是 105 位大學二年級的小學師培生。有 56.2%的學生能夠正確 定義平行四邊形，但是只有 20%的學生能夠選出所有的平行四邊形的圖 形，有 44.8%的學生選擇編號 1、6、9、14(本研究之問卷的第 2 題(1)，
無編號 16)，表示學生的正式的概念圖形(formal figure concept)和個人的 概念圖形(personal figure concpet)還是有所差距。推理的題目(本研究之問 卷的第 9 題)發現只有 7.6%(8 位)學生能夠正確回答出長方形，有
72.4%(76 位)學生認為不可能畫出一個平行四邊形外接一個圓，76 位中 有 15 位認為如果要畫一個平行四邊形外接一個圓的話則必定會得到一 個直角，15 位認為平行四邊形只有兩個頂點能夠碰到圓，5位畫了圖2-7，
20 位畫了圖並且說明了只有兩個頂點能夠碰到圓，剩下沒有說明理由。
研究中又發現菱形與平行四邊形的包含關係，有 36.2%的學生能夠正確 的回答─菱形是一種平行四邊形，而有 60%的學生認為兩者之間沒有任
邊形的圖形題目中(本研究之問卷的第 2 題(1)，無編號 16)，學生能夠選 出編號 5、15，因此研究者認為可能學生對於此類型問題不熟悉，造成 學生無法正確回答，因此研究者認為之後可能能夠改為：是否能夠說菱 形是一種特殊類型的平行四邊形？(It is possible to say that a rhombus is a special type of parallelogram?)
圖 2- 7 英國小學師培生(大二)在推理題中回答不可能的學生之圖形理由
(五) 研究對象是 124 位大學三年級的小學師培生，隨機選擇了 60 位學生之 問卷進行分析。另外，英國的梯形定義是「一雙對邊平行的四邊形」， 與我國的梯形定義「只有一雙對邊平行的四邊形」不同。研究發現如表 2-1：(本研究之問卷的第 8 題)
箭頭類型 正確率
正方形→長方形 65%
正方形→菱形 40%
長方形→平行四邊形 70%
菱形→平行四邊形 16.7%
平行四邊形形→梯形 48.3%
梯形→四邊形 40%
箏形→四邊形 28.3%
表 2- 1 英國小學師培生(大三)在包含關係之答對率
研究者由(三)、(四)、(五)的研究中得到以下結論，他們認為：小學 師培生的包含關係並沒有因為年級的增加而進步。就算經過兩年或是多 年以上的訓練，學生的正式的概念圖形(formal figure concept)和個人的概 念圖形(personal figure concpet)還是有所差距，學生還是使用特殊類型(典 範圖形)來判斷特殊四邊形及其包含關係。
八、 Emel Ozdemır Erdogan & Zeliha Dur(2014)土耳其
研究對象是 57 位就讀於土耳其某個州立大學四年級的小學數學實習教師，
問卷使用 Fujita and Jones (2006; 2007), Okazaki and Fujita (2007) and Fujita (2012) 編製而成。研究發現：
關於平行四邊形，有 81%的實習老師能夠正確的回答平行四邊形的定義，有 19%的實習老師多回答「鄰角不相等」。有 72%的實習老師能夠正確畫出平行四 邊形的圖形。在平行四邊形的圖形辨識(本研究之問卷的第 2 題，無編號 16)能夠 發現有 51%的實習老師能夠正確辨識(包含菱形、長方形、正方形)。18%的實習 老師會回答典範圖形，不過這裡面有 9%的實習老師認為不是典範圖形(非鑽石形 式)的菱形也是平行四邊形，有 5.26%的實習老師認為不是典範圖形(非正立，斜 放)的長方形也是平行四邊形。約有 4%的實習老師不認為編號 4 的正方形以及編 號 2 和 7 的長方形是平行四邊形。
關於平行四邊形，有 81%的實習老師能夠正確的回答平行四邊形的定義，有 19%的實習老師多回答「鄰角不相等」。有 72%的實習老師能夠正確畫出平行四 邊形的圖形。在平行四邊形的圖形辨識(本研究之問卷的第 2 題，無編號 16)能夠 發現有 51%的實習老師能夠正確辨識(包含菱形、長方形、正方形)。18%的實習 老師會回答典範圖形，不過這裡面有 9%的實習老師認為不是典範圖形(非鑽石形 式)的菱形也是平行四邊形，有 5.26%的實習老師認為不是典範圖形(非正立，斜 放)的長方形也是平行四邊形。約有 4%的實習老師不認為編號 4 的正方形以及編 號 2 和 7 的長方形是平行四邊形。