• 沒有找到結果。

國中生二次函數概念結構

第四章 研究結果

第二節 國中生二次函數概念結構

本研究目的為設計高中二次函數課程,故先確定學生在學完國中二次函數的 概念結構,並參照前一節的教科書素材結構作為起點行為,以此探討進入高中二 次函數應該強化的部分,並進行銜接國高中二次函數概念,發展高中二次函數課 程。本研究以臺北市某公立國中九年級 30 位學生為檢測對象,來了解學生在學 完國中二次函數的概念結構。以此結果分成兩部分進行探討:學生二次函數的概 念定義以及概念心像。

一、學生二次函數的概念定義

若學生能夠描寫出二次函數為𝑦 = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐(𝑎 ≠ 0)的概念定義,則表示 學生能掌握二次函數的概念定義。結果有 26.7%的學生能夠確切掌握二次函數的 概念定義,而能正確回答出二次函數代數式的學生,均忽略𝑎 ≠ 0的條件。其餘 學生多以概念心像描述,例如:「x 的次方為 2」、「拋物線」等心智圖像或概念性 質來描述。其中,有些學生會嘗試以一次函數的概念心像來回答此題。

概念定義正確的學生幾乎選擇頂點式為二次函數的定義而非一般式,有部分 學生也會嘗試寫成𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑕) + 𝑘或是𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑕)2+ 𝑕類似於頂點式的答案,

在此試題的其他部分亦可發現學生較偏好嘗試以頂點式回答問題。研究者猜測其 原因跟學生學習二次函數的經驗有關,學生先由代數形式為頂點式進行學習二次 函數的圖形,若呈現形式為一般式無論是求頂點、對稱軸以及最大值或最小值亦 或是二次函數圖形的作圖,其首要步驟均須將代數表徵的一般形式轉換成頂點形 式,因此頂點式對學生而言為學習二次函數的核心。

二、學生二次函數的概念心像

檢驗學生二次函數的概念心像需透過國中二次函數的數學結構,包含檢驗學 生的二次函數的心智圖像、概念性質以及過程。國中二次函數的數學結構主要包 含二次函數的圖形性質與結構、二次函數的圖形變動以及二次函數代數結構與圖 形表徵的轉移三大部分。研究者將透過二次函數的圖形性質與結構檢驗學生的心

62

63

結果呼應了國中教科書二次函數內容並沒有求 y 軸交點座標,學生對求 y 軸交點 座標沒有經驗。由此可知,學生在解代數方程的幾何意義較二次函數的圖形性質 困難。

(二) 學生對二次函數圖形變動的理解:

表4-8 圖形變動的題目各題以及平均答對率

數學 表徵

結構 開口大小 兩拋物線對稱 x 軸 平移

代數 各題答對率 14(4) 66.67% 14(5) 53.33% 12 33.33%

15 3.33%

平均答對率 66.7% 53.3% 18.3%

圖形 各題答對率 13 40% 8 30% 9 56.67%

平均答對率 40% 30% 56.7%

在二次函數圖形變動的 7 題中 4 題答對率不到 5 成,如表 4-8 所示。約有四 成五的學生能掌握二次函數的圖形變動的題目,將近一半的學生僅能解讀開口方 向與代數式平方項係數的關係在二次函數圖形對稱 x 軸性質的題目,亦即只能判 斷平方項的係數與開口方向的關係,無法聯想到兩二次函數圖形對稱 x 軸為其平 方項係數絕對值相等。

而在比較二次函數開口大小的部分(第 13 題),學生作答困難在於當開口方向 相同時,無法比較其二次函數 x 平方項係數的大小。由此可知,學生對於開口大 小的與代數式係數的關係較難掌握。

學生在平移部分可以掌握由二次函數代數表徵的頂點形式看出圖形的鉛直 平移。對於二次函數代數表徵為一般式時,學生有困難在於解讀其圖形的鉛直平 移(例子:𝑦 = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 1圖形經向上平移 3 單位為𝑦 = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 4)。學生對於 拋物線表徵為頂點式時的水平平移無法判定,易受負值干擾。由上述學生作答的 結果可知,學生較能從頂點式看出圖形的平移,但對於水平平移的理解上與只有 記憶像是”to do opposite”或是”move opposite to the sign of number”的規則而非 用使用圖形移動背後的數學推理(Zazkis, 2003)。另外,儘管學生知道當兩二次函 數為平移性質,卻無法理解其二次函數圖形上的點亦可平移到另一個二次函數圖

64

形。由此顯示學生在點與圖形的連結上有一定的困難。

此部分與二次函數的圖形性質與結構結果有相同的發現,在當二次函數代數 表徵中出現文字符號的係數時,學生較難以看出其關係。

(三) 學生對二次函數代數結構與圖形表徵的轉移的理解:

表4-9 代數結構與圖形表徵的轉移的題目各題以及平均答對率

數學 表徵

結構 代數與圖形表徵之間的轉移 代數結構(極值、函數值)

代數 各題答對率 10(1) 20%

10(2) 16.67% 3 46.67%

平均答對率 18.3% 46.7%

圖形 各題答對率 11(2) 43.33%

7 30%

10(4) 3.33%

10(5)33.33%

平均答對率 43.3% 22.2%

在圖形與代數表徵的轉移和數值概念中,7 題答對率皆不滿 5 成,如表 4-9 呈現所示,僅有大約三分之一的學生能掌握二次函數代數結構與圖形表徵的轉 移。

學生對於二次函數代數式係數某項係數為 0(例如:𝑦 = −𝑥2 + 1)易產生迷思 概念。若一次項係數為 0 時,學生會將常數項係數視為一次項係數回答問題。此 結果亦可從 Zaslavsky(1997)的研究發現,其學生答題呈現如圖 4-2。

學生求最大值或最小值的錯誤示例一 圖4-2

也有學生在此題僅會回答最大值,無論學生是否將此二次函數圖形畫出,學 生無法判斷當在 x 的值為何情況下,此二次函數會有最大值。因此,學生會空白 或是將此二次函數的常數項填入此 x 值,顯示學生無法掌握函數的自變數與應變 數之間的關聯,如圖 4-3。

65

學生求最大值或最小值的錯誤示例二 圖4-3

其中有一位學生可能受課外進修的影響,嘗試以微分解決此題,但對微分顯 然不夠理解,以此二次函數的常數項回答此 x 值,如圖 4-4。

學生求最大值或最小值的錯誤示例三 圖4-4

Zaslavsky(1997)提及學生在代數與圖形表徵之間的轉移中較偏好代數轉換圖 形。故我們代數表徵轉移到圖形表徵的題目增加其複雜性,將自變數 x 給定特定 範圍,想觀察國中學生使否能藉由擴展已經學過的概念,擴展到高中定義域為閉 區間時此二次函數圖形作圖及極值。結果發現當限制自變數 x 的範圍時,學生在 代數表徵轉移到圖形表徵上有困難。從代數轉變成表列表徵中,在描點時僅會注 意到整數點,而忽略題目所給定的特定範圍。雖然題目的自變數 x 有特定範圍,

學生在畫出圖形表徵時也習慣畫出完整拋物線的樣子,顯示學生對二次函數的概 念心像為完整且對稱的拋物線,如圖 4-5。

學生對二次函數的概念心像為完整且對稱的拋物線 圖4-5

對學生而言,將圖形表徵轉變成代數表徵是困難的。其中,能將圖形表徵轉

66

變成代數表徵的學生均利用頂點式求出答案,與學生在概念定義中偏好回答頂點 式相呼應。由此可知,二次函數代數表徵中頂點式相較於一般式,大部分的學生 的概念心像較能使用二次函數的頂點式,如圖 4-6。

學生的解題策略使用頂點式 圖4-6

從代數結構(亦即函數值與極值)的題目中,大部分的學生能從代數表徵中掌 握在自變數 x 為任意實數時該二次函數的極值。部分學生當二次函數一次項係數 為 0 時,無法判斷二次函數的極值,學生於二次函數的圖形性質與結構的結果中 有提及相同困難。在自變數 x 有特定範圍的圖形,較無法從圖形或代數表徵中讀 出函數值與極值,學生會從以往的經驗中認為二次函數值不管自變數 x 在何種範 圍下不會同時具備最大、最小值。因此,在高中二次函數的極值時可以強化此部 分,讓學生能夠整合多重表徵進行學習二次函數的極值,如圖 4-7。

學生認為二次函數最大、最小值不能同時出現 圖4-7

在此概念結構的試題檢驗結果中顯示大部分的學生在二次函數的圖形性質 與結構概念理解並無困難。但對學生二次函數的概念在二次函數的圖形變動以及 二次函數代數結構與圖形表徵的轉移概念不理解且無法整合。因此,在進行銜接

67

國高中二次函數的教學需要強化二次函數的圖形變動以及二次函數代數結構與 圖形表徵的轉移概念。

68