數學概念的多重表徵

由於數學的知識本身是抽象的，因此在數學學習的過程中我們需要使用代數 符號來表徵實體的物件。若我們熟悉代數符號的運算時，就不需要實體物件的對 應。個體獲得新知識需藉由將實體的物件抽象化到心中進行認知，以形成基模。

學習者為了學習龐大而複雜的數學知識，需要不斷地接觸新事物，發展不同的表 徵形式以進行抽象化及內化，並利用舊基模來統整新知識，進而學習。內化成內 在表徵指的是藉由表徵將外在抽象型態進行內在建構(Goldin，1987)。換句話說，

個體為了溝通及學習其數學概念，需要藉由符號表徵為媒介內化在個體的心智中，

或將其概念藉由符號表徵呈現在外在，所以表徵的角色在學習過程中扮演重要的 地位(Duval,2006;Vygotsky,1978)。

Lesh 等人(1987)認為數學概念的學習上的表徵可以分為五類，分別為書寫符 號表徵(written symbols)、口說語言表徵(spoken languages)、圖形影像表徵 (puctures or diagrams)、具體操作表徵(manipulation models)、具體事物經驗表徵 (experience-based ‘’scripts”)。而對於這五種表徵類型，學生除了學習掌握各個表 徵所隱含的意義外，亦須具備不同表徵之間的轉移能力。

Janvier(1987)認為一個具有多重表徵的數學概念就如同一座冰山，每個冰山 的一個角就代表一種表徵形式，若學生無法對函數的不同表徵做適當連結，將造 成學習的障礙。由此可知，學生學習二次函數的概念時，必須建構表徵結構的冰 山在心中，這個表徵結構的冰山每個角都很重要。因此，研究者期望學生能透過 二次函數的教學，幫助學生運用二次函數的各種表徵，進而能夠掌握二次函數的 多重表徵的概念。在解決二次函數的相關問題時，題目呈現的表徵形式就像冰山 浮出水面的一個角，學生要能妥善地轉動他心中建構的整座冰山，讓需要的角浮 出來，亦即必須能夠掌握各個角的表徵形式。而其中轉動各個角，指的是轉換及 轉移。

因此，概念發展的過程中，學生必須學習數學概念的不同表徵並能夠適時選

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重要性。因此，對學習者學習函數概念勢必要理解函數的多重表徵。

數學概念的理解與表徵的轉換以及轉移有關。Kaput(1989)提出合適的教學應 藉由使用表徵形式及結構來建立與表達數學意義。數學意義的建立，主要有兩大 部分：

1. 不同表徵間的轉移(translation)：包含兩種不同的數學表徵系統之間的轉 移，及數學表徵系統與非數學表徵系統的轉移。

2. 表徵之內的轉換(transformation)：(1)藉由圖案與語法(程序性)結構的學 習，透過特定表徵內部記號的轉移及操作。(2)藉由心智元件的建立，個體 透過對於操作、程序和概念的反思，以提供在更高的層次時成為新的操作、

程序和概念的基礎。

Duval 將表徵的轉換區分成兩種形式：處理(treatment)、轉化(conversion)。

處理指的是在相同符號寄存器間(register)的轉換。換句話說，處理(treatment)是 藉由改變不同的表徵形式在相同表徵情況下以利於得到我們所需要的資訊，將二 次函數的代數處理(treatment)如圖 2-3，它的困難在有兩點:(1)複雜的代數運算，

如配方與因式分解，(2)掌握各表徵的意義與功能，如從頂點式中可以看出頂點與 代數表徵的轉化(conversion)如圖 2-4：

圖2-4 二次函數代數表徵的轉化(conversion)

代數 表列 圖形

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在每個階段的課程中，改變表徵寄存器為學生的數學理解的門檻

(Duval,2006)。由此可見理解二次函數的概念需理解不僅需要理解與使用表徵，

亦需要掌握相同表徵的轉換與不同表徵的轉移。

表徵主要有三個功能與特色：不同表徵具有互補角色、不同表徵有其意義解 釋上的區隔與限制、不同表徵可以建立對於概念的深度理解(Ainsworth，2006)。

互補角色意旨藉由獨立表徵的優點在不同支持學習過程和不同的資訊之產生利 益。不同表徵蘊含不同的資訊，影響歷程的因素包含使用不同的使用者所造成的 個別差異，或採用的不同的學習策略所導致，抑或是由於解釋概念的課題不同，

而採取較佳的表徵方式來說明歷程；不同的表徵有本身內在條件，或是因某一表 徵限制另一表徵意義的解釋；表徵對於解釋概念上，具有深度理解的功能；它可 以說明抽象的概念、發展擴展的網絡，建立與其他觀念的關聯性。就算學習理解 表徵的轉換與轉移，若無法整合多重表徵，就無法使用多重表徵的功能。亦即，

學習者若能整合多重表徵，就能彈性地獲得表徵的功能。

由上述研究可知，表徵的理解、表徵內的轉換、表徵間的轉移以及多重表徵 的整合在函數概念學習中佔有不可或缺的地位。本研究教學重點為將二次函數多 重表徵作為教學時的記號中介工具，幫助學生進行表徵的理解、表徵內的轉換、

表徵間的轉移以及整合多重表徵，進而幫助學生建構二次函數概念。因此，研究 者在設計二次函數課程時，除了將二次函數的表徵呈現出來，使學生能對函數表 徵有清晰的概念之外，亦強調表徵之間連結，以幫助學生學習二次函數的概念。

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