第一節 研究結論
本研究為研究學生對於四邊形的及其分類，研究方法為透過個人的概念定義 與概念心來找出學生在 van Hiele 的幾何思考發展層次，並且嘗試找出學生的認 知困難，相關結論如下：
一、不同階段的學生對於各種四邊形的個人的概念定義
由學習四邊形的階段以及學生學習的狀況，將五年級學生到師培生共分為四 個階段。五到七年級為第一階段，八年級與九年級年級為第二階段，高中生為第 三階段，師培生(中等教程、小學教程)為第四階段。
第一階段中有七成左右的學生有在個人的概念定義表現的編碼為 H0，只能 畫出圖形，沒有在圖形上說明，或是沒有任何文字說明。
第二階段中有五成左右的學生在個人的概念定義表現的編碼為 H2，這個編 碼的學生能夠正確的寫出特殊四邊形的完整定義，不將圖形限定在特殊例(典範 圖形)。另一半的學生是編碼 H0，只能畫出圖形且沒有在圖上說明，或是沒有任 何文字說明，明顯優於第一階段的學生。
第三階段中有六成左右的學生在個人的概念定義表現的編碼為 H2。此階段 的學生優於第二階段學生，有更高的比例的學生能夠掌握特殊四邊形的完整定 義。
第四階段中有九成左右的學生在個人的概念定義表現的編碼為 H2，此階段 的學生幾乎都能夠完整的寫出特殊四邊形的正確定義，明顯比其他三個階段學生 有更高的編碼表現。
二、不同階段的學生對於各種四邊形的辨識與推理
由學習四邊形的階段以及學生學習的狀況，將五年級學生到師培生共分為四 個階段。五到七年級為第一階段，八年級與九年級年級為第二階段，高中生為第 三階段，師培生(中等教程、小學教程)為第四階段。
(一) 心智圖像
第一階段中有八成左右的學生在概念心像中的心智圖像的表現為編碼 H1(平行四邊形為編碼 H2)，除了梯形的心智圖像表現的編碼為 H0 的五成左右之 外，其他四種特殊四邊形(平行四邊形、菱形、長方形、正方形、箏形)大多數都 在 H1。而梯形的編碼 H0 的學生則是因為選擇了編號 16 的圖形，此類學生被編 號 16 的外形(斜邊)所影響，而認為編號 16 是梯形。
第二階段中有五成左右的學生在概念心像中的心智圖像的表現為最高編碼 (平行四邊形為 H3-1，菱形、長方形、正方形為 H2)，除了箏形與梯形的編碼表 現分別在編碼 H1(61%)和編碼 H0(50%)比例較高之外，約有一半的第二階段學生 已經有特殊四邊形的及其包含關係。但是大多數第二階段的學生在箏形的編碼表 現為 H1，而梯形的編碼表現為 H0 是學生梯形的定義不清，有一半的學生認為 梯形包含平行四邊形、菱形、長方形、正方形、箏形。
第三階段中有七成左右的學生在概念心像中的心智圖像的表現為最高編碼 (平行四邊形為 H3-1，菱形、長方形、正方形為 H2)，梯形也有一半以上的學生 的編碼為 H2，除了箏形的編碼表現為 H1(50%)比例較高，此階段大部分的學生 在其他特殊四邊形的及其包含關係已經趨於完整。但也有 25%左右的學生認為梯 形包含平行四邊形、菱形、長方形、正方形、箏形。
第四階段中約有九成左右的學生在概念心像中的心智圖像的表現為最高編 碼(平行四邊形為 H3-1，菱形、長方形、正方形為 H2)，箏形的心智圖像之表現 有半數以上學生在最高編碼 H3-1，梯形則是有七成左右的學生在最高編碼 H2。
此階段的學生特殊四邊形的及其包含關係已經非常完整，但此階段也有 2 成左右 的學生認為梯形包含平行四邊形、菱形、長方形、正方形。
(二) 性質
第一階段中有六成左右的學生在概念心像中的性質的表現為編碼 H1(平行 四邊形為編碼 H2)，在箏形的性質之編碼表現有八成左右的學生為編碼 H1。此 階段學生使用特殊例(典範圖形)來判斷特殊四邊形的性質。
在概念心像中的性質的編碼表現上，統計分析發現，第三階段學生略優於第 二階段學生。這兩個階段中有七成左右的學生在概念心像中的性質之編碼表現為 最高編碼(平行四邊形為 H3-1，長方形和菱形為 H2)，在箏形的性質之編碼表現 也有四成左右的學生為最高編碼 H3-1，但也有此二階段之學生有五成左右在箏 形的性質之編碼表現為 H1。此二階段學生在判斷性質時，已經能夠使用特殊四 邊形的一般化之性質，除了箏形上還有半數以上的學生在編碼 H1，使用箏形的 特殊例(典範圖形)來判斷。
第四階段中有九成以上的學生在概念心像中的性質的表現為最高編碼(平行 四邊形為 H3-1，長方形和菱形為 H2)，在箏形的性質編碼的表現有六成左右的 學生為最高編碼 H3-1，但也有 4 成左右的學生在箏形的性質之編碼表現為 H1。
(三)過程
1.包含關係的推論過程
第一階段中有七成左右的學生在非梯形的特殊四邊形之包含關係的編碼表 現為 H1，梯形的包含關係之表現則有九成以上的學生表現為 H1。這個階段的大 多數學生不認為特殊四邊形之間有包含關係。
在概念心像中的過程內的包含關係的推論過程之表現上，由統計分析發現，
第三階段學生略優於第二階段學生。在非梯形的特殊四邊形之包含關係的編碼表 現上，第二階段學生有三成左右的學生達編碼 H3-2，有超過一半以上的學生在 編碼 H2 以上，在平行四邊形的包含關係之編碼也有超過一半以上的學生在編碼 H3-1 以上，但沒有學生編碼是 H4。第三階段學生有四成左右的學生達編碼 H3-2，
有超過一半以上的學生在編碼 H2 以上，在平行四邊形的包含關係之編碼也有超
生在箏形的包含關係之編碼表現上約有一半以上的編碼表現在 H3-1以上。另外，
此二階段的學生在梯形的特殊四邊形的包含關係，約有三成左右的學生會認為梯 形包含平行四邊形、長方形、菱形、正方形、箏形，其編碼表現為 H0，有超過 一半的學生認為梯形不包含平行四邊形、長方形、菱形、正方形或是箏形。
第四階段中有九成以上的學生在非梯形的特殊四邊形的包含關係中之編碼 表現為 H3-2，有少數學生為 H4，在箏形的包含關係也有 7 成以上的學生之編碼 表現在 H3-2。明顯較其他三個階段的學生有更高的編碼，超過九成的學生為非 形式演繹期，甚或是形式演繹期。另外，此階段中約有 3 成左右的學生在梯形的 包含關係之編碼表現為 H0，這三成左右的學生會認為梯形包含平行四邊形、長 方形、菱形、正方形，只有非常少數(小學教程 8.1%、中等教程 4.5%)的學生會 認為梯形包含箏形。
2. 結構操作或推理
第一階段中有半數學生在第九題的外接圓之編碼表現為 H0，在第 10 題的部 分則有六成以上的學生可以看出或是量測出圖形是平行四邊形或是菱形。
在概念心像中的過程內的結構操作或推理之表現上，由統計分析發現，第三 階段學生略優於第二階段學生。此二階段學生在第九題的表現，有一半以上學生 能夠回答長方形(或正方形)，約有 10%的學生能夠進行說明，只有少數的高中學 生能夠使用推理證明。在第十題的表現，則是有超過八成以上的學生能夠看出是 平行四邊形或是菱形，約有一半以上的學生能夠寫出因為長方形與平行四邊形的 包含關係。此二階段的大多數學生在概念心像中的過程內的結構操作或推理之表 現為編碼 H3-1，約有 10%的學生之編碼表現為 H3-2，即非形式演繹期。
第四階段中有七成以上之學生在概念心像中的過程內的結構操作或推理之 表現編碼為 H3-1 以上之編碼，約有 20%左右在此階段的學生能夠進行說明，表 現編碼為 H3-2，即非形式演繹期。小學數學師培生有約 10%可以進行推理證明，
中等數學師培生則有約 35%可以進行推理證明，編碼表現為 H4，即形式演繹期。
三、不同階段的學生在四邊形及其包含關係的認知結構
由學習四邊形的階段以及學生學習的狀況，將五年級學生到師培生共分為四 個階段。五到七年級為第一階段，八年級與九年級年級為第二階段，高中生為第 三階段，師培生(中等教程、小學教程)為第四階段。
第一階段學生在個人的概念定義表現上是編碼 H0。第二階段中有一半的學 生在個人的概念定義表現上是編碼 H2，一半為編碼 H0。第三階段中除了高三學 生之外，也是有一半的學生在個人的概念定義表現上是編碼 H2，一半為編碼H0；
高三學生則有七成的學生在個人的概念定義表現上是編碼 H2。第四階段的學生 在個人的概念定義表現編碼上是 H2。
第一階段學生在概念心像(心智圖像、性質、過程)的表現上是編碼 H1。第 二階段與第三階段學生在概念心像(心智圖像、性質、過程)的表現上是編碼H3-1，
有 10%的學生會達到編碼 H3-2。第四階段學生在概念心像(心智圖像、性質、過 程)的表現上是編碼 H3-1 以上(含 H3-2 與 H4)，約有 20%的學生達到編碼 H3-2，
即非形式演繹期。而在第四階段學生中，小學數學師培生則有約 10%可以進行推 理證明，中等數學師培生則有約 35%可以進行推理證明，編碼表現為 H4，即形 式演繹期。
本研究的研究對象是五年級學生到大學生，是以縱觀來看四邊形及其包含關 係的認知表現；在此研究之前，我國研究四邊形及其包含關係的研究對象沒有從 五年級學生到大學生，大多數研究對象只有國小階段學生或是只有國中階段學生。
並且，由本研究可以看到七年級與八年級的學生之認知表現的確有所不同，因此 教師在進行四邊形的包含關係之教學時必須知道其先備知識是沒有包含關係之 存在，並以此為依據進行教學活動設計。