本研究為研究學生對於四邊形的及其分類，研究方法為透過個人的概念定義 與概念心像來找出學生在 van Hiele 的幾何思考發展層次，因此研究問題二在分 析不同階段的學生對於各種四邊形的辨識與推理。
根據問卷的第 2 題到第 10 題來蒐集不同年級之學生的對於各種四邊形的辨 識與推理，以此來了解學生的概念心像，並且透過研究架構分為：第 2 題至第 5 題是研究不同年級之學生的概念心像中的心智圖像、第 6 題是研究不同年級之學 生的概念心像中的性質(含結構性質以及包含關係)、第 7 以及第 8 題是研究不同 年級之學生的概念心像中的過程內的包含關係的推論過程、第 9 以及第 10 題是 研究不同年級之學生的概念心像中的過程內的結構操作或推理。
一、 心智圖像
根據問卷的第 2 題至第 5 題來蒐集不同年級之學生的概念心像中的心智圖像。
研究心智圖像的問卷題目共有兩種題型，分別是填充題與勾選題，第 2 題為填充 題，第 3 題至第 5 題為勾選題，以下將分別分析不同年級之學生的概念心像中的 心智圖像在不同題型之表現。
(一)
填充題：第 2 題根據問卷的第 2 題來蒐集不同年級之學生的概念心像中的心智圖像在填充 題之表現，並且由研究工具中的編碼內容來編碼每一位學生的回應。(詳見第參 章)
下表為不同年級的學生對於各種四邊形的概念心像中的心智圖像在填充題 的比例，縱軸為年級(分為 5~12 年級、小學教程與中等教程)，橫軸為編碼，橫 軸主題為圖形類別，每一個的單位都是百分率%。例如：五年級學生在平行四邊 形的概念心像中的心智圖像在填充題在編碼 H0 的學生佔五年級學生的 6.8%。
表 4- 32不同年級的學生對於各種四邊形的心智圖像(填充題)之編碼的比例(單位：%)
% 平行四邊形 菱形 長方形 正方形 箏形 梯形
年級 H0 H1 H2 H3-1 H0 H1 H2 H0 H1 H2 H0 H1 H2 H0 H1 H2 H3-1 H0 H1 H2
5 6.8 1.4 78.1 13.7 17.8 65.8 16.4 9.6 79.5 11.0 9.6 34.2 56.2 19.2 64.4 13.7 2.7 50.7 16.4 32.9 6 5.5 1.4 84.9 8.2 13.7 80.8 5.5 2.7 89.0 8.2 5.5 41.1 53.4 15.1 76.7 8.2 0.0 58.9 6.8 34.2 7 5.3 2.7 72.0 20.0 24.0 65.3 10.7 14.7 74.7 10.7 21.3 38.7 40.0 20.0 61.3 12.0 6.7 64.0 4.0 32.0 8 3.0 3.0 22.4 71.6 6.0 43.3 50.7 7.5 52.2 40.3 7.5 10.4 82.1 4.5 61.2 22.4 11.9 52.2 7.5 40.3 9 0.0 0.0 45.2 54.8 6.5 53.2 40.3 1.6 56.5 41.9 8.1 14.5 77.4 11.3 61.3 3.2 24.2 48.4 3.2 48.4 10 1.2 2.4 8.5 87.8 7.3 25.6 67.1 4.9 24.4 70.7 3.7 7.3 89.0 11.0 42.7 13.4 32.9 36.6 8.5 54.9 11 2.9 0.0 14.5 82.6 13.0 33.3 53.6 5.8 36.2 58.0 5.8 17.4 76.8 15.9 63.8 8.7 11.6 24.6 7.2 68.1 12 2.8 2.8 13.9 80.6 11.1 28.7 60.2 .9 38.9 60.2 3.7 12.0 84.3 6.5 50.0 9.3 34.3 25.0 12.0 63.0 小教 0.0 0.0 4.1 95.9 0.0 13.5 86.5 0.0 18.9 81.1 0.0 4.1 95.9 4.1 31.1 9.5 55.4 27.0 6.8 66.2 中教 0.0 0.0 9.1 90.9 0.0 6.8 93.2 2.3 20.5 77.3 2.3 4.5 93.2 0.0 22.7 20.5 56.8 18.2 2.3 79.5
由表 4-32，隨著年級的增加，學生在這五種特殊四邊形的概念心像中的心智 圖像之編碼也會隨之變高。在高編碼(H2、H3-1)的年級比例會隨著年級的增加而 升高，隨著年級的增加會發現在 H0 的比例也會隨之減少；編碼 H2 的比例也隨 著年級的增加而增加。例如：正方形的概念心像的心智圖像，五年級的學生在編 碼 H0 的有 17.8%、編碼 H1 的有 65.8%、編碼 H2 的有 16.4%；高中三年級的學 生在編碼 H0 的有 11.1%、編碼 H1 的有 28.7%、編碼 H2 的有 60.2%。
不管是哪個年級的學生，在箏形以及梯形的概念心像中的心智圖像的表現是 編碼表現最低的。在 H0 的比例中，梯形是這六種特殊四邊形中相較其他五種(平 行四邊形、菱形、長方形、正方形、箏形)來說是比較高的。箏形在最高編碼 H3-1(平 行四邊形的最高編碼是 H3-1，菱形、長方形、正方形、梯形的最高編碼是 H2) 的比例中，箏形在這六種特殊四邊形中相較其他五種(平行四邊形、菱形、長方 形、正方形、箏形)來說是比較低的。例如：八年級的學生在平行四邊形、菱形、
長方形、正方形、箏形之編碼 H0 的比例相較在梯形之編碼 H0 的比例低，而在 平行四邊形、菱形、長方形、正方形、梯形之最高編碼的比例相較在箏形之編碼 的比例高。八年級學生在箏形的最高編碼 H3-1 只有 11.9%都低於其他五種四邊 形的最高編碼之比例，在梯形的編碼 H0 為 52.2%，高於其他五種四邊形的編碼
H0。
兩間大學的學生，不管是培育中等師資還是小學師資的學校學生，他們在除 了梯形之外的五種特殊四邊形的概念心像中的心智圖像之編碼表現都明顯優於 其他年級。例如：中等師資生在平行四邊形的概念心像中的心智圖像在最高編碼 H3-1 的有 90.9%、在菱形的概念心像中的心智圖像在最高編碼 H2 的有 93.2%、
在長方形的概念心像中的心智圖像在最高編碼 H2 的有 77.3%、在正方形的概念 心像中的心智圖像在最高編碼 H2 的有 93.2%、在箏形的概念心像中的心智圖像 在最高編碼 H3-1 的有 56.8%、在梯形的個人概念定義在編碼 H2 的有 79.5%。
綜上所述，發現不同年級的學生以及在不同的特殊四邊形的概念心像中的心 智圖像(填充題)對於編碼的表現可能有所差異，以下透過統計來分析是否有顯著 差異。
1.平行四邊形
下表是在心智圖像(填充題)-平行四邊形的卡方分析檢驗：各編碼內不同年級 的分布是否有顯著差異，分析結果如表 4-33 與表 4-34。分析結果顯示，不同編 碼的年級分布有顯著差異，
2(27,N727)338.218,p.000,Phi.682。 表 4- 33 年級與心智圖像(填充題)-平行四邊形在編碼之卡方檢定值 df 漸近顯著性（兩端）
Pearson 卡方檢定 338.218a 27 .000
概似比 376.595 27 .000
線性對線性關聯 178.487 1 .000
有效觀察值數目 727
表 4- 34 年級與心智圖像(填充題)-平行四邊形在編碼之對稱的測量
值 大約顯著性
名義變數對名義變數 Phi .682 .000
Cramer's V .394 .000
有效觀察值數目 727
表 4- 35 年級與心智圖像(填充題)-平行四邊形在編碼之列聯表 問題 2 (1)平
行四邊形
年級
5 6 7 8 9 10 11 12 小教 中教 H0 n 5 4 4 2 0 1 2 3 0 0
% 6.8% 5.5% 5.3% 3.0% 0.0% 1.2% 2.9% 2.8% 0.0% 0.0%
H1 n 1 1 2 2 0 2 0 3 0 0
% 1.4% 1.4% 2.7% 3.0% 0.0% 2.4% 0.0% 2.8% 0.0% 0.0%
H2 n 57 62 54 15 28 7 10 15 3 4
% 78.1% 84.9% 72.0% 22.4% 45.2% 8.5% 14.5% 13.9% 4.1% 9.1%
H3-1 n 10 6 15 48 34 72 57 87 71 40
% 13.7% 8.2% 20.0% 71.6% 54.8% 87.8% 82.6% 80.6% 95.9% 90.9%
由表 4-35 可以發現在平行四邊形在心智圖像(填充題)，年級越高的學生，編 碼的越高的比例越高。
本研究是想要探討不同學習階段學生在四邊形及其包含關係的認知表現，因 此，將五年級學生到師培生共分為四個階段。五到七年級為第一階段，八年級與 九年級年級為第二階段，高中生為第三階段，數學系的師培生(中等教程、小學 教程)為第四階段。並進行統計分析在不同階段在平行四邊形的心智圖像(填充題) 之編碼表現上是否有顯著差異。
下表是在心智圖像(填充題)-平行四邊形的卡方分析檢驗：各編碼內不同階段 的分布是否有顯著差異，分析結果如表 4-36 與表 4-37。分析結果顯示，不同編 碼的階段分布有顯著差異，
2(9,N727)321.456,p.000,Phi.665。 表 4- 36 階段與心智圖像(填充題)-平行四邊形在編碼之卡方檢定值 df 漸近顯著性（兩端）
Pearson 卡方檢定 321.456a 9 .000
概似比 352.848 9 .000
線性對線性關聯 195.406 1 .000
有效觀察值數目 727
表 4- 37 階段與心智圖像(填充題)-平行四邊形在編碼之對稱的測量
值 大約顯著性
名義變數對名義變數 Phi .665 .000
Cramer's V .384 .000
有效觀察值數目 727
表 4- 38 階段與心智圖像(填充題)-平行四邊形在編碼之列聯表
問題 2 (1)平行四邊形 階段
1 2 3 4
H0 n 13 2 6 0
% 5.9% 1.6% 2.3% 0.0%
H1 n 4 2 5 0
% 1.8% 1.6% 1.9% 0.0%
H2 n 173 43 32 7
% 78.3% 33.3% 12.4% 5.9%
H3-1 n 31 82 216 111
% 14.0% 63.6% 83.4% 94.1%
由表 4-38 可以發現在平行四邊形在心智圖像(填充題)，階段越高的學生，編 碼的越高的比例越高。第 4 階段在 H3-1 的比例為 94.1%、在 H2 的比例為 5.9%、
在 H1 的比例為 0.0%、在 H0 的比例為 0.0%。第 3 階段在 H3-1 的比例為 83.4%、
在 H2 的比例為 12.4%、在 H1 的比例為 1.9%、在 H0 的比例為 2.3%。第 2 階段 在 H3-1 的比例為 63.6%、在 H2 的比例為 33.3%、在 H1 的比例為 1.6%、在 H0 的比例為 1.6%。第 1 階段在 H3-1 的比例為 14.0%、在 H2 的比例為 78.3%、在 H1 的比例為 1.8%、在 H0 的比例為 5.9%。
2.菱形
下表是在心智圖像(填充題)-菱形的卡方分析檢驗：各編碼內不同年級的分布 是否有顯著差異，分析結果如表 4-39 與表 4-40。分析結果顯示，不同編碼的年 級分布有顯著差異，
2(18,N727)237.368,p.000,Phi.571。表 4- 39 年級與心智圖像(填充題)-菱形在編碼之卡方檢定
值 df 漸近顯著性（兩端）
Pearson 卡方檢定 237.368a 18 .000
概似比 273.000 18 .000
線性對線性關聯 150.651 1 .000
有效觀察值數目 727
表 4- 40 年級與心智圖像(填充題)-菱形在編碼之對稱的測量
值 大約顯著性
名義變數對名義變數 Phi .571 .000
Cramer's V .404 .000
有效觀察值數目 727
表 4- 41 年級與心智圖像(填充題)-菱形在編碼之列聯表 問題 2 (2) 菱
形
年級
5 6 7 8 9 10 11 12 小教 中教 H0 n 13 10 18 4 4 6 9 12 0 0
% 17.8% 13.7% 24.0% 6.0% 6.5% 7.3% 13.0% 11.1% 0.0% 0.0%
H1 n 48 59 49 29 33 21 23 31 10 3
% 65.8% 80.8% 65.3% 43.3% 53.2% 25.6% 33.3% 28.7% 13.5% 6.8%
H2 n 12 4 8 34 25 55 37 65 64 41
% 16.4% 5.5% 10.7% 50.7% 40.3% 67.1% 53.6% 60.2% 86.5% 93.2%
由表 4-41 可以發現在菱形在心智圖像(填充題)，年級越高的學生，編碼的越 高的比例越高。
本研究是想要探討不同學習階段學生在四邊形及其包含關係的認知表現，因 此，將五年級學生到師培生共分為四個階段。五到七年級為第一階段，八年級與 九年級年級為第二階段，高中生為第三階段，數學系的師培生(中等教程、小學 教程)為第四階段。並進行統計分析在不同階段在菱形的心智圖像(填充題)之編碼 表現上是否有顯著差異。
下表是在心智圖像(填充題)-菱形的卡方分析檢驗：各編碼內不同階段的分布 是否有顯著差異，分析結果如表 4-42 與表 4-43。分析結果顯示，不同編碼的階 段分布有顯著差異，
2(6,N727)224.633,p.000,Phi.556。表 4- 42 階段與心智圖像(填充題)-菱形在編碼之卡方檢定
值 df 漸近顯著性（兩端）
Pearson 卡方檢定 224.633a 6 .000
概似比 259.090 6 .000
線性對線性關聯 173.863 1 .000
有效觀察值數目 727
表 4- 43 階段與心智圖像(填充題)-菱形在編碼之對稱的測量
值 大約顯著性
名義變數對名義變數 Phi .556 .000
Cramer's V .393 .000
有效觀察值數目 727
表 4- 44 階段與心智圖像(填充題)-菱形在編碼之列聯表
問題 2 (2) 菱形 階段
1 2 3 4
H0 n 41 8 27 0
% 18.6% 6.2% 10.4% 0.0%
H1 n 156 62 75 13
% 70.6% 48.1% 29.0% 11.0%
H2 n 24 59 157 105
% 10.9% 45.7% 60.6% 89.0%
由表 4-44 可以發現在菱形在心智圖像(填充題)，階段越高的學生，編碼的越 高的比例越高。第 4 階段在 H2 的比例為 89.0%、在 H1 的比例為 11.0%、在 H0 的比例為 0.0%。第 3 階段在 H2 的比例為 60.6%、在 H1 的比例為 29.0%、在 H0 的比例為 10.4%。第 2 階段在 H2 的比例為 45.7%、在 H1 的比例為 48.1%、在 H0 的比例為 6.2%。第 1 階段在 H2 的比例為 10.9%、在 H1 的比例為 70.6%、在 H0 的比例為 18.6%。
3.長方形
下表是在心智圖像(填充題)-長方形的卡方分析檢驗：各編碼內不同年級的分 布是否有顯著差異，分析結果如表 4-45 與表 4-46。分析結果顯示，不同編碼的 年級分布有顯著差異，
2(18,N727)222.901,p.000,Phi.554。表 4- 45 年級與心智圖像(填充題)-長方形在編碼之卡方檢定
值 df 漸近顯著性（兩端）
Pearson 卡方檢定 222.901a 18 .000
概似比 246.301 18 .000
線性對線性關聯 160.281 1 .000
有效觀察值數目 727
表 4- 46 年級與心智圖像(填充題)-長方形在編碼之對稱的測量
值 大約顯著性
名義變數對名義變數 Phi .554 .000
Cramer's V .392 .000
有效觀察值數目 727
表 4- 47 年級與心智圖像(填充題)-長方形在編碼之列聯表 問題 2 (3) 長
方形
年級
5 6 7 8 9 10 11 12 小教 中教 H0 n 7 2 11 5 1 4 4 1 0 1
% 9.6% 2.7% 14.7% 7.5% 1.6% 4.9% 5.8% .9% 0.0% 2.3%
H1 n 58 65 56 35 35 20 25 42 14 9
% 79.5% 89.0% 74.7% 52.2% 56.5% 24.4% 36.2% 38.9% 18.9% 20.5%
H2 n 8 6 8 27 26 58 40 65 60 34
% 11.0% 8.2% 10.7% 40.3% 41.9% 70.7% 58.0% 60.2% 81.1% 77.3%
由表 4-47 可以發現在長方形在心智圖像(填充題)，年級越高的學生，編碼的 越高的比例越高。
本研究是想要探討不同學習階段學生在四邊形及其包含關係的認知表現，因 此，將五年級學生到師培生共分為四個階段。五到七年級為第一階段，八年級與 九年級年級為第二階段，高中生為第三階段，數學系的師培生(中等教程、小學 教程)為第四階段。並進行統計分析在不同階段在長方形的心智圖像(填充題)之編 碼表現上是否有顯著差異。
下表是在心智圖像(填充題)-長方形的卡方分析檢驗：各編碼內不同階段的分 布是否有顯著差異，分析結果如表 4-48 與表 4-49。分析結果顯示，不同編碼的
下表是在心智圖像(填充題)-長方形的卡方分析檢驗：各編碼內不同階段的分 布是否有顯著差異，分析結果如表 4-48 與表 4-49。分析結果顯示，不同編碼的