本章根據研究目的，由焦點小組對於每一題進行編碼，將資料透過 Google 表單登錄資料，並透過 SPSS for Windows 23.0 進行分析與討論。本章依據研究 目的共分為三節，第一節為不同階段的學生對於各種四邊形的個人的概念定義 (第 1 題)，第二節為不同階段的學生對於各種四邊形的辨識與推理(第 2 至 10 題) 以及第三節為研究問題中的不同階段的學生在四邊形及其包含關係的認知結 構。
第一節 不同階段的學生對於各種四邊形的個人的概念定義
本研究為研究學生對於四邊形的及其分類，研究方法為透過個人的概念定義 與概念心像來找出學生在 van Hiele 的幾何思考發展層次，因此研究問題一在分 析不同階段的學生對於各種四邊形的個人的概念定義。
根據問卷的第一題來蒐集不同年級之學生的個人的概念定義，並且由研究工 具中的編碼內容來編碼每一位學生的回應。在個人的概念定義中，若學生只有圖 形(圖形上沒有任何說明)或是完全空白，則這兩者的編碼為 H0；若學生的定義 為一種特殊例(典範圖形)或是學生的圖形上的說明為特殊例，則這兩者都為編碼 H1；若學生可以寫出該四邊形的完整定義，且以一般的形式或圖形示例說明，
則為編碼 H2。(詳見第參章)
下表為不同年級的學生對於各種四邊形的個人概念之編碼的比例，縱軸為年 級(分為 5~12 年級、小學教程與中等教程)，橫軸為編碼，橫軸主題為圖形類別。
例如：五年級學生在平行四邊形的個人的概念定義在編碼 H0 的學生佔五年級學 生的 60.3%。
表 4- 1 不同年級的學生對於各種四邊形的個人的概念定義之編碼的比例
平行四邊形 正方形 長方形 梯形 菱形
年級 H0 H1 H2 H0 H1 H2 H0 H1 H2 H0 H1 H2 H0 H1 H2
5 60.3% 17.8% 21.9% 64.4% 6.8% 28.8% 61.6% 23.3% 15.1% 68.5% 16.4% 15.1% 83.6% 4.1% 12.3%
6 76.7% 5.5% 17.8% 63.0% 6.8% 30.1% 53.4% 26.0% 20.5% 83.6% 6.8% 9.6% 76.7% 5.5% 17.8%
7 64.0% 14.7% 21.3% 58.7% 14.7% 26.7% 58.7% 28.0% 13.3% 68.0% 20.0% 12.0% 76.0% 8.0% 16.0%
8 38.8% 6.0% 55.2% 49.3% 3.0% 47.8% 46.3% 6.0% 47.8% 47.8% 23.9% 28.4% 49.3% 1.5% 49.3%
9 53.2% 0.0% 46.8% 46.8% 0.0% 53.2% 48.4% 0.0% 51.6% 54.8% 4.8% 40.3% 53.2% 0.0% 46.8%
10 42.7% 4.9% 52.4% 45.1% 0.0% 54.9% 41.5% 3.7% 54.9% 39.0% 15.9% 45.1% 46.3% 2.4% 51.2%
11 37.7% 7.2% 55.1% 42.0% 0.0% 58.0% 46.4% 10.1% 43.5% 47.8% 11.6% 40.6% 53.6% 4.3% 42.0%
12 24.1% 4.6% 71.3% 23.1% 0.0% 76.9% 25.0% 11.1% 63.9% 31.5% 9.3% 59.3% 34.3% .9% 64.8%
小教 4.1% 4.1% 91.9% 8.1% 0.0% 91.9% 6.8% 4.1% 89.2% 9.5% 8.1% 82.4% 6.8% 2.7% 90.5%
中教 15.9% 0.0% 84.1% 9.1% 0.0% 90.9% 11.4% 2.3% 86.4% 9.1% 2.3% 88.6% 11.4% 2.3% 86.4%
由表 4-1，隨著年級的增加，學生在這五種特殊四邊形的個人的概念定義之 編碼也會隨之變高。在編碼 H2 的年級比例會隨著年級的增加而升高，隨著年級 的增加會發現在 H0 的比例也會隨之減少；編碼 H2 的比例也隨著年級的增加而 增加。例如：正方形的個人的概念定義，五年級的學生在編碼 H0 的有 64.4%、
編碼 H1 的有 6.8%、編碼 H2 的有 28.8%；高中三年級的學生在編碼 H0 的有 23.1%、
編碼 H1 的有 0%、編碼 H2 的有 76.9%。
五年級到高中三年級的學生來說，在梯形與菱形的個人的概念定義表現是編 碼表現最低的。在 H0 的比例是這五種特殊四邊形中相較其他三種(平行四邊形、
正方形、長方形)來說是比較高的，例如：七年級的學生在平行四邊形、正方形、
長方形之編碼 H0 的比例相較在梯形、菱形之編碼 H0 的比例低，甚至七年級學 生在菱形有 76.7%的學生為編碼 H0。
兩間大學的學生，不管是培育中等師資還是小學師資的學校學生，他們在這 五種特殊四邊形的個人的概念定義有超過八成以上的學生達到編碼 H2，對於這 五種特殊四邊形有比其他年級都完整的定義。例如：中等師資生在平行四邊形的 個人概念定義在編碼 H2 的有 84.1%、在正方形的個人概念定義在編碼 H2 的有 90.9%、在長方形的個人概念定義在編碼 H2 的有 86.4%、在梯形的個人概念定
義在編碼 H2 的有 88.6%、在菱形的個人概念定義在編碼 H2 的有 86.4%。
年級越高的學生就會有更高的比例的學生能夠使用完整的定義描寫特殊四 邊形，例如：正方形的個人的概念定義，在九年級之後的學生，在編碼 H1 的比 例為 0%。
綜上所述，發現不同年級的學生以及在不同的特殊四邊形的個人的概念定義 對於編碼的表現可能有所差異，以下透過統計來分析是否有顯著差異。
(一)平行四邊形
下表是在個人的概念定義-平行四邊形的卡方分析檢驗：各編碼內不同年級 的分布是否有顯著差異，分析結果如表 4-2 與表 4-3。分析結果顯示，不同編碼 的年級分布有顯著差異，
2(18,N727) 191.630, p.000,Phi.513。表 4- 2 年級與個人的概念定義-平行四邊形在編碼之卡方檢定
值 df 漸近顯著性（兩端）
Pearson 卡方檢定 191.630a 18 .000
概似比 212.905 18 .000
線性對線性關聯 140.493 1 .000
有效觀察值數目 727
表 4- 3 年級與個人的概念定義-平行四邊形在編碼之對稱的測量
值 大約顯著性
名義變數對名義變數 Phi .513 .000
Cramer's V .363 .000
有效觀察值數目 727
表 4- 4 年級與個人的概念定義-平行四邊形在編碼之列聯表 問題 1 (1)平
行四邊形
年級
5 6 7 8 9 10 11 12 小教 中教 H0 n 44 56 48 26 33 35 26 26 3 7
% 60.3% 76.7% 64.0% 38.8% 53.2% 42.7% 37.7% 24.1% 4.1% 15.9%
H1 n 13 4 11 4 0 4 5 5 3 0
% 17.8% 5.5% 14.7% 6.0% 0.0% 4.9% 7.2% 4.6% 4.1% 0.0%
H2 n 16 13 16 37 29 43 38 77 68 37
% 21.9% 17.8% 21.3% 55.2% 46.8% 52.4% 55.1% 71.3% 91.9% 84.1%
由表 4-4 可以發現在平行四邊形在個人的概念定義，年級越高的學生，編碼
的越高的比例越高。
本研究是想要探討不同學習階段學生在四邊形及其包含關係的認知表現，因 此，將五年級學生到師培生共分為四個階段。五到七年級為第一階段，八年級與 九年級年級為第二階段，高中生為第三階段，數學系的師培生(中等教程、小學 教程)為第四階段。並進行統計分析在不同階段在平行四邊形的個人的概念定義 之編碼表現上是否有顯著差異。
下表是在個人的概念定義-平行四邊形的卡方分析檢驗：各編碼內不同階段 的分布是否有顯著差異，分析結果如表 4-5 與表 4-6。分析結果顯示，不同編碼 的階段分布有顯著差異，
2(6,N727)165.732,p.000,Phi.477。表 4- 5 階段與個人的概念定義-平行四邊形在編碼之卡方檢定
值 df 漸近顯著性（兩端）
Pearson 卡方檢定 165.732a 6 .000
概似比 181.835 6 .000
線性對線性關聯 145.253 1 .000
有效觀察值數目 727
表 4- 6 階段與個人的概念定義-平行四邊形在編碼之對稱的測量
值 大約顯著性
名義變數對名義變數 Phi .477 .000
Cramer's V .338 .000
有效觀察值數目 727
表 4- 7 階段與個人的概念定義-平行四邊形在編碼之列聯表
問題 1 (1)平行四邊形 階段
1 2 3 4
H0 n 148 59 87 10
% 67.0% 45.7% 33.6% 8.5%
H1 n 28 4 14 3
% 12.7% 3.1% 5.4% 2.5%
H2 n 45 66 158 105
% 20.4% 51.2% 61.0% 89.0%
由表 4-7 可以發現在平行四邊形在個人的概念定義，階段越高的學生，編碼 的越高的比例越高。第 4 階段在 H2 的比例為 89%、在 H1 的比例為 2.5%、在
H0 的比例為 8.5%。第 3 階段在 H2 的比例為 61%、在 H1 的比例為 5.4%、在 H0 的比例為 33.6%。第 2 階段在 H2 的比例為 51.2%、在 H1 的比例為 3.1%、在 H0 的比例為 45.7%。第 1 階段在 H2 的比例為 20.4%、在 H1 的比例為 12.7%、
在 H0 的比例為 67%。
(二)正方形
下表是在個人的概念定義-正方形的卡方分析檢驗：各編碼內不同年級的分 布是否有顯著差異，分析結果如表 4-8 與表 4-9。分析結果顯示，不同編碼的年 級分布有顯著差異，
2(18,N727)183.341,p.000,Phi.501。表 4- 8 年級與個人的概念定義-正方形在編碼之卡方檢定
值 df 漸近顯著性（兩端）
Pearson 卡方檢定 182.341a 18 .000
概似比 194.138 18 .000
線性對線性關聯 122.094 1 .000
有效觀察值數目 727
表 4- 9 年級與個人的概念定義-正方形在編碼之對稱的測量
值 大約顯著性
名義變數對名義變數 Phi .501 .000
Cramer's V .354 .000
有效觀察值數目 727
表 4- 10 年級與個人的概念定義-正方形在編碼之列聯表 問題 1 (2) 正
方形
年級
5 6 7 8 9 10 11 12 小教 中教 H0 n 47 46 44 33 29 37 29 25 6 4
% 64.4% 63.0% 58.7% 49.3% 46.8% 45.1% 42.0% 23.1% 8.1% 9.1%
H1 n 5 5 11 2 0 0 0 0 0 0
% 6.8% 6.8% 14.7% 3.0% 0.0% 0.0% 0.0% 0.0% 0.0% 0.0%
H2 n 21 22 20 32 33 45 40 83 68 40
% 28.8% 30.1% 26.7% 47.8% 53.2% 54.9% 58.0% 76.9% 91.9% 90.9%
由表 4-10 可以發現在正方形在個人的概念定義，年級越高的學生，編碼的 越高的比例越高。
本研究是想要探討不同學習階段學生在四邊形及其包含關係的認知表現，因
此，將五年級學生到師培生共分為四個階段。五到七年級為第一階段，八年級與 九年級年級為第二階段，高中生為第三階段，數學系的師培生(中等教程、小學 教程)為第四階段。並進行統計分析在不同階段在正方形的個人的概念定義之編 碼表現上是否有顯著差異。
下表是在個人的概念定義-正方形的卡方分析檢驗：各編碼內不同階段的分 布是否有顯著差異，分析結果如表 4-11 與表 4-12。分析結果顯示，不同編碼的 階段分布有顯著差異，
2(6,N727)159.838,p.000,Phi.469。表 4- 11 階段與個人的概念定義-正方形在編碼之卡方檢定
值 df 漸近顯著性（兩端）
Pearson 卡方檢定 159.838a 6 .000
概似比 175.723 6 .000
線性對線性關聯 117.602 1 .000
有效觀察值數目 727
表 4- 12 階段與個人的概念定義-正方形在編碼之對稱的測量
值 大約顯著性
名義變數對名義變數 Phi .469 .000
Cramer's V .332 .000
有效觀察值數目 727
表 4- 13 階段與個人的概念定義-正方形在編碼之列聯表
問題 1 (2) 正方形 階段
1 2 3 4
H0 n 137 62 91 10
% 62.0% 48.1% 35.1% 8.5%
H1 n 21 2 0 0
% 9.5% 1.6% 0.0% 0.0%
H2 n 63 65 168 108
% 28.5% 50.4% 64.9% 91.5%
由表 4-13 可以發現在正方形在個人的概念定義，階段越高的學生，編碼的 越高的比例越高。第 4 階段在 H2 的比例為 91.5%、在 H1 的比例為 0.0%、在 H0 的比例為 8.5%。第 3 階段在 H2 的比例為 64.9%、在 H1 的比例為 0.0%、在 H0 的比例為 35.1%。第 2 階段在 H2 的比例為 50.4%、在 H1 的比例為 1.6%、在 H0
的比例為 48.1%。第 1 階段在 H2 的比例為 28.5%、在 H1 的比例為 9.5%、在 H0 的比例為 62.0%。
(三)長方形
下表是在個人的概念定義-長方形的卡方分析檢驗：各編碼內不同年級的分 布是否有顯著差異，分析結果如表 4-14 與表 4-15。分析結果顯示，不同編碼的 年級分布有顯著差異，
2(18,N727)207.490,p.000,Phi.534。表 4- 14 年級與個人的概念定義-長方形在編碼之卡方檢定
值 df 漸近顯著性（兩端）
Pearson 卡方檢定 207.490a 18 .000
概似比 232.365 18 .000
線性對線性關聯 126.511 1 .000
有效觀察值數目 727
表 4- 15 年級與個人的概念定義-長方形在編碼之對稱的測量
值 大約顯著性
名義變數對名義變數 Phi .534 .000
Cramer's V .378 .000
有效觀察值數目 727
表 4- 16 年級與個人的概念定義-長方形在編碼之列聯表 問題 1 (3) 長
方形
年級
5 6 7 8 9 10 11 12 小教 中教 H0 n 45 39 44 31 30 34 32 27 5 5
% 61.6% 53.4% 58.7% 46.3% 48.4% 41.5% 46.4% 25.0% 6.8% 11.4%
H1 n 17 19 21 4 0 3 7 12 3 1
% 23.3% 26.0% 28.0% 6.0% 0.0% 3.7% 10.1% 11.1% 4.1% 2.3%
H2 n 11 15 10 32 32 45 30 69 66 38
% 15.1% 20.5% 13.3% 47.8% 51.6% 54.9% 43.5% 63.9% 89.2% 86.4%
由表 4-16 可以發現在長方形在個人的概念定義，年級越高的學生，編碼的 越高的比例越高。
本研究是想要探討不同學習階段學生在四邊形及其包含關係的認知表現，因 此，將五年級學生到師培生共分為四個階段。五到七年級為第一階段，八年級與 九年級年級為第二階段，高中生為第三階段，數學系的師培生(中等教程、小學
教程)為第四階段。並進行統計分析在不同階段在長方形的個人的概念定義之編 碼表現上是否有顯著差異。
下表是在個人的概念定義-長方形的卡方分析檢驗：各編碼內不同階段的分 布是否有顯著差異，分析結果如表 4-17 與表 4-18。分析結果顯示，不同編碼的 階段分布有顯著差異，
2(6,N727)192.606,p.000,Phi.515。表 4- 17 階段與個人的概念定義-長方形在編碼之卡方檢定
值 df 漸近顯著性（兩端）
Pearson 卡方檢定 192.606a 6 .000
概似比 210.282 6 .000
線性對線性關聯 129.226 1 .000
有效觀察值數目 727
表 4- 18 階段與個人的概念定義-長方形在編碼之對稱的測量
值 大約顯著性
名義變數對名義變數 Phi .515 .000
Cramer's V .364 .000
有效觀察值數目 727
表 4- 19 階段與個人的概念定義-長方形在編碼之列聯表
表 4- 19 階段與個人的概念定義-長方形在編碼之列聯表