第一節 研究背景與動機
數學知識雖然本質抽象，卻具有廣大的應用面向與深刻的應用層級。如何在 不同年齡、不同能力、不同興趣或領域，皆能獲得足以結合理論與應用的數學素 養，是國民數學教育的重要目標(教育部，2018)。在數學學習領域中，幾何是各 國重要的數學學習內容之一。而在幾何學習中，如果學生能夠理解分層包含關係，
對於學生的演繹推理能力是有所幫助的(Currie & Pegg，1998)，最明顯且基礎的 就是四邊形的分層包含關係。
在現行課程的九年一貫課綱4-s-01(教育部，2009)中提到：…在國小教學時，
由於學生認知心理尚未成熟，因此並不強調正方形是長方形的一種，但這是數學 上的重要事實，將從國中開始學習，因此在小學做評量時，切忌詢問「正方形是 不是長方形？」這類會導致與日後認知衝突的問題。(※不宜評量)…。可以知道 現行課程中學生在四年級下學期學完所有特殊四邊形，但是沒有學習四邊形的包 含關係。依照九年一貫課程綱要可以發現，我國學生一直到八年級下學期才會學 習四邊形的包含關係，而在高中的時候並沒有關於四邊形的課程；並且數學系的 學生是在數學的表現較好的學生，因此本研究從五年級開始進行研究，一直到大 學的數學系師培生。由學習四邊形的階段以及學生學習的狀況，將五年級學生到 師培生共分為四個階段。五到七年級為第一階段，八年級與九年級年級為第二階 段，高中生為第三階段，師培生(中等教程、小學教程)為第四階段。
de Villiers(1994)也提出學生關於四邊形的分類，困難點是在階層(hierarchical) 包含關係，是關於階層的分類，不是單純辨識的分類。在研究者翻查我國四邊形
的研究中發現學生在包含關係上有很大的困難，但是大多是以辨識圖形、繪製圖 形為主，沒有關於van Hiele(Crowley, 1987)的形式演繹期之研究。朱芳儀(2013) 的四邊形研究，以學生的概念心像的心智圖像為主，探討學生對於特殊四邊形的 圖形與定義描述，較不能由研究中發現是否學生能夠正確進行特殊四邊形的包含 階層關係。而Taro Fujita(2012)的施測題目，則探討學生的概念心像的心智圖像、
性質、過程，並能測驗到van Hiele的前四個層次(視覺期、分析期、非形式演繹 期、形式演繹期)。
在翻查我國四邊形的研究之後，發現沒有從國中小到高中的跨階段研究。若 以幾何的研究來看，只有張敬楷(2007)在平行線之研究有跨階段，但是學習階段 並不連續，其研究對象為：國小五年級、國中七、八、九年級以及高中一年級。
且在翻查我國四邊形的研究又發現我國沒有對於師培生在四邊形的階層辨 識的研究。在其他國家已經做過類似的研究。例如：川崎(1992)就對日本國小師 培生(大一，n=56)進行四邊形(平行四邊形、長方形、正方形、梯形)的及其包含 關係之能力的研究。研究發現5%的師培生可以正確定義長方形，大多數的師培 生定義長方形是四邊形，但是邊不一樣長。Taro Fujita & Keith Jones (2006，2007)、
Taro Fujita (2008，2012)、Emel Ozdemır Erdogan & Zeliha Dur(2014)也分別對英 國與土耳其的師培生做過四邊形的辨識分類研究。
另外，研究者翻查在各國的四邊形研究發現箏形的包含關係是比較少見的。
Emine Gaye Ç ONTAY & Asuman DUATEPE PAKSU(2012)為研究箏形的包含關係，
此研究著重在箏形與正方形的包含關係。研究樣本是5位師培生，正確答出的是4 位，但是在詢問原因時有一位改變了答案。這是一個很特別且少見的研究議題，
因此本研究也將箏形的包含關係給放入了研究問題中。
Fujita與Jones (2007)重新解釋了圖形概念的意義。Fischbein (1993)提出了圖 形概念(figural concept)，圖形包含了視覺表徵和概念。在發展上，想要讓視覺表 徵與概念可以互相配合且兩者一起出現，但是視覺表徵是比較強烈的。他們認為
Vinner的概念定義是相同的。Tall與Vinner (1981)提出概念定義與概念心像，概念 定義是一個數學概念是有組織且嚴謹的名詞解釋，而概念心像則是對於這個數學 概念的心智圖像以及相關的性質與過程。學生在接觸到數學概念時，往往都是概 念心像先喚起，而不是概念定義。Fujita與Jones (2007)認為歐基里得的幾何學就 是正式的概念定義(Formal concept definition)，就是所謂的正式的圖形概念 (Formal figural concept)。對於學生來說一個四邊形會有它的概念與圖形，但是學 生的個人圖形概念會與正式的圖形概念不同，與正式的圖形概念會有差異。本研 究的概念定義就是以此為基準，會有所謂的個人圖形概念，就是個人的概念定義 與概念心像。
綜上所述，本研究以Taro Fujita & Keith Jones (2006，2007)、Taro Fujita (2008，
2012)的研究架構為基礎，發展學生對於四邊形的及其包含關係的認知表現的問 卷，並且增加箏形的相關研究。期望能透過統計分析，將小學五年級學生到高中 學生與數學系的師培生分成幾個不同階段，且期望能發現不同階段對於特殊四邊 形的及其包含關係之認知表現。