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不同學習階段學生在四邊形及其包含關係的認知表現

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Academic year: 2021

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(1)國立臺灣師範大學數學系碩士班碩士論文. 指導教授:左台益 博士. 不同學習階段學生在四邊形及其包含關係的認 知表現. 研 究 生:詹凡儀. 撰. 中 華 民 國 一 ○ 八 年 八 月.

(2) 摘要 本研究目的在了解小學五年級學生到高中學生,及數學系的師培生對於四邊 形及其包含關係的認知結構。 本研究以 Taro Fujita & Keith Jones(2006, 2007)以及 Taro Fujita(2008,2012)的 四邊形及其包含關係的架構為基礎,並參考 Michael de Villiers(2009)以及 Emine Gaye Ç ONTAY& Asuman DUATEPE PAKSU (2012)的問卷內容來設計問卷。 本研究之對象為臺北市學生從五年級一直到師培生。本次總計 26 個班,共 895 份問卷。進行無效問卷處理(題目未答、亂答者),共 727 份有效問卷,有效 回收率達 81.2%。 依據四邊形的認知結構編碼:H0 透過外形來辨識四邊形,H1 透過典範圖形 的組成元素進行及其分類,H2 透過圖形的部分的組成元素和性質並直接且明顯 的進行包含的層次關係,H3-1 透過圖形之間的組成元素與性質關係並完整但直 觀的進行包含的層次關係,H3-2 透過四邊形之間的性質關係辨識四邊形並依非 形式演繹的說明四邊形的包含層次關係,H4 透過四邊形之間的性質關係辨識四 邊形並嚴謹邏輯的說明四邊形的包含層次關係;本研究發現: 1.. 將五年級學生到師培生共分為四個階段。五到七年級為第一階段,八年級 與九年級年級為第二階段,高中生為第三階段,師培生(中等教程、小學教 程)為第四階段。. 2.. 第一階段學生在個人的概念定義表現為編碼 H0,只能畫出圖形,對於使 用文字描述特殊四邊形是非常困難的。在概念心像的表現則為編碼 H1, 使用典範圖形判斷四邊形,沒有建立特殊四邊形的包含關係。. 3.. 第三階段學生略優於第二階段學生。兩個階段學生有一半以上學生能夠正 確寫出各種四邊形的定義,編碼為 H2。在概念心像的表現為編碼 H3-1, 平行四邊形、長方形、菱形與正方形之間的包含關係已經完整。有一半的 學生有完整的箏形的包含關係。有三成的學生因梯形定義不清而認為梯形 I.

(3) 包含平行四邊形、長方形、菱形、正方形、箏形。 4.. 第四階段學生已經有特殊四邊形的完整的包含關係。但也有三成的學生因 梯形定義不清而認為梯形包含平行四邊形、長方形、菱形、正方形。此階 段學生大多數之編碼為 H3-2,即 van Hiele 的非形式演繹期。有部分學生 能達到 H4,為 van Hiele 的形式演繹期。. 研究建議未來可以增加平行四邊形與正方形包含關係之問題,或是對其他地 區、非數學系的國小師培生來進行研究。也可嘗試將問卷題目做分割來取得更多 有效問卷、增加問卷效度或是將問卷題目之語句做更改增加誘答力。. 關鍵字:van Hiele、四邊形、包含關係、非形式演繹期、形式演繹期. II.

(4) 目錄 摘要 目錄 表目錄 圖目錄. I III IV X. 第壹章. 緒論 ................................................... 1. 第一節. 研究背景與動機 ..................................................................................... 1. 第二節. 研究目的與問題 ..................................................................................... 4. 第三節. 名詞解釋 ................................................................................................. 5. 第貳章. 文獻探討 ............................................... 6. 第一節 幾何認知與思維發展理論.............................................................................. 6 第二節 四邊形的及其分類之研究............................................................................ 13. 第參章. 研究設計與方法 ........................................ 23. 第一節 研究設計與架構 ........................................................................................... 23 第二節 研究對象與抽樣 ........................................................................................... 24 第三節 研究步驟與工具 ........................................................................................... 25. 第肆章. 研究結果 .............................................. 45. 第一節. 不同階段的學生對於各種四邊形的個人的概念定義 .......................... 45. 第二節. 不同階段的學生對於各種四邊形的辨識與推理 .................................. 57. 第三節. 不同階段的學生在四邊形及其包含關係的認知結構 ........................ 138. 第伍章. 結論 ..................................................144. 第一節. 研究結論 ............................................................................................. 144. 第二節. 未來研究方向的建議 .......................................................................... 149. 參考文獻 附錄. 151 155. 附錄一、問卷內容 .................................................................................................. 155. III.

(5) 表目錄 表 2- 1 英國小學師培生(大三)在包含關係之答對率 ........................................... 17 表 3- 1 分年級之有效問卷數 ................................................................................. 24 表 3- 2 編碼與操作性定義 .................................................................................... 28 表 3- 3 第 1 題的編碼內容 ..................................................................................... 29 表 3- 4 第 2 題的編碼內容 ..................................................................................... 31 表 3- 5 第 3 題至第 5 題的編碼內容 ...................................................................... 32 表 3- 6 第 6 題的編碼內容 ..................................................................................... 33 表 3- 7 第 7 題的編碼內容 ..................................................................................... 34 表 3- 8 第 8 題的編碼內容 .................................................................................... 40 表 3- 9 第 8 題修改後的編碼內容......................................................................... 41 表 3- 10 第 9 題的編碼內容 .................................................................................. 41 表 3- 11 第 10 題的編碼內容 ................................................................................ 42 表 3- 12 問卷信度分析結果 .................................................................................. 44 表 4- 1 不同年級的學生對於各種四邊形的個人的概念定義之編碼的比例 ........ 46 表 4- 2 年級與個人的概念定義-平行四邊形在編碼之卡方檢定 .......................... 47 表 4- 3 年級與個人的概念定義-平行四邊形在編碼之對稱的測量 ...................... 47 表 4- 4 年級與個人的概念定義-平行四邊形在編碼之列聯表 ............................. 47 表 4- 5 階段與個人的概念定義-平行四邊形在編碼之卡方檢定 .......................... 48 表 4- 6 階段與個人的概念定義-平行四邊形在編碼之對稱的測量 ...................... 48 表 4- 7 階段與個人的概念定義-平行四邊形在編碼之列聯表 .............................. 48 表 4- 8 年級與個人的概念定義-正方形在編碼之卡方檢定 .................................. 49 表 4- 9 年級與個人的概念定義-正方形在編碼之對稱的測量 .............................. 49 表 4- 10 年級與個人的概念定義-正方形在編碼之列聯表 ................................... 49 表 4- 11 階段與個人的概念定義-正方形在編碼之卡方檢定 ................................ 50 表 4- 12 階段與個人的概念定義-正方形在編碼之對稱的測量 ............................ 50 表 4- 13 階段與個人的概念定義-正方形在編碼之列聯表 .................................... 50 表 4- 14 年級與個人的概念定義-長方形在編碼之卡方檢定 ................................ 51 表 4- 15 年級與個人的概念定義-長方形在編碼之對稱的測量 ............................ 51 表 4- 16 年級與個人的概念定義-長方形在編碼之列聯表 ................................... 51 表 4- 17 階段與個人的概念定義-長方形在編碼之卡方檢定 ................................ 52 表 4- 18 階段與個人的概念定義-長方形在編碼之對稱的測量 ............................ 52 表 4- 19 階段與個人的概念定義-長方形在編碼之列聯表 .................................... 52 表 4- 20 年級與個人的概念定義-梯形在編碼之卡方檢定 .................................... 53 表 4- 21 年級與個人的概念定義-梯形在編碼之對稱的測量 ................................ 53 表 4- 22 年級與個人的概念定義-梯形在編碼之列聯表....................................... 53 IV.

(6) 表 4- 23 階段與個人的概念定義-梯形在編碼之卡方檢定 .................................... 54 表 4- 24 階段與個人的概念定義-梯形在編碼之對稱的測量 ................................ 54 表 4- 25 階段與個人的概念定義-梯形在編碼之列聯表........................................ 54 表 4- 26 年級與個人的概念定義-菱形在編碼之卡方檢定 .................................... 55 表 4- 27 年級與個人的概念定義-菱形在編碼之對稱的測量 ................................ 55 表 4- 28 年級與個人的概念定義-菱形在編碼之列聯表....................................... 55 表 4- 29 階段與個人的概念定義-菱形在編碼之卡方檢定 .................................... 56 表 4- 30 階段與個人的概念定義-菱形在編碼之對稱的測量 ................................ 56 表 4- 31 階段與個人的概念定義-菱形在編碼之列聯表........................................ 56 表 4- 32 不同年級的學生對於各種四邊形的心智圖像(填充題)之編碼的比例(單位: %).................................................................................................................... 58 表 4- 33 年級與心智圖像(填充題)-平行四邊形在編碼之卡方檢定...................... 59 表 4- 34 年級與心智圖像(填充題)-平行四邊形在編碼之對稱的測量 .................. 59 表 4- 35 年級與心智圖像(填充題)-平行四邊形在編碼之列聯表 ........................ 60 表 4- 36 階段與心智圖像(填充題)-平行四邊形在編碼之卡方檢定...................... 60 表 4- 37 階段與心智圖像(填充題)-平行四邊形在編碼之對稱的測量 .................. 61 表 4- 38 階段與心智圖像(填充題)-平行四邊形在編碼之列聯表 ......................... 61 表 4- 39 年級與心智圖像(填充題)-菱形在編碼之卡方檢定 ................................. 62 表 4- 40 年級與心智圖像(填充題)-菱形在編碼之對稱的測量 ............................. 62 表 4- 41 年級與心智圖像(填充題)-菱形在編碼之列聯表 .................................... 62 表 4- 42 階段與心智圖像(填充題)-菱形在編碼之卡方檢定 ................................. 63 表 4- 43 階段與心智圖像(填充題)-菱形在編碼之對稱的測量 ............................. 63 表 4- 44 階段與心智圖像(填充題)-菱形在編碼之列聯表 ..................................... 63 表 4- 45 年級與心智圖像(填充題)-長方形在編碼之卡方檢定 ............................. 64 表 4- 46 年級與心智圖像(填充題)-長方形在編碼之對稱的測量 ......................... 64 表 4- 47 年級與心智圖像(填充題)-長方形在編碼之列聯表 ................................ 64 表 4- 48 階段與心智圖像(填充題)-長方形在編碼之卡方檢定 ............................. 65 表 4- 49 階段與心智圖像(填充題)-長方形在編碼之對稱的測量 ......................... 65 表 4- 50 階段與心智圖像(填充題)-長方形在編碼之列聯表 ................................. 65 表 4- 51 年級與心智圖像(填充題)-正方形在編碼之卡方檢定 ............................. 66 表 4- 52 年級與心智圖像(填充題)-正方形在編碼之對稱的測量 ......................... 66 表 4- 53 年級與心智圖像(填充題)-正方形在編碼之列聯表 ................................ 66 表 4- 54 階段與心智圖像(填充題)-正方形在編碼之卡方檢定 ............................. 67 表 4- 55 階段與心智圖像(填充題)-正方形在編碼之對稱的測量 ......................... 67 表 4- 56 階段與心智圖像(填充題)-正方形在編碼之列聯表 ................................. 67 表 4- 57 年級與心智圖像(填充題)-箏形在編碼之卡方檢定 ................................. 68 表 4- 58 年級與心智圖像(填充題)-箏形在編碼之對稱的測量 ............................. 68 表 4- 59 年級與心智圖像(填充題)-箏形在編碼之列聯表 .................................... 68 V.

(7) 表 4- 60 階段與心智圖像(填充題)-箏形在編碼之卡方檢定 ................................. 69 表 4- 61 階段與心智圖像(填充題)-箏形在編碼之對稱的測量 ............................. 69 表 4- 62 階段與心智圖像(填充題)-箏形在編碼之列聯表 ..................................... 69 表 4- 63 年級與心智圖像(填充題)-梯形在編碼之卡方檢定 ................................. 70 表 4- 64 年級與心智圖像(填充題)-梯形在編碼之對稱的測量 ............................. 70 表 4- 65 年級與心智圖像(填充題)-梯形在編碼之列聯表 .................................... 70 表 4- 66 階段與心智圖像(填充題)-梯形在編碼之卡方檢定 ................................. 71 表 4- 67 階段與心智圖像(填充題)-梯形在編碼之對稱的測量 ............................. 71 表 4- 68 階段與心智圖像(填充題)-梯形在編碼之列聯表 ..................................... 71 表 4- 69 不同年級的學生對於各種四邊形的概念心像中的心智圖像(勾選題)之編 碼的比例......................................................................................................... 72 表 4- 70 年級與心智圖像(勾選題)-平行四邊形在編碼之卡方檢定...................... 73 表 4- 71 年級與心智圖像(勾選題)-平行四邊形在編碼之對稱的測量 .................. 74 表 4- 72 年級與心智圖像(勾選題)-平行四邊形在編碼之列聯表 ........................ 74 表 4- 73 階段與心智圖像(勾選題)-平行四邊形在編碼之卡方檢定...................... 75 表 4- 74 階段與心智圖像(勾選題)-平行四邊形在編碼之對稱的測量 .................. 75 表 4- 75 階段與心智圖像(勾選題)-平行四邊形在編碼之列聯表 ......................... 75 表 4- 76 年級與心智圖像(勾選題)-長方形在編碼之卡方檢定 ............................. 76 表 4- 77 年級與心智圖像(勾選題)-長方形在編碼之對稱的測量 ......................... 76 表 4- 78 年級與心智圖像(勾選題)-長方形在編碼之列聯表 ................................ 76 表 4- 79 階段與心智圖像(勾選題)-長方形在編碼之卡方檢定 ............................. 77 表 4- 80 階段與心智圖像(勾選題)-長方形在編碼之對稱的測量 ......................... 77 表 4- 81 階段與心智圖像(勾選題)-長方形在編碼之列聯表 ................................. 77 表 4- 82 年級與心智圖像(勾選題)-菱形在編碼之卡方檢定 ................................. 78 表 4- 83 年級與心智圖像(勾選題)-菱形在編碼之對稱的測量 ............................. 78 表 4- 84 年級與心智圖像(勾選題)-菱形在編碼之列聯表 .................................... 78 表 4- 85 階段與心智圖像(勾選題)-菱形在編碼之卡方檢定 ................................. 79 表 4- 86 階段與心智圖像(勾選題)-菱形在編碼之對稱的測量 ............................. 79 表 4- 87 階段與心智圖像(勾選題)-菱形在編碼之列聯表 ..................................... 79 表 4- 88 不同年級的學生對於各種四邊形的概念心像中的性質之編碼的比例 .. 80 表 4- 89 年級與性質-平行四邊形在編碼之卡方檢定 ........................................... 81 表 4- 90 年級與性質-平行四邊形在編碼之對稱的測量........................................ 81 表 4- 91 年級與性質-平行四邊形在編碼之列聯表 .............................................. 82 表 4- 92 階段與性質-平行四邊形在編碼之卡方檢定 ........................................... 82 表 4- 93 階段與性質-平行四邊形在編碼之對稱的測量........................................ 83 表 4- 94 階段與性質-平行四邊形在編碼之列聯表 ............................................... 83 表 4- 95 年級與性質-長方形在編碼之卡方檢定 ................................................... 84 表 4- 96 年級與性質-長方形在編碼之對稱的測量 ............................................... 84 VI.

(8) 表 4- 97 年級與性質-長方形在編碼之列聯表 ...................................................... 84 表 4- 98 階段與性質-長方形在編碼之卡方檢定 ................................................... 85 表 4- 99 階段與性質-長方形在編碼之對稱的測量 ............................................... 85 表 4- 100 階段與性質-長方形在編碼之列聯表 ..................................................... 85 表 4- 101 年級與性質-菱形在編碼之卡方檢定 ..................................................... 86 表 4- 102 年級與性質-菱形在編碼之對稱的測量 ................................................. 86 表 4- 103 年級與性質-菱形在編碼之列聯表 ........................................................ 86 表 4- 104 階段與性質-菱形在編碼之卡方檢定 ..................................................... 87 表 4- 105 階段與性質-菱形在編碼之對稱的測量 ................................................. 87 表 4- 106 階段與性質-菱形在編碼之列聯表 ......................................................... 87 表 4- 107 年級與性質-箏形在編碼之卡方檢定 ..................................................... 88 表 4- 108 年級與性質-箏形在編碼之對稱的測量 ................................................. 88 表 4- 109 年級與性質-箏形在編碼之列聯表 ........................................................ 88 表 4- 110 階段與性質-箏形在編碼之卡方檢定 ..................................................... 89 表 4- 111 階段與性質-箏形在編碼之對稱的測量.................................................. 89 表 4- 112 階段與性質-箏形在編碼之列聯表 ......................................................... 89 表 4- 113 不同年級的學生對於各種四邊形的包含關係的推論過程(第 7 題)之編碼 的比例(單位:%) ........................................................................................... 92 表 4- 114 年級與判斷包含關係-平行四邊形&菱形在編碼之卡方檢定................ 94 表 4- 115 年級與判斷包含關係-平行四邊形&菱形在編碼之對稱的測量 ............ 95 表 4- 116 年級與判斷包含關係-平行四邊形&菱形在編碼之列聯表................... 95 表 4- 117 階段與判斷包含關係-平行四邊形&菱形在編碼之卡方檢定................ 96 表 4- 118 階段與判斷包含關係-平行四邊形&菱形在編碼之對稱的測量 ............ 96 表 4- 119 階段與判斷包含關係-平行四邊形&菱形在編碼之列聯表 ................... 96 表 4- 120 年級與判斷包含關係-平行四邊形&長方形在編碼之卡方檢定............ 97 表 4- 121 年級與判斷包含關係-平行四邊形&長方形在編碼之對稱的測量 ........ 97 表 4- 122 年級與判斷包含關係-平行四邊形&長方形在編碼之列聯表 .............. 98 表 4- 123 階段與判斷包含關係-平行四邊形&長方形在編碼之卡方檢定............ 98 表 4- 124 階段與判斷包含關係-平行四邊形&長方形在編碼之對稱的測量 ........ 99 表 4- 125 階段與判斷包含關係-平行四邊形&長方形在編碼之列聯表 ............... 99 表 4- 126 年級與判斷包含關係-正方形&菱形在編碼之卡方檢定 ......................100 表 4- 127 年級與判斷包含關係-正方形&菱形在編碼之對稱的測量 ..................100 表 4- 128 年級與判斷包含關係-正方形&菱形在編碼之列聯表 .........................100 表 4- 129 階段與判斷包含關係-正方形&菱形在編碼之卡方檢定 ......................101 表 4- 130 階段與判斷包含關係-正方形&菱形在編碼之對稱的測量 ..................101 表 4- 131 階段與判斷包含關係-正方形&菱形在編碼之列聯表 ..........................102 表 4- 132 年級與判斷包含關係-正方形&長方形在編碼之卡方檢定 ..................103 表 4- 133 年級與判斷包含關係-正方形&長方形在編碼之對稱的測量 ..............103 VII.

(9) 表 4- 134 年級與判斷包含關係-正方形&長方形在編碼之列聯表 .....................103 表 4- 135 階段與判斷包含關係-正方形&長方形在編碼之卡方檢定 ..................104 表 4- 136 階段與判斷包含關係-正方形&長方形在編碼之對稱的測量 ..............104 表 4- 137 階段與判斷包含關係-正方形&長方形在編碼之列聯表 ......................105 表 4- 138 年級與判斷包含關係-正方形&箏形在編碼之卡方檢定 ......................106 表 4- 139 年級與判斷包含關係-正方形&箏形在編碼之對稱的測量 ..................106 表 4- 140 年級與判斷包含關係-正方形&箏形在編碼之列聯表 .........................106 表 4- 141 階段與判斷包含關係-正方形&箏形在編碼之卡方檢定 ......................107 表 4- 142 階段與判斷包含關係-正方形&箏形在編碼之對稱的測量 ..................107 表 4- 143 階段與判斷包含關係-正方形&箏形在編碼之列聯表 ..........................108 表 4- 144 年級與判斷包含關係-菱形&箏形在編碼之卡方檢定 ..........................109 表 4- 145 年級與判斷包含關係-菱形&箏形在編碼之對稱的測量 ......................109 表 4- 146 年級與判斷包含關係-菱形&箏形在編碼之列聯表 .............................109 表 4- 147 階段與判斷包含關係-菱形&箏形在編碼之卡方檢定 .......................... 110 表 4- 148 階段與判斷包含關係-菱形&箏形在編碼之對稱的測量 ...................... 110 表 4- 149 階段與判斷包含關係-菱形&箏形在編碼之列聯表 .............................. 111 表 4- 150 年級與判斷包含關係-平行四邊形&梯形在編碼之卡方檢定 .............. 112 表 4- 151 年級與判斷包含關係-平行四邊形&梯形在編碼之對稱的測量........... 112 表 4- 152 年級與判斷包含關係-平行四邊形&梯形在編碼之列聯表 ................. 112 表 4- 153 階段與判斷包含關係-平行四邊形&梯形在編碼之卡方檢定 .............. 113 表 4- 154 階段與判斷包含關係-平行四邊形&梯形在編碼之對稱的測量........... 113 表 4- 155 階段與判斷包含關係-平行四邊形&梯形在編碼之列聯表 .................. 114 表 4- 156 年級與判斷包含關係-長方形&梯形在編碼之卡方檢定 ...................... 115 表 4- 157 年級與判斷包含關係-長方形&梯形在編碼之對稱的測量 .................. 115 表 4- 158 年級與判斷包含關係-長方形&梯形在編碼之列聯表 ......................... 115 表 4- 159 階段與判斷包含關係-長方形&梯形在編碼之卡方檢定 ...................... 116 表 4- 160 階段與判斷包含關係-長方形&梯形在編碼之對稱的測量 .................. 116 表 4- 161 階段與判斷包含關係-長方形&梯形在編碼之列聯表 .......................... 117 表 4- 162 年級與判斷包含關係-菱形&梯形在編碼之卡方檢定 .......................... 118 表 4- 163 年級與判斷包含關係-菱形&梯形在編碼之對稱的測量 ...................... 118 表 4- 164 年級與判斷包含關係-菱形&梯形在編碼之列聯表 ............................. 118 表 4- 165 階段與判斷包含關係-菱形&梯形在編碼之卡方檢定 .......................... 119 表 4- 166 階段與判斷包含關係-菱形&梯形在編碼之對稱的測量 ...................... 119 表 4- 167 階段與判斷包含關係-菱形&梯形在編碼之列聯表 ..............................120 表 4- 168 年級與判斷包含關係-正方形&梯形在編碼之卡方檢定 ......................121 表 4- 169 年級與判斷包含關係-正方形&梯形在編碼之對稱的測量 ..................121 表 4- 170 年級與判斷包含關係-正方形&梯形在編碼之列聯表 .........................121 表 4- 171 階段與判斷包含關係-正方形&梯形在編碼之卡方檢定 ......................122 VIII.

(10) 表 4- 172 階段與判斷包含關係-正方形&梯形在編碼之對稱的測量 ..................122 表 4- 173 階段與判斷包含關係-正方形&梯形在編碼之列聯表 ..........................123 表 4- 174 年級與判斷包含關係-箏形&梯形在編碼之卡方檢定 ..........................124 表 4- 175 年級與判斷包含關係-箏形&梯形在編碼之對稱的測量 ......................124 表 4- 176 年級與判斷包含關係-箏形&梯形在編碼之列聯表 .............................124 表 4- 177 階段與判斷包含關係-箏形&梯形在編碼之卡方檢定 ..........................125 表 4- 178 階段與判斷包含關係-箏形&梯形在編碼之對稱的測量 ......................125 表 4- 179 階段與判斷包含關係-箏形&梯形在編碼之列聯表 ..............................126 表 4- 180 不同年級的學生對於各種四邊形的包含關係的推論過程(第 8 題)之編碼 的比例 ...........................................................................................................127 表 4- 181 年級與判斷包含關係-第 8 題在編碼之卡方檢定 .................................128 表 4- 182 年級與判斷包含關係-第 8 題在編碼之對稱的測量 .............................128 表 4- 183 年級與判斷包含關係-第 8 題在編碼之列聯表 ....................................129 表 4- 184 階段與判斷包含關係-第 8 題在編碼之卡方檢定 .................................129 表 4- 185 階段與判斷包含關係-第 8 題在編碼之對稱的測量 .............................130 表 4- 186 階段與判斷包含關係-第 8 題在編碼之列聯表.....................................130 表 4- 187 不同年級的學生對於各種四邊形的結構操作或推理之編碼的比例 ...131 表 4- 188 年級與結構操作或推理-第 9 題在編碼之卡方檢定 .............................132 表 4- 189 年級與結構操作或推理-第 9 題在編碼之對稱的測量 .........................132 表 4- 190 年級與結構操作或推理-第 9 題在編碼之列聯表 ................................133 表 4- 191 階段與結構操作或推理-第 9 題在編碼之卡方檢定 .............................133 表 4- 192 階段與結構操作或推理-第 9 題在編碼之對稱的測量 .........................134 表 4- 193 階段與結構操作或推理-第 9 題在編碼之列聯表 .................................134 表 4- 194 年級與結構操作或推理-第 10 題在編碼之卡方檢定 ...........................135 表 4- 195 年級與結構操作或推理-第 10 題在編碼之對稱的測量 .......................135 表 4- 196 年級與結構操作或推理-第 10 題在編碼之列聯表 ..............................135 表 4- 197 階段與結構操作或推理-第 10 題在編碼之卡方檢定 ...........................136 表 4- 198 階段與結構操作或推理-第 10 題在編碼之對稱的測量 .......................136 表 4- 199 階段與結構操作或推理-第 10 題在編碼之列聯表 ...............................137. IX.

(11) 圖目錄 圖 2-1 a.三條線交一點 b.兩條線交一點 ............................................................... 8 圖 2-2 由概念定義形成概念心像............................................................................ 9 圖 2-3 學生以概念定義並且透過概念心像後回答問題 .......................................... 9 圖 2- 4 學生以概念定義回答問題(形式演繹)........................................................ 10 圖 2- 5 學生透過概念心像找到方向,最後運用概念定義解決問題 .................... 10 圖 2- 6 學生只透過概念心像解決問題 .................................................................. 11 圖 2- 7 英國小學師培生(大二)在推理題中回答不可能的學生之圖形理由 ......... 17 圖 2- 8 土耳其實習老師的包含關係─類型一 ....................................................... 20 圖 2- 9 土耳其實習老師的包含關係─類型二 ....................................................... 20 圖 2- 10 土耳其實習老師的包含關係─類型三...................................................... 21 圖 2- 11 土耳其實習老師的包含關係─類型四 ...................................................... 21 圖 2- 12 土耳其實習老師的包含關係─類型五..................................................... 22 圖 2- 13 土耳其實習老師的包含關係─類型六..................................................... 22 圖 3- 1 問卷設計架構 ............................................................................................. 23 圖 3- 2 Dillman 樣本人數計算公式 ..................................................................... 24 圖 3- 3 研究流程圖................................................................................................ 26 圖 3- 4 第 1 題編碼 H0 之範例 ............................................................................. 30 圖 3- 5 第 1 題無文字說明,但圖片有說明的編碼 H1 之範例 ............................ 30 圖 3- 6 編碼 H2 之範例 .......................................................................................... 30 圖 3- 7 以文氏圖表示包含關係(以 7A 為例) ......................................................... 38 圖 3- 8 第 7 題編碼 H3-1 的範例(以 7A 為例)....................................................... 38 圖 3-9 第 9 題編碼 H3-2 的編碼標準.................................................................... 41 圖 3- 10 第 9 題編碼 H4 的編碼標準 ..................................................................... 42 圖 3- 11 第 10 題編碼 H3-2 的編碼標準 ............................................................... 42 圖 3- 12 第 10 題編碼 H4 的編碼標準 ................................................................... 43 圖 3- 13 第 10 題學生在圖上說明.......................................................................... 43 圖 5- 1 第 8 題修改的方式 ....................................................................................150. X.

(12) 緒論. 第壹章. 緒論. 第一節 研究背景與動機. 數學知識雖然本質抽象,卻具有廣大的應用面向與深刻的應用層級。如何在 不同年齡、不同能力、不同興趣或領域,皆能獲得足以結合理論與應用的數學素 養,是國民數學教育的重要目標(教育部,2018)。在數學學習領域中,幾何是各 國重要的數學學習內容之一。而在幾何學習中,如果學生能夠理解分層包含關係, 對於學生的演繹推理能力是有所幫助的(Currie & Pegg,1998),最明顯且基礎的 就是四邊形的分層包含關係。 在現行課程的九年一貫課綱4-s-01(教育部,2009)中提到:…在國小教學時, 由於學生認知心理尚未成熟,因此並不強調正方形是長方形的一種,但這是數學 上的重要事實,將從國中開始學習,因此在小學做評量時,切忌詢問「正方形是 不是長方形?」這類會導致與日後認知衝突的問題。(※不宜評量)…。可以知道 現行課程中學生在四年級下學期學完所有特殊四邊形,但是沒有學習四邊形的包 含關係。依照九年一貫課程綱要可以發現,我國學生一直到八年級下學期才會學 習四邊形的包含關係,而在高中的時候並沒有關於四邊形的課程;並且數學系的 學生是在數學的表現較好的學生,因此本研究從五年級開始進行研究,一直到大 學的數學系師培生。由學習四邊形的階段以及學生學習的狀況,將五年級學生到 師培生共分為四個階段。五到七年級為第一階段,八年級與九年級年級為第二階 段,高中生為第三階段,師培生(中等教程、小學教程)為第四階段。 de Villiers(1994)也提出學生關於四邊形的分類,困難點是在階層(hierarchical) 包含關係,是關於階層的分類,不是單純辨識的分類。在研究者翻查我國四邊形. 1.

(13) 緒論. 的研究中發現學生在包含關係上有很大的困難,但是大多是以辨識圖形、繪製圖 形為主,沒有關於van Hiele(Crowley, 1987)的形式演繹期之研究。朱芳儀(2013) 的四邊形研究,以學生的概念心像的心智圖像為主,探討學生對於特殊四邊形的 圖形與定義描述,較不能由研究中發現是否學生能夠正確進行特殊四邊形的包含 階層關係。而Taro Fujita(2012)的施測題目,則探討學生的概念心像的心智圖像、 性質、過程,並能測驗到van Hiele的前四個層次(視覺期、分析期、非形式演繹 期、形式演繹期)。 在翻查我國四邊形的研究之後,發現沒有從國中小到高中的跨階段研究。若 以幾何的研究來看,只有張敬楷(2007)在平行線之研究有跨階段,但是學習階段 並不連續,其研究對象為:國小五年級、國中七、八、九年級以及高中一年級。 且在翻查我國四邊形的研究又發現我國沒有對於師培生在四邊形的階層辨 識的研究。在其他國家已經做過類似的研究。例如:川崎(1992)就對日本國小師 培生(大一,n=56)進行四邊形(平行四邊形、長方形、正方形、梯形)的及其包含 關係之能力的研究。研究發現5%的師培生可以正確定義長方形,大多數的師培 生定義長方形是四邊形,但是邊不一樣長。Taro Fujita & Keith Jones (2006,2007)、 Taro Fujita (2008,2012)、Emel Ozdemır Erdogan & Zeliha Dur(2014)也分別對英 國與土耳其的師培生做過四邊形的辨識分類研究。 另外,研究者翻查在各國的四邊形研究發現箏形的包含關係是比較少見的。 Emine Gaye Ç ONTAY & Asuman DUATEPE PAKSU(2012)為研究箏形的包含關係, 此研究著重在箏形與正方形的包含關係。研究樣本是5位師培生,正確答出的是4 位,但是在詢問原因時有一位改變了答案。這是一個很特別且少見的研究議題, 因此本研究也將箏形的包含關係給放入了研究問題中。 Fujita與Jones (2007)重新解釋了圖形概念的意義。Fischbein (1993)提出了圖 形概念(figural concept),圖形包含了視覺表徵和概念。在發展上,想要讓視覺表 徵與概念可以互相配合且兩者一起出現,但是視覺表徵是比較強烈的。他們認為 每個人都有自己的圖形概念,且Fischbein提出的理想中的圖形概念與Tall與 2.

(14) 緒論. Vinner的概念定義是相同的。Tall與Vinner (1981)提出概念定義與概念心像,概念 定義是一個數學概念是有組織且嚴謹的名詞解釋,而概念心像則是對於這個數學 概念的心智圖像以及相關的性質與過程。學生在接觸到數學概念時,往往都是概 念心像先喚起,而不是概念定義。Fujita與Jones (2007)認為歐基里得的幾何學就 是正式的概念定義(Formal concept definition),就是所謂的正式的圖形概念 (Formal figural concept)。對於學生來說一個四邊形會有它的概念與圖形,但是學 生的個人圖形概念會與正式的圖形概念不同,與正式的圖形概念會有差異。本研 究的概念定義就是以此為基準,會有所謂的個人圖形概念,就是個人的概念定義 與概念心像。 綜上所述,本研究以Taro Fujita & Keith Jones (2006,2007)、Taro Fujita (2008, 2012)的研究架構為基礎,發展學生對於四邊形的及其包含關係的認知表現的問 卷,並且增加箏形的相關研究。期望能透過統計分析,將小學五年級學生到高中 學生與數學系的師培生分成幾個不同階段,且期望能發現不同階段對於特殊四邊 形的及其包含關係之認知表現。. 3.

(15) 緒論. 第二節 研究目的與問題. 根據研究背景與動機,本研究目的為了解小學五年級學生到高中學生,及數 學系的師培生對於四邊形及其包含關係的認知表現。 根據研究目的,本研究問題如下: 一、不同階段的學生對於各種四邊形的個人的概念定義為何? 二、不同階段的學生對於各種四邊形的辨識與推理(心智圖像、性質、過程)為何? 三、不同階段的學生在四邊形及其包含關係的認知結構為何?. 4.

(16) 緒論. 第三節 名詞解釋 (一) 個人的概念定義(Personal concept definition):學生能夠用文字或數學語言來 描述或說明一個數學概念的定義。 (二) 概念心像(Concept image):概念心像包含心智圖像以及相關的性質與過程。 1.. 心智圖像(Mental picture):指學生心中關於某個特定的概念所產生的圖 像所成的集合,是任何型式的表徵,如圖像(picture)、符號形式(symbolic form)、圖表(diagram)、圖形(graph). 2.. 性質(properties): (1) 結構性質(structure properties):形成一個概念的元素或屬性,以及 與這個概念相關的特性。 (2) 包含關係(inclusion relations):概念B有概念A的元素或屬性,且概 念B的元素或屬性比概念A少,則概念B是概念A的特殊形式,概念 B也是概念A的一種。. 3.. 過程(processes): (1) 結構操作或推理(operation or reasoning):對圖形進行分解組合、放 大縮小等操作以獲得解題或論證推理靈感的操作方式。 (2) 包含關係的推論過程:對概念B做分解組合等操作,推導出符合概 念A的定義或特性,概念B是概念A的特殊例。. (三) 特殊四邊形的定義: 1. 平行四邊形:兩雙對邊互相平行的四邊形 2. 正方形:四個角均為直角且四邊等長的四邊形。 3. 長方形:四個角均為直角的四邊形。 4. 梯形:只有一組對邊平行的四邊形。 5. 菱形:四邊等長的四邊形。 6. 箏形:有兩組鄰邊相等的四邊形。. 5.

(17) 文獻探討. 第貳章. 文獻探討. 本研究為四邊形的及其分類,因此第一節以 van Hiele 的幾何思考發展理論 (Crowley, 1987)為核心,並且引入 E. Fischbein(1993)的圖形概念(Figural Concepts)、 概念定義與概念心像以及 Duval(1995)幾何圖形瞭解。第二節為國內外的四邊形 的及其分類之研究,以及其不同的四邊形的研究方向。. 第一節 幾何認知與思維發展理論. 一、 van Hiele 的幾何思考發展理論 van Hiele(Crowley, 1987)夫婦,將一個人的幾何認知層次分成 0 到 4 的五個 層次: (一) 第 0 層次:視覺期(Visualization) 學生以圖形的外表為發展概念的基礎,依據圖形整體外觀形狀辨認幾何圖形。 學生對於幾何圖形的分類是依據幾何圖形的外觀,而非幾何圖形的性質。此階段 的學生沒有辦法將特定的性質一般化為該類幾何圖形的性質,因此複製圖形時, 不會運用性質來繪製,而只是利用視覺的方式來繪製圖形。也不會利用尺規作圖 或是三角板來畫圖,而是使用比較生活化的語言來形容幾何圖形,例如:形容正 方形,會說是正正方方的,又像是某個物品等。(李源順,2013) (二) 第 1 層次:分析期(Analysis) 學生經由觀察、測量、繪圖和製作模型等建立圖形組成要素與這些圖形間的 關係等圖形的性質。此階段的學生能夠將特定的性質一般化為該類幾何圖形的性 質,但是不能夠確定是否是特定的該類幾何圖形才有,還是該類的幾何圖形全部 都有一樣的性質。例如:會認為長方形除了四個角都是直角,還要兩邊對邊等長, 鄰邊不等長,又或是長邊為水平線。又或是菱形應該要尖端朝上下放(如同鑽石), 若非此種類,就會無法辨識。因此,此階段的學生無法理解正方形也是一種長方. 6.

(18) 文獻探討. 形,正方形也是一種菱形。 (三) 第 2 層次:非形式演繹期(Informal Deduction) 學生經由非正式的論證,分類圖形結構,比較各類彼此間的關係及幾何圖形 的內在屬性以及各個圖形之間包含關係。此階段的學生能夠理解幾何圖形的性質 和性質之間的關係,幾何圖形之間的包含關係。但是無法理解公設、公理、定義、 定理之間的不同,使用非形式(非嚴謹邏輯)的方式解釋數學問題。此階段的學生 會用定義去及其分類幾何圖形,例如:長方形的定義是四個角為直角,因此只要 四邊形的四個角是直角就是長方形。此階段學生就能夠理解長方形包含正方形, 正方形、長方形和菱形也是一種平行四邊形。 (四) 第 3 層次:形式演繹期(Formal Deduction) 學生能經由抽象推理、邏輯的詮釋,證明各種幾何性質和定理,且能知道證 明的方法不只一種。此階段學生能夠理解公設、公理、定義、定理之間的不同, 使用嚴謹邏輯的說明數學問題。 (五) 第 4 層次:嚴密性(Rigor) 學生能在不同的公設系統下嚴謹的推論並建立定理,包括歐式幾何和非歐幾 何,並且能分析比較這些系統的特性。. 二、 E. Fischbein 的圖形概念(Figural Concept) Fischbein E. (1993)提出幾何圖形同時具有圖形(figural)性質和概念(concepts) 性質,圖形(figural) 性質是空間上的、可以知覺到的,概念(concepts) 性質則是 抽象的、一般化的,對於幾何圖形的特殊性質或是個人的概念定義。圖形性質是 指視覺化,圖形可操作的特質,為圖形表徵。概念性質是指個體對於圖形產生的 一般化之後的數學意義、性質,是可用來邏輯推理或是結構操作,為符號表徵或 是文字表徵。當個體進行幾何解題過程時,圖形性質和概念性質必須一起作用才 能進行幾何推理,因此當不同的個體對相同的幾何圖形可能產生不同的圖形概念 (Figural Concept)。 7.

(19) 文獻探討. 在幾何圖形中的圖形(figural)和概念(concepts),個體對幾何問題進行解題時, 會互相作用,即使用圖形概念(figural concepts)來解題。但是,個體可能對於圖形 產生的一些迷思,而造成在進行幾何問題解題時發生錯誤。例如:圖 2-1,三條 線交一點和兩條線交一點,問學生兩個點是:一樣大、3a 大、3b 大。在低年級, 多數學生是不知道答案是什麼。而到了三四年級,有接近一半的人是回答 3a 大, 大多是認為線比較多,因此點比較大。而在六年級,則有接近一半的人答一樣大, 能夠說明原因點和幾條線無關,點就是點,沒有大小之分。. 圖 2-1. a.三條線交一點 b.兩條線交一點. 三、 概念定義與概念心像 Vinner & Tall(1981)提出概念定義(concept definition)是使用文字且非常準確 解釋概念。當教師提出一個概念時,雖然希望學生透過概念定義來思考,但是學 生會使用自己的概念心像(concept image)來解決問題。學生的概念心像是學生在 心理所有跟這個概念有關的心智圖像(mental pictures )以及相關的性質 (properties )與過程(processes ),這時候可能發展出自己的個人概念定義(personal concept definition),而前述的概念定義(concept definition)應稱之為正式的概念定 義(formal concept definition)。 若 C 表示某個概念,而 P 代表某個人,則 P 對 C 的心智圖像(mental pictures ) 8.

(20) 文獻探討. 是指在 P 的腦中所有與 C 相關聯的所有圖像的集合(Vinner , 1983)。心智圖像是 指任何形式的表徵,例如圖像(picture)、符號形式(symbolic form)、圖形(graph) 等(謝佳叡,2011)。 Vinner(1991)認為概念定義與概念心像是互相影響,事實上,學生不會透過 概念定義去回答數學問題,學生習慣以自己的概念心像去回答數學問題。 Vinner(1983)提出學生的概念心像會包含典範現象,如果教師起始例子是教特殊 例,此時學生的概念心像就會有些許的錯誤。例如:長方形的典範例,除了四個 角是直角,還要鄰邊不相等,甚至有學生會覺得長邊必須是水平的。 Vinner(1983)指出教師希望學生能夠直接將概念定義變成自己的概念心像, 如圖 2-2,但是其實很難達成。. 概念定義. 概念心像. (concept definition). (concept image). 圖 2-2 由概念定義形成概念心像 Vinner(1991)提出四種學生解題的歷程,教師通常認為學生會去找相關的定 義,然後再透過概念心像來解決問題,如圖 2-3,但是實際上學生並不會透過概 念定義解題。 輸出. 概念定義. 概念心像. (concept definition). (concept image). 輸入問題 圖 2-3 學生以概念定義並且透過概念心像後回答問題. 9.

(21) 文獻探討. 學生只運用概念定義,完全不透過概念心像來解決問題,如圖 2-4,形式演 繹的方式來解決問題。. 輸出. 概念定義. 概念心像. (concept definition). (concept image). 輸入問題 圖 2- 4 學生以概念定義回答問題(形式演繹). 學生運用概念心像找到例子(解題方向),並且透過概念定義解決問題,但是 有時候例子會有錯誤或是特殊性,造成解題錯誤,如圖 2-5,直覺式的形式演繹。 輸出. 概念定義. 概念心像. (concept definition). (concept image). 輸入問題 圖 2- 5 學生透過概念心像找到方向,最後運用概念定義解決問題. 10.

(22) 文獻探討. 學生運用概念心像解決問題,完全不透過概念定義來解決問題,此時容易發 生錯誤,可能會產生迷思概念,如圖 2-6。 輸出. 概念定義. 概念心像. (concept definition). (concept image). 輸入問題 圖 2- 6 學生只透過概念心像解決問題 圖 2-2 是教師希望學生處理問題的流程,但是實際上大多數學生是在遇到問 題時,最常使用概念心像解決問題,而且不常使用概念定義,因此對於學生的概 念心像的研究才如此重要。. 四、 Duval(1995)幾何圖形瞭解 Duval(1995)的幾何圖形瞭解,是對於幾何問題情境中的物件關係,提供了 許多直觀的想法,但是卻無法幫助學生解決問題,使得學生經常面對幾何圖形時 無從下手。因此為了分析具有啟發性(heuristic)的圖形,Duval 認為學生應從認知 理解(cognitive apprehensions)著手,將學生對於幾何圖形的認知理解分為四種: (一) 知覺性瞭解(perceptual apprehension) 知覺性瞭解是個體當一個圖形被提出,必定喚起個體對於知覺性的瞭解及至 少一個其他的瞭解。當個體要辨識幾何圖形的一種認知歷程。個體能知覺到的是 該幾何圖形所呈現的組織法則與繪圖線索,並將這些訊息整合成一個整體性的辨 識過程。個體因為前面所述的法則與線索,而使以知覺性理解方式所產生的心像 與視網膜圖像不同。視網膜圖像會因為實體物的改變而變化,通常是感官所處理。 而知覺性理解後的心像保留了被整合過的法則與線索,已進入腦內工作區中,且 11.

(23) 文獻探討. 個體亦可能因為法則與線索所伴隨著的某些錯誤產生錯誤的知覺性理解。此外, 由於一個幾何圖形常由幾個子圖所構成,因此除了完形(gestalts)的辨識之外,知 覺性理解亦包含了子圖形辨識以及這些幾何圖形之命名(黃哲男,2002)。 (二) 構圖性瞭解(sequential apprehension) 構圖性瞭解是個體依次序逐次作出基本單元而組合成整個圖形的瞭解。構圖 性理解是個體構造一個幾何圖形或是描述其結構的一種認知歷程。個體對於幾何 圖形的基本組織之構圖性理解不是依賴視覺的法則與線索,而是個體對於作圖工 具之限制(如直尺、原規、動態幾何軟體)與數學性質的理解。因此若個體不了解 相關的數學性質與作圖工具之限制,就有可能無法完成目標圖形。 (三) 論述性瞭解(discursive apprehension) 論述性瞭解是個體對一個幾何圖形基本的名稱、假設、已知條件的瞭解。論 述性理解是個體使用語言或文字表徵來描述一個幾何圖形所具有的性質或進行 推理活動的認知歷程。個體無法透過知覺性瞭解來判斷一個幾何圖形所呈現的數 學性質,且對於同一個幾何圖形而言,每個個體所見的脈絡與性質都不盡相同。 對於幾何圖形的說明能顯示個體對圖形的理解程度,因此沒有任何說明的圖形就 是一種模糊的表徵。 (四) 操作性瞭解(operational apprehension) 操作性瞭解是觀察圖形時,能夠透過操作圖形來得到解題的靈感,而在以不 同的方式更改圖形之後,得到操作性的瞭解。操作性理解是個體轉換心像或實體 圖像的一種認知歷程。在幾何問題中,一種或數種操作能使圖形呈現出解題的策 略。操作幾何圖形的方式可分為以下三種: 1.. 分解組合方式(The mereologic way):將完整的幾何圖像分割成數個不 同形狀的幾何圖形,再將數個不同形狀的幾何圖形組合成另一個幾何 圖形。. 2.. 光學方式(The optic way):將幾何圖形放大、縮小、鏡射或是傾斜。. 3.. 平移旋轉方式(The place way):改變幾何圖形的位罝或是方向。 12.

(24) 文獻探討. 第二節 四邊形的及其分類之研究 一、. 李宜芬(2002) 研究對象是國中九年級學生。研究發現學生的一般四邊形典型圖形心像. 為「四邊邊長不刻意畫等長」和「角度不刻意作特殊角」;長方形典型圖形 心像為「兩雙對邊不等長」和「較長一雙對邊呈水平,另一雙對邊則呈鉛直」; 平行四邊形典型圖形心像為「一雙對邊呈水平」、「水平的一雙對邊較另一雙 對邊長」以及「左右的一雙對邊由右上斜至左下」 ;菱形典型圖形心像為「對 角線呈水平和鉛直」和「鉛直的對角線較水平對角線長」。 二、. 黃志祥(2003) 研究對象是國小六年級學生。研究發現學生在四邊形幾何圖形的概念心. 像上普遍有包含性不足的情況,也就是有些圖例被錯誤地排除(如:以為斜 擺的正方形是菱形,但不是正方形)。此一現象應與學生接觸的通常是典型 圖例所致,且會影響更高層次的幾何推理之發展,例如無法理解正方形與菱 形的包含關係。另外也有部分概念出現相反的現象,也就是概念心像中混淆 了錯誤的圖例在內(如:以為鳶形也是菱形的一種),學生透過選圖方式所 呈現的答案優於透過繪圖方式所得到的答案。 三、. 何敏華(2005) 研究對象是國中九年級學生。研究發現學生有「長方形的長寬一定不相. 等」,「平行四邊形的角不能是 90 度」,「菱形的角度不能是 90 度」的迷思概 念,使得包含關係的判斷錯誤。 四、. 林柏嘉(2008) 研究對象是國中七年級學生。研究發現學生對於定義內容用詞的掌握,. 尚未到精確嚴謹的程度。但是在正方形的部分,大多數學生能夠掌握正確的 圖形定義;長方形的部分都有提到四個直角,但是會認為長與寬不能相等; 平行四邊形與梯形的部分,則會有上下邊、上下底的用詞;菱形的部分,則. 13.

(25) 文獻探討. 認為需要有一條對角線是水平線。 五、. 朱芳儀(2013) 研究對象是國中七到九年級學生。研究發現除了菱形和箏形之外,所有. 種類四邊形的圖形都具有「有一組對邊呈水平」這種主要圖形特徵。菱形和 箏形的圖形都具有「有一條對角線為對稱軸且呈鉛直,另一條呈水平」這種 主要圖形特徵。學生在四邊形、平行四邊形、梯形、菱形和箏形時,都有 11% 以上的學生會畫出圖形中的特例。學生在說明為什麼所畫的圖形符合題目所 要求的特殊四邊形時,三個年級中大部分的學生都已認定其為該特殊四邊形, 說明時並沒有提及「圖形是四邊形或圖形的構成元素」,只著重於特殊四邊 形所具備的特殊屬性。 六、. Emine Gaye Ç ONTAY& Asuman DUATEPE PAKSU (2012)土耳其 研究對象是師培學生(5 位學生)。研究問題為土耳其師培生對於箏形的包. 含關係,研究發現研究對象對於箏形與正方形的包含關係,四位師培生能夠 正確說出正方形是箏形的一種,但是有一位在研究者不停地詢問之後改變答 案,認為正方形不是箏形的一種。當研究者詢問理由時,剩下三位正確回答 出正方形是箏形的一種中,只有一位能夠正確使用定義解釋,研究者認為此 人有到 van Hiele 的層次 2─非形式演繹期;而其他兩位則是在解釋時還是使 用視覺期或是部分的性質來解釋包含關係,研究者認為這兩位的 van Hiele 的層次 1─分析期;而兩位認為正方形不是箏形的一種,雖然在訪談中曾經 說出正方形是箏形的一種,但是有承認只是記憶起來,實際上並不這麼認為, 研究者認為大約在 van Hiele 的層次 0 到 1 之間。 七、. Taro Fujita & Keith Jones(2006, 2007) 、Taro Fujita(2008,2012) 英國 Fujita 與 Jones (2007)提出將圖形概念與概念定義和概念心像兩者的意義. 綜合起來的研究架構,他們認為正式的概念定義,就是所謂的正式的圖形概 念,個人的概念定義與概念心像就是個人的圖形概念(Personal figure concept)。 並且以 van Hiele 的幾何思考發展理論以及之前的四邊形包含關係之研究,來 14.

(26) 文獻探討. 發展判斷學生四邊形及其包含關係之層次的方法。 並且 Fujita 與 Jones (2007)也提出梯形的定義會影響梯形是否包含其他特 殊四邊形,英國定義梯形為「一雙對邊互相平行的四邊形」,這個定義的狀 況之下,梯形就包含其他特殊四邊形;而美國定義梯形為「只有一雙對邊互 相平行的四邊形」,則梯形就不包含其他特殊四邊形。以下分別說明他們不 同研究對象之結果: (一) 研究對象是 85 位九年級學生(14 歲),是高於平均水準的學生。研究發 現:概念心像中的心智圖像(本研究之問卷的第 2 題,無編號 16)對於平 行四邊形的判斷有 90%的學生沒有包含其他特殊四邊形;對於菱形的判 斷有 70%的學生沒有包含正方形;對於長方形的判斷有 50%的學生沒有 包含正方形。在平行四邊形的性質判斷(本研究之問卷的第 6 題),有 55% 的學生能夠正確回答;關於平行四邊形的定義則有 60%的學生能夠回答 正確的定義。菱形的性質判斷(本研究之問卷的第 6 題)則有 12%的學生 能夠完整回答。關於本研究問卷第 9 題有 34%的學生能正確答出正方形 或是長方形。 (二) 研究對象是 19 位大學一年級的學生。研究發現:概念心像中的心智圖 像(本研究之問卷的第 2 題(1),無編號 16)有 8 位在非形式演繹期。對於 描寫平行四邊形的定義有 13 位能夠正確回答,但是研究者認為學生只 是單純將定義進行記憶,因為由研究者的問卷(本研究之問卷的第 9 題) 能夠發現學生認為正方形或是長方形不是一種平行四邊形又或是認為 平行四邊形沒有直角。在平行四邊形的性質判斷(本研究之問卷的第 6 題), 則有 10 位能夠正確回答而不被典範圖形影響;而在菱形的性質判斷(本 研究之問卷的第 6 提的部分子題),研究者認為 12 位學生沒有任何正確 的菱形的概念知識;長方形的性質判斷(本研究之問卷的第 6 提的部分子 題),則只有 2 位學生沒有正確的概念知識,有 10 位學生則是使用長方 形的典範圖形來回答問題,剩下 7 位學生則是有完整的長方形的概念知 15.

(27) 文獻探討. 識。 (三) 研究對象是 158 位大學一年級的小學師培生,研究者想了解學生的個人 概念定義與正式的概念定義之間的差距。研究發現:(本研究之問卷的第 一題的部分子題:平行四邊形、正方形、長方形、梯形)學生在畫平行四 邊形、正方形與長方形的圖形,正確率都有九成以上,但只有 60.8%的 學生能夠正確畫出梯形的圖形。另外學生在描述定義上之正確率卻是遠 不如繪製幾何圖形的正確率,正確率為平行四邊形 58.9%、正方形 38%、 長方形 21.5%、梯形 12%。研究者認為平行四邊形的定義描述正確率較 高是因為「平行」兩個字給學生提示。正方形的定義描述錯誤的原因是 學生只寫了「四邊等長」,而沒有「四角相等」或是「四個直角」,研究 者認為學生沒有發現菱形符合「四邊等長」,並且認為學生對於正方形 的圖形認知最強的部份是邊。長方形的定義描述錯誤的原因是「有兩個 長邊和兩個短邊的四邊形」,學生因為典範圖形造成錯誤。 (四) 研究對象是 105 位大學二年級的小學師培生。有 56.2%的學生能夠正確 定義平行四邊形,但是只有 20%的學生能夠選出所有的平行四邊形的圖 形,有 44.8%的學生選擇編號 1、6、9、14(本研究之問卷的第 2 題(1), 無編號 16),表示學生的正式的概念圖形(formal figure concept)和個人的 概念圖形(personal figure concpet)還是有所差距。推理的題目(本研究之問 卷的第 9 題)發現只有 7.6%(8 位)學生能夠正確回答出長方形,有 72.4%(76 位)學生認為不可能畫出一個平行四邊形外接一個圓,76 位中 有 15 位認為如果要畫一個平行四邊形外接一個圓的話則必定會得到一 個直角,15 位認為平行四邊形只有兩個頂點能夠碰到圓,5位畫了圖 2-7, 20 位畫了圖並且說明了只有兩個頂點能夠碰到圓,剩下沒有說明理由。 研究中又發現菱形與平行四邊形的包含關係,有 36.2%的學生能夠正確 的回答─菱形是一種平行四邊形,而有 60%的學生認為兩者之間沒有任 何關係,菱形不是一種平行四邊形。但是研究者發現學生在找出平行四 16.

(28) 文獻探討. 邊形的圖形題目中(本研究之問卷的第 2 題(1),無編號 16),學生能夠選 出編號 5、15,因此研究者認為可能學生對於此類型問題不熟悉,造成 學生無法正確回答,因此研究者認為之後可能能夠改為:是否能夠說菱 形是一種特殊類型的平行四邊形?(It is possible to say that a rhombus is a special type of parallelogram?). 圖 2- 7 英國小學師培生(大二)在推理題中回答不可能的學生之圖形理由. (五) 研究對象是 124 位大學三年級的小學師培生,隨機選擇了 60 位學生之 問卷進行分析。另外,英國的梯形定義是「一雙對邊平行的四邊形」, 與我國的梯形定義「只有一雙對邊平行的四邊形」不同。研究發現如表 2-1:(本研究之問卷的第 8 題) 箭頭類型. 正確率. 正方形→長方形. 65%. 正方形→菱形. 40%. 長方形→平行四邊形. 70%. 菱形→平行四邊形. 16.7%. 平行四邊形形→梯形. 48.3%. 梯形→四邊形. 40%. 箏形→四邊形. 28.3%. 表 2- 1 英國小學師培生(大三)在包含關係之答對率. 17.

(29) 文獻探討. 研究者由(三)、(四)、(五)的研究中得到以下結論,他們認為:小學 師培生的包含關係並沒有因為年級的增加而進步。就算經過兩年或是多 年以上的訓練,學生的正式的概念圖形(formal figure concept)和個人的概 念圖形(personal figure concpet)還是有所差距,學生還是使用特殊類型(典 範圖形)來判斷特殊四邊形及其包含關係。 八、. Emel Ozdemır Erdogan & Zeliha Dur(2014)土耳其 研究對象是 57 位就讀於土耳其某個州立大學四年級的小學數學實習教師,. 問卷使用 Fujita and Jones (2006; 2007), Okazaki and Fujita (2007) and Fujita (2012) 編製而成。研究發現: 關於平行四邊形,有 81%的實習老師能夠正確的回答平行四邊形的定義,有 19%的實習老師多回答「鄰角不相等」。有 72%的實習老師能夠正確畫出平行四 邊形的圖形。在平行四邊形的圖形辨識(本研究之問卷的第 2 題,無編號 16)能夠 發現有 51%的實習老師能夠正確辨識(包含菱形、長方形、正方形)。18%的實習 老師會回答典範圖形,不過這裡面有 9%的實習老師認為不是典範圖形(非鑽石形 式)的菱形也是平行四邊形,有 5.26%的實習老師認為不是典範圖形(非正立,斜 放)的長方形也是平行四邊形。約有 4%的實習老師不認為編號 4 的正方形以及編 號 2 和 7 的長方形是平行四邊形。 關於菱形,只有 33.3%的實習老師能夠正確回答菱形的定義。土耳其對於菱 形的定義是四個邊相等且兩雙對邊互相平行的四邊形,因此約有 49.1%的實習老 師沒有回答平行的關鍵性質,但是皆有回答四個邊相等的四邊形,而有 7%的實 習老師完全沒有回答。因前面所規定的定義,所以只有 30%的實習老師能夠正確 畫出菱形,是此研究中不管是在定義還是繪製圖形上最為困難的一種特殊四邊形。 在菱形的圖形辨識(本研究之問卷的第 2 題,無編號 16),有 49%的實習老師能夠 正確回答(包含正方形),有 9%的實習老師回答菱形的典範圖形(編號 5、11、15), 有 11%的實習老師完全沒有包含正方形的類型(沒有編號 11),有一位實習老師認 為傾斜的長方形(編號 13)是一種菱形。 18.

(30) 文獻探討. 關於長方形,大部分的實習老師(96.49%)能夠正確回答長方形的定義。有 60%的實習老師回答四個角相等,但是沒有提到兩雙對邊互相平行只有一位實習 老師定義長方形是「一個四個角都是直角的平行四邊形」。有 72%的實習老師能 夠正確畫出長方形,有 63.15%的實習老師沒有標出平行的邊。在長方形的圖形 辨識(本研究之問卷的第 2 題,無編號 16),有 46%的實習老師能夠正確回答(包 含正方形),有 7%的實習老師沒有選(編號 7)短邊水平放置的長方形,有 14%的 實習教師完全沒有選擇正方形(編號 4、編號 11),有 9%的實習教師完全沒有選 擇斜放的正方形(編號 11)。 關於正方形,大多數的實習老師(95%)能夠正確定義正方形。有 67%回答有 四邊相等、四個角是直角,但是沒有提到兩雙對邊互相平行;7%的實習老師定 義正方形是一個四邊相等的長方形,4%的實習老師定義正方形是一個四邊和四 個角都相等的平行四邊形。有 72%的實習教師能夠正確畫出正方形。有 84%的 實習老師能夠正確辨識正方形的圖形(本研究之問卷的第 2 題,無編號 16),4% 的實習老師沒有辨識出斜放的正方形(編號 11),5%的實習老師認為菱形是正方 形的一種。 關於梯形,研究者將梯形的定義「只有一雙對邊平行的四邊形」以及「一雙 對邊平行的四邊形」都認為是正確的,因此有 46%的實習老師能夠正確寫出梯形 的定義。30%的實習老師定義為上底與下底平行的四邊形,只有 5%的實習老師 定義為「至少有一雙對邊平行的四邊形」,研究者認為在定義梯形上是困難的。 依照剛才定義,只有 46%的學生可以正確畫出梯形。因為此研究沒有讓學生辨識 梯形,所以無此項研究結果。. 19.

(31) 文獻探討. 此研究也有進行使用箭頭來判斷包含關係的題目,研究者分為六種類型,研 究發現:類型一如圖 2-8,有 53%(30 位)的實習老師是類型一。此類型只專注有 包含關係的特殊四邊形,不考慮梯形以及一般四邊形。 正方形. 菱形. 長方形. 平行四邊形 圖 2- 8 土耳其實習老師的包含關係─類型一 類型二如圖 2-9,有 30%(17 位)的實習老師是類型二。此類型將梯形分開, 認為平行四邊形與梯形沒有關係。. 正方形. 菱形. 長方形. 平行四邊形. 梯形. 一般四邊形. 圖 2- 9 土耳其實習老師的包含關係─類型二. 20.

(32) 文獻探討. 類型三如圖 2-10,有 7%(4 位)的實習老師是類型三。此類型認為平行四邊形 是梯形的一種,建立了兩者的包含關係,且形成了分類層次之關係。 正方形. 菱形. 長方形. 平行四邊形. 梯形. 一般四邊形 圖 2- 10 土耳其實習老師的包含關係─類型三 類型四如圖 2-11,有 1 位實習老師是類型四。這位教師沒有發現正方形與菱 形之間與菱形與平行四邊形之間的關係。 正方形. 菱形. 長方形. 平行四邊形. 梯形. 一般四邊形 圖 2- 11 土耳其實習老師的包含關係─類型四. 21.

(33) 文獻探討. 類型五如圖 2-12,有 3 位實習老師是類型五。此類型忽略了分類層次,使用 雙向箭頭表示,這些教師認為菱形也是正方形的一種特例。 正方形. 菱形. 長方形. 平行四邊形. 圖 2- 12 土耳其實習老師的包含關係─類型五. 類型六如圖 2-13,有 1 位實習老師是類型六。這位教師認為平行四邊形是長 方形的一種特例。另外,這位教師沒有發現正方形與菱形之間的關係。 正方形. 菱形. 長方形. 平行四邊形 圖 2- 13 土耳其實習老師的包含關係─類型六. 22.

(34) 研究設計與方法. 第參章 研究設計與方法. 第一節 研究設計與架構 本研究依研究目的與待答問題,研究者利用問卷蒐集關於國小五年級至大學 數學系的師培生之四邊形及其包含關係的認知表現。本研究以 Taro Fujita & Keith Jones(2006, 2007)以及 Taro Fujita(2008,2012)的研究架構與問卷為基礎,並參考 Michael de Villiers(2009)以及 Emine Gaye Ç ONTAY& Asuman DUATEPE PAKSU. (2012)的問卷內容來設計問卷。 Taro Fujita & Keith Jones(2006, 2007)以及 Taro Fujita(2008,2012)的研究架構 以 van Hiele 的幾何思考發展理論(Crowley, 1987)、E. Fischbein(1993)的圖形概念 (Figural Concepts)、Vinner & Tall(1981)的概念定義與概念心像為核心,得到以下 的問卷設計架構。. 四邊形及其包含關係的認知架構. 思維編碼(Level Thought). 概念結構(Concept Structure) 個人的概念定義. 概念心像(Concept image). (Personal concept definition) 心智圖像 (Mental picture). 過程 (processes). 包含關係的推論過程 (inclusion relations/class inclusion). 性質 (properties). 結構操作或推理 (operation or reasoning). 包含關係(inclusion relations/class inclusion). 圖 3- 1 問卷設計架構. 23. 結構性質(structure properties).

(35) 研究設計與方法. 第二節 研究對象與抽樣 本研究之對象從五年級學生一直到師培生,師培生為在師範體系就學的數學 系學生。就目前臺灣的師培體系,對兩間大學進行抽樣,分別是培育小學教程與 中等教程之大學。抽樣學校皆在臺北市,都在下學期進行抽樣,八年級學生已經 學完平行四邊形與梯形之單元,而高中學生皆為完全中學之學生。而國小五年級 到高中三年級的學生,皆是臺北市公立學校的學生。 查詢臺北市教育入口網所列之公立高中、國中、國小學生,並依照 Dillman(2000)提出的樣本人數計算公式,計算出樣本人數至少為 383 人。每個年 級以及兩個師培階段學生大約 38 人左右,考慮到回收率以及廢卷的問題,兩個 師培生的部分,預設 50 人左右。中等教程 1 個班,小學教程因上課人數的關係, 抽 2 個班。其他階段的學生,則以每個年級 3 個班作為抽樣基準,大約是國小每 個年級約 80 人、國中每個年級約 90 人、高中每個年級約 120 人且為方便抽樣。 NS . ( N P )( p)(1  p) ( N P  1)( B / C ) 2  p(1  p). N S :須完成的樣本數 N P :母群體規模. ( p)(1  p) :母群體異質性程度,通常設 p  0.5 B:可容忍的抽樣誤差,通常設 0.05(抽樣誤差正負 5%) C:可接受的信賴區間(信心水準),通常設 1.96 圖 3- 2. Dillman 樣本人數計算公式. 本次總計 26 個班,共 895 份問卷。進行無效問卷處理(題目未答、亂答者), 共 727 份有效問卷,有效回收率達 81.2%。 小5. 小6. 國7. 國8. 國9. 高一. 高二. 高三. 小教. 中教. 總計. 73. 73. 75. 67. 62. 82. 69. 108. 74. 44. 727. 表 3- 1 分年級之有效問卷數. 24.

(36) 研究設計與方法. 第三節 研究步驟與工具 本研究的作法是透過文獻探討以及分析四邊形相關的幾何認知與思維發展 理論與相關研究,以及 Taro Fujita & Keith Jones(2006, 2007)、Taro Fujita(2008,2012)作為研究架構的基礎。 因為本國並沒有發展對於五年級學生到師培生以及 van Hiele 形式演繹期的 題目的四邊形及其包含關係的研究,所以透過問卷設計架構分析 Taro Fujita & Keith Jones(2006, 2007)、Taro Fujita(2008,2012)、Michael de Villiers(2009)以及 Emine Gaye Ç ONTAY& Asuman DUATEPE PAKSU (2012)的問卷內容,並且統計 各類問卷中在問卷設計架構中的結果,最後以此分析結果製作本研究之問卷。. 25.

(37) 研究設計與方法. 一、研究流程 文獻探討並分析. 編制問卷設計架構. 專家小組討論與修正. 以問卷設計架構分析文獻. 統計文獻題目並分析結果. 編制問卷初稿. 專家小組討論與修正. 進行預試. 預試結果分析. 專家小組諮詢. 正式施測. 透過文獻決定問卷編碼標準 焦點小組討論與修正 批改問卷. 以統計分析施測結果 圖 3- 3 研究流程圖. 26. 專家小組討論與修正.

(38) 研究設計與方法. 二、研究步驟與工具 (一)編制問卷初稿 本研究之問卷,研究者先分析 Taro Fujita & Keith Jones(2006, 2007)以及 Taro Fujita(2008,2012)的文章內容,再從文章內容所含的文獻 van Hiele 的幾何思 考發展理論(Crowley, 1987)、E. Fischbein(1993)的圖形概念(Figural Concepts)、概 念定義與概念心像以及 Duval(1995)幾何圖形瞭解,得到圖 3-1 的問卷內容架構。 並且透過此架構,分析 Taro Fujita & Keith Jones(2006, 2007) 、Taro Fujita(2008,2012)、Michael de Villiers(2009)以及 Emine Gaye Ç ONTAY& Asuman DUATEPE PAKSU (2012)的問卷內容,並且翻譯之後做題數分析。分析發現研究 架構中的結構操作或推理之題型只有第 9 題,研究者增加第 10 題後,得到文章 初稿。 (二)預試問卷初稿 預試問卷初稿完成後,與指導教授以及焦點團體進行問卷的用字遣詞、 題型的增減以及編排做修正,修改完成之後完成預試問卷。 (三)實施預試問卷與問卷修改 研究者將國中小、高中階段每個年級選擇 3 位學生以及公私立大學生各 3 位,並且讓現職 3 位教師施測後,給予問卷的用字遣詞之建議以及計算測驗時 間。發現如果受測者對於內容越了解,所花時間越長,大約需要 40 分鐘以上。 與指導教授討論後,修改形成正式問卷,請見附錄一。 (四)問卷正式施測 (五)決定問卷的答題狀況之標準 本研究以 van Hiele 的幾何思考發展理論(Crowley, 1987)為標準,由 Taro Fujita & Keith Jones(2006, 2007)以及 Taro Fujita(2008,2012)的論文內容中的分層 為基礎,研究者認為學生雖然有完整的包含關係但是不一定能進行說明,因此與 指導教授以及焦點小組討論之後,將編碼與操作性定義分成下表 3-2: 本研究的 H 為階層(hierarchical)的第一個字母, H0 為 van Hiele 的幾何 27.

(39) 研究設計與方法. 思維層次的視覺期,H1 為 van Hiele 的幾何思維層次的分析期,H2、H3-1、H3-2 為拆開的 van Hiele 的幾何思維層次的非形式演繹期,H4 為 van Hiele 的幾何思 維層次的形式演繹期。 編碼編號. 操作性定義 對於四邊形分類編碼完全沒有概念,主要透過外形來辨識四. H0 邊形。 僅透過典範圖形的組成元素進行及其分類,但尚未具有四邊 形分類層次的概念。例如:透過典範的長方形的長邊和短邊, H1. 長邊為水平線;以等腰梯形當作梯形的典範圖形;典範的正 方形為邊長為水平放置;典範的菱形為尖端朝上下放(如鑽 石),來進行及其分類。 能透過圖形的組成元素進行及其分類,但是無法完整利用, 僅利用部分的組成元素和性質(直接且明顯的)進行包含的層. H2 次關係。可以理解正方形是菱形或長方形的一種,但不確定 正方形是平行四邊形的一種。 能透過圖形之間的組成元素與性質關係,完整但直觀的進行 H3-1. 包含的層次關係,例如:可以透過長方形、菱形、正方形的 組成元素,直觀的分類成平行四邊形的一種。 能透過四邊形之間的性質關係辨識四邊形,並依此非形式演. H3-2 繹(非邏輯)的說明四邊形的包含層次關係。 能透過四邊形之間的性質關係辨識四邊形,並能以可接受的 H4 邏輯演繹說明四邊形的包含層次關係。 表 3- 2 編碼與操作性定義. 28.

(40) 研究設計與方法. 以下為進行每一題之編碼的詳細內容與實際編碼的內容: 1. 第 1 題: (1) 編碼內容: 編碼 編號 1. H0. H1. H2. 只畫圖而無文字 對於特殊四邊形使用典 正 確 的 定 義 特 殊 說明或空白 範圖形來定義。(特例) 四邊形。(一般化). (1)平 行四 邊形 或空白 文字:空白. 兩雙對邊互相平行的四 兩 雙 對 邊 互 相 平 邊形,鄰邊不相等。 行的四邊形. 或空白 文字:空白. 四個角均為直角且四邊 四 個 角 均 為 直 角 等長的四邊形,而且是正 且 四 邊 等 長 的 四 的。 邊形。. (2)正 方形. (3)長 方形 或空白 文字:空白. 四個角均為直角,對邊相 四 個 角 均 為 直 角 等、鄰邊不等長的四邊 的四邊形 形。. (4)梯 形 或樓梯或空白 文字:空白. 只有一組對邊平行的且 只 有 一 組 對 邊 平 兩個腰相等的四邊形,上 行的四邊形,有上 底短,下底長。. 底下底。. (5)菱 形 或空白 文字:空白. 四邊等長的四邊. 四邊等長的. 形 , 要 放 直 ( 尖 端 朝 上 四邊形 下)。 表 3- 3 第 1 題的編碼內容. 29. H3-1 H3-2 H4.

參考文獻

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