本研究為四邊形的及其分類，因此第一節以 van Hiele 的幾何思考發展理論 (Crowley, 1987)為核心，並且引入 E. Fischbein(1993)的圖形概念(Figural Concepts)、
概念定義與概念心像以及 Duval(1995)幾何圖形瞭解。第二節為國內外的四邊形 的及其分類之研究，以及其不同的四邊形的研究方向。
第一節 幾何認知與思維發展理論
一、 van Hiele 的幾何思考發展理論
van Hiele(Crowley, 1987)夫婦，將一個人的幾何認知層次分成 0 到 4 的五個 層次：
(一) 第 0 層次：視覺期(Visualization)
學生以圖形的外表為發展概念的基礎，依據圖形整體外觀形狀辨認幾何圖形。
學生對於幾何圖形的分類是依據幾何圖形的外觀，而非幾何圖形的性質。此階段 的學生沒有辦法將特定的性質一般化為該類幾何圖形的性質，因此複製圖形時，
不會運用性質來繪製，而只是利用視覺的方式來繪製圖形。也不會利用尺規作圖 或是三角板來畫圖，而是使用比較生活化的語言來形容幾何圖形，例如：形容正 方形，會說是正正方方的，又像是某個物品等。(李源順，2013)
(二) 第 1 層次：分析期(Analysis)
學生經由觀察、測量、繪圖和製作模型等建立圖形組成要素與這些圖形間的 關係等圖形的性質。此階段的學生能夠將特定的性質一般化為該類幾何圖形的性 質，但是不能夠確定是否是特定的該類幾何圖形才有，還是該類的幾何圖形全部 都有一樣的性質。例如：會認為長方形除了四個角都是直角，還要兩邊對邊等長，
鄰邊不等長，又或是長邊為水平線。又或是菱形應該要尖端朝上下放(如同鑽石)，
若非此種類，就會無法辨識。因此，此階段的學生無法理解正方形也是一種長方
形，正方形也是一種菱形。
(三) 第 2 層次：非形式演繹期(Informal Deduction)
學生經由非正式的論證，分類圖形結構，比較各類彼此間的關係及幾何圖形 的內在屬性以及各個圖形之間包含關係。此階段的學生能夠理解幾何圖形的性質 和性質之間的關係，幾何圖形之間的包含關係。但是無法理解公設、公理、定義、
定理之間的不同，使用非形式(非嚴謹邏輯)的方式解釋數學問題。此階段的學生 會用定義去及其分類幾何圖形，例如：長方形的定義是四個角為直角，因此只要 四邊形的四個角是直角就是長方形。此階段學生就能夠理解長方形包含正方形，
正方形、長方形和菱形也是一種平行四邊形。
(四) 第 3 層次：形式演繹期(Formal Deduction)
學生能經由抽象推理、邏輯的詮釋，證明各種幾何性質和定理，且能知道證 明的方法不只一種。此階段學生能夠理解公設、公理、定義、定理之間的不同，
使用嚴謹邏輯的說明數學問題。
(五) 第 4 層次：嚴密性(Rigor)
學生能在不同的公設系統下嚴謹的推論並建立定理，包括歐式幾何和非歐幾 何，並且能分析比較這些系統的特性。
二、 E. Fischbein 的圖形概念(Figural Concept)
Fischbein E. (1993)提出幾何圖形同時具有圖形(figural)性質和概念(concepts) 性質，圖形(figural) 性質是空間上的、可以知覺到的，概念(concepts) 性質則是 抽象的、一般化的，對於幾何圖形的特殊性質或是個人的概念定義。圖形性質是 指視覺化，圖形可操作的特質，為圖形表徵。概念性質是指個體對於圖形產生的 一般化之後的數學意義、性質，是可用來邏輯推理或是結構操作，為符號表徵或 是文字表徵。當個體進行幾何解題過程時，圖形性質和概念性質必須一起作用才 能進行幾何推理，因此當不同的個體對相同的幾何圖形可能產生不同的圖形概念 (Figural Concept)。
在幾何圖形中的圖形(figural)和概念(concepts)，個體對幾何問題進行解題時，
會互相作用，即使用圖形概念(figural concepts)來解題。但是，個體可能對於圖形 產生的一些迷思，而造成在進行幾何問題解題時發生錯誤。例如：圖 2-1，三條 線交一點和兩條線交一點，問學生兩個點是：一樣大、3a 大、3b 大。在低年級，
多數學生是不知道答案是什麼。而到了三四年級，有接近一半的人是回答 3a 大，
大多是認為線比較多，因此點比較大。而在六年級，則有接近一半的人答一樣大，
能夠說明原因點和幾條線無關，點就是點，沒有大小之分。
圖 2-1 a.三條線交一點 b.兩條線交一點
三、 概念定義與概念心像
Vinner & Tall(1981)提出概念定義(concept definition)是使用文字且非常準確 解釋概念。當教師提出一個概念時，雖然希望學生透過概念定義來思考，但是學 生會使用自己的概念心像(concept image)來解決問題。學生的概念心像是學生在 心理所有跟這個概念有關的心智圖像(mental pictures )以及相關的性質
(properties )與過程(processes )，這時候可能發展出自己的個人概念定義(personal concept definition)，而前述的概念定義(concept definition)應稱之為正式的概念定 義(formal concept definition)。
是指在 P 的腦中所有與 C 相關聯的所有圖像的集合(Vinner , 1983)。心智圖像是 指任何形式的表徵，例如圖像(picture)、符號形式(symbolic form)、圖形(graph) 等(謝佳叡，2011)。
Vinner(1991)認為概念定義與概念心像是互相影響，事實上，學生不會透過 概念定義去回答數學問題，學生習慣以自己的概念心像去回答數學問題。
Vinner(1983)提出學生的概念心像會包含典範現象，如果教師起始例子是教特殊 例，此時學生的概念心像就會有些許的錯誤。例如：長方形的典範例，除了四個 角是直角，還要鄰邊不相等，甚至有學生會覺得長邊必須是水平的。
Vinner(1983)指出教師希望學生能夠直接將概念定義變成自己的概念心像，
如圖 2-2，但是其實很難達成。
圖 2-2 由概念定義形成概念心像
Vinner(1991)提出四種學生解題的歷程，教師通常認為學生會去找相關的定 義，然後再透過概念心像來解決問題，如圖 2-3，但是實際上學生並不會透過概 念定義解題。
圖 2-3 學生以概念定義並且透過概念心像後回答問題 概念定義
(concept definition)
概念心像 (concept image)
概念定義 (concept definition)
概念心像 (concept image)
輸入問題 輸出
學生只運用概念定義，完全不透過概念心像來解決問題，如圖 2-4，形式演 繹的方式來解決問題。
圖 2- 4 學生以概念定義回答問題(形式演繹)
學生運用概念心像找到例子(解題方向)，並且透過概念定義解決問題，但是 有時候例子會有錯誤或是特殊性，造成解題錯誤，如圖 2-5，直覺式的形式演繹。
圖 2- 5 學生透過概念心像找到方向，最後運用概念定義解決問題 概念定義
(concept definition)
概念心像 (concept image)
輸入問題 輸出
概念定義 (concept definition)
概念心像 (concept image)
輸入問題 輸出
學生運用概念心像解決問題，完全不透過概念定義來解決問題，此時容易發 生錯誤，可能會產生迷思概念，如圖 2-6。
圖 2- 6 學生只透過概念心像解決問題
圖 2-2 是教師希望學生處理問題的流程，但是實際上大多數學生是在遇到問 題時，最常使用概念心像解決問題，而且不常使用概念定義，因此對於學生的概 念心像的研究才如此重要。
四、 Duval(1995)幾何圖形瞭解
Duval(1995)的幾何圖形瞭解，是對於幾何問題情境中的物件關係，提供了 許多直觀的想法，但是卻無法幫助學生解決問題，使得學生經常面對幾何圖形時 無從下手。因此為了分析具有啟發性(heuristic)的圖形，Duval 認為學生應從認知 理解(cognitive apprehensions)著手，將學生對於幾何圖形的認知理解分為四種：
(一) 知覺性瞭解(perceptual apprehension)
知覺性瞭解是個體當一個圖形被提出，必定喚起個體對於知覺性的瞭解及至 少一個其他的瞭解。當個體要辨識幾何圖形的一種認知歷程。個體能知覺到的是 該幾何圖形所呈現的組織法則與繪圖線索，並將這些訊息整合成一個整體性的辨 識過程。個體因為前面所述的法則與線索，而使以知覺性理解方式所產生的心像 與視網膜圖像不同。視網膜圖像會因為實體物的改變而變化，通常是感官所處理。
而知覺性理解後的心像保留了被整合過的法則與線索，已進入腦內工作區中，且 概念定義
(concept definition)
概念心像 (concept image)
輸入問題 輸出
個體亦可能因為法則與線索所伴隨著的某些錯誤產生錯誤的知覺性理解。此外，
由於一個幾何圖形常由幾個子圖所構成，因此除了完形(gestalts)的辨識之外，知 覺性理解亦包含了子圖形辨識以及這些幾何圖形之命名(黃哲男，2002)。
(二) 構圖性瞭解(sequential apprehension)
構圖性瞭解是個體依次序逐次作出基本單元而組合成整個圖形的瞭解。構圖 性理解是個體構造一個幾何圖形或是描述其結構的一種認知歷程。個體對於幾何 圖形的基本組織之構圖性理解不是依賴視覺的法則與線索，而是個體對於作圖工 具之限制(如直尺、原規、動態幾何軟體)與數學性質的理解。因此若個體不了解 相關的數學性質與作圖工具之限制，就有可能無法完成目標圖形。
(三) 論述性瞭解(discursive apprehension)
論述性瞭解是個體對一個幾何圖形基本的名稱、假設、已知條件的瞭解。論 述性理解是個體使用語言或文字表徵來描述一個幾何圖形所具有的性質或進行 推理活動的認知歷程。個體無法透過知覺性瞭解來判斷一個幾何圖形所呈現的數 學性質，且對於同一個幾何圖形而言，每個個體所見的脈絡與性質都不盡相同。
對於幾何圖形的說明能顯示個體對圖形的理解程度，因此沒有任何說明的圖形就 是一種模糊的表徵。
(四) 操作性瞭解(operational apprehension)
操作性瞭解是觀察圖形時，能夠透過操作圖形來得到解題的靈感，而在以不 同的方式更改圖形之後，得到操作性的瞭解。操作性理解是個體轉換心像或實體 圖像的一種認知歷程。在幾何問題中，一種或數種操作能使圖形呈現出解題的策 略。操作幾何圖形的方式可分為以下三種：
1. 分解組合方式(The mereologic way)：將完整的幾何圖像分割成數個不 同形狀的幾何圖形，再將數個不同形狀的幾何圖形組合成另一個幾何 圖形。
2. 光學方式(The optic way)：將幾何圖形放大、縮小、鏡射或是傾斜。