國立臺灣師範大學數學系碩士班碩士論文
指導教授：左 台 益 博士
二次函數數位教學分析與設計之研究
研 究 生：柯 慶 安
I
致謝
在左台益老師指導下，讓我開始能體會數學教育的精神以及應用，從實做數 位教學中，慢慢體認和感受數位教學對數學教育的重要性，改變了我對數位教學 的想法，也相信這樣的經驗能夠精進我往後的數學教學。真的很感謝左台益老師， 將一開始什麼都不懂的我，慢慢了解數學教育，也思考如何整理與聚焦自己的想 法，吸收別人的經驗，練習將自己的想法與別人分享並進行反思，並用以解決問 題，這是往後無論在何處都可以應用的。 感謝口試委員李源順教授與陳明璋教授的幫忙，抽空來口試並給予我許多寶 貴的意見，幫助我將論完修改得更為完善。 感謝李建恆學姊與呂鳳琳將自己的教學與研究經驗給我參考，並耐心的告訴 我應如何改進，幫助我完成實驗以及論文計畫的編寫。很謝謝彭建勳學長，給我 意見與鼓勵，並幫我安排教學班級與時間，讓我能順利的進行教學實驗。感謝劉 容真老師在我徬徨時給我鼓勵和精神上的支持，讓我能更堅持下去。政德學長、 振源、巧倪、偉斌、詩穎、君銘、昶慶常給予我幫忙以及建議，有你們我才能順 利的完成我的論文。特別感謝我的爸媽，在我最需要的時候替我解決生活上的其 他困難，默默地陪伴以及鼓勵，讓我學會面對問題與解決困難。 最後，感謝所有幫助過以及鼓勵過我的人，謹以此篇論文獻給你們。 慶安 20120709II
摘要
本研究目的在於「設計二次函數課程的數位教學環境」，以幫助高中學生學 習二次函數概念，並探討在此學習環境下，其學生的二次函數之概念結構與表徵 整合能力。 本研究共分成兩部分，第一部份透過內容分析法來分析國高中二次函數課程 素材結構，及設計問卷以分析國中生二次函數概念結構。再根據數學概念的多重 表徵理論以及分析的結果，發展高中二次函數的數位教學活動，以進行第二部分 的準實驗教學研究。兩組變因在於呈現多重表徵的環境不同，實驗組進行動態鏈 結多重表徵的數位教學，而對照組則以靜態海報呈現多重表徵的教學。研究結果 顯示，依據本研究的設計所進行的高中二次函數教學活動，均有助於兩組學生形 成高中二次函數概念。而特別對中等程度學生而言，動態鏈結多重表徵的教學效 果顯著地優於靜態圖形海報的教學。從學生作答情形與訪談資料進一步分析，我 們可以發現動態鏈結多重表徵的數位教學方式呈現有助於學生： 1. 掌握二次函數的概念定義。 2. 進行二次函數的概念膠囊化與解膠囊化過程。 3. 對二次函數的圖形變動產生動態心像並能說明代數式係數變動意義。 4. 能增長二次函數代數結構與圖形表徵的轉移以幫助理解二次函數的正定 性。 動態鏈結多重表徵的教學環境設計，能夠將數學概念中表徵的連結關係以連 續、即時性的方式具體的呈現出來，此呈現方式有助於學生連結及形成整合多重 表徵能力，用以解決問題。 關鍵字：二次函數、動態鏈結多重表徵、分析、數位設計。III
目次
第一章 緒論 ... 1 第一節 研究背景與動機 ... 1 第二節 研究目的與問題 ... 7 第二章 文獻探討 ... 8 第一節 二次函數課程分析 ... 8 第二節 函數與二次函數學習相關研究 ... 12 第三節 數學概念的多重表徵 ... 18 第四節 數學的概念結構與發展過程 ... 22 第五節 數位課程之教學設計 ... 30 第三章 研究方法 ... 35 第一節 研究設計 ... 35 第二節 研究流程與研究對象 ... 44 第三節 資料處理與分析 ... 47 第四節 研究限制 ... 48 第四章 研究結果 ... 49 第一節 國、高中教科書課程素材結構 ... 49 第二節 國中生二次函數概念結構 ... 61 第三節 教學活動設計 ... 68 第四節 二次函數教學活動之教學成效 ... 78 第五節 教學前後學生對於二次函數的概念結構以及表徵運用情形分析 ... 81 第五章 結論 ... 114 第一節 研究結論 ... 114 第二節 建議 ... 119 參考文獻 ... 120IV
附表目次
表 2-1 國中二次函數指標分年細目與能力指標... 9 表 2-2 表列、圖形、代數式三種表徵優缺點比較... 19 表 2-3 結構性概念與操作性概念(引自 Sfard，1991) ... 23 表 3-1 檢驗國中學完二次函數概念心像的題目分佈... 38 表 3-2 前測雙向細目... 39 表 3-3 後測與延後測雙向細目... 40 表 3-4 教學活動設計之教學目標... 41 表 4-1 南一版國中教科書內容分析類目表... 49 表 4-2 南一版高中教科書內容分析類目表... 51 表 4-3 國中二次函數教科書主類目之類目統計表... 53 表 4-4 高中二次函數教科書主類目之類目統計表... 53 表 4-5 國高中教科書二次函數變動問題的典範例... 55 表 4-6 國高中教科書二次函數極值問題的典範例... 58 表 4-7 圖形性質與結構的題目各題以及平均答對率... 62 表 4-8 圖形變動的題目各題以及平均答對率... 63 表 4-9 代數結構與圖形表徵的轉移的題目各題以及平均答對率... 64 表 4-10 教學活動設計之教學目標 ... 69 表 4-11 兩組學生的前測、後測與延後測(獨立 T 檢定) ... 78 表 4-12 兩組學生的前測、後測與延後測(成對 T 檢定) ... 78 表 4-13 兩組學生程度分佈 ... 79 表 4-14 分程度的兩組學生的前測、後測 (成對 T 檢定) ... 79 表 4-15 不同程度學生在後測的表現情形(獨立 T 檢定) ... 80 表 4-16 前測答對率雙向細目表 ... 81 表 4-17 圖形的幾何性質與結構的前測各題以及平均答對率 ... 82 表 4-18 二次函數圖形變動的各題以及平均答對率 ... 84 表 4-19 二次函數代數結構與圖形表徵的轉移 ... 87 表 4-20 二次函數的定義兩組學生答對率進步情形 ... 94 表 4-21 二次函數代數呈現形式的幾何意義的後測平均答對率 ... 95 表 4-22 二次函數圖形變動其後測平均答對率 ... 99 表 4-23 兩組學生所使用的解題策略的樣本數與百分率 ... 100 表 4-24 學生在二次函數圖形的平移與對稱 x 軸的概念運用情形... 103 表 4-25 圖形的開口大小概念學生的思考運用方式 ... 106 表 4-26 代數結構與圖形表徵轉移其後測答對率之一 ... 108 表 4-27 沒寫最大值的學生人數以及百分率 ... 108V
表 4-28 代數結構與圖形表徵轉移其後測答對率之二 ... 108 表 4-29 正定性在延後測與後測答對率 ... 113
VI
附圖目次
圖 2-1 國中二次函數數學結構... 10 圖 2-2 高中二次函數數學結構... 11 圖 2-3 二次函數代數表徵的處理(treatment) ... 20 圖 2-4 二次函數代數表徵的轉化(conversion)... 20 圖 2-5 Sfard 的概念發展過程 ... 24 圖 2-6 APOS 理論運作模式(Dubinsky,1992)... 25 圖 2-7 運用數學過程、程序與程序性概念的光譜... 28 圖 2-8 動態連結多重表徵之學習環境設計模式構念圖(Tso，2001) .. 31 圖 3-1 研究流程圖... 44 圖 3-2 研究與教學實驗設計流程圖... 45 圖4-1 國高中二次函數課程學習路徑... 59 圖4-2 學生求最大值或最小值的錯誤示例一... 64 圖4-3 學生求最大值或最小值的錯誤示例二... 65 圖4-4 學生求最大值或最小值的錯誤示例三... 65 圖4-5 學生對二次函數的概念心像為完整且對稱的拋物線... 65 圖4-6 學生的解題策略使用頂點式... 66 圖4-7 學生認為二次函數最大、最小值不能同時出現... 66 圖4-8 高中二次函數教學活動設計架構... 68 圖4-9 對照組所使用的教學輔助工具─海報... 70 圖4-10 引入二次函數的定義的數位環境設計 ... 71 圖4-11 二次函數的定義與代數呈現形式係數的意義的數位設計 .... 71 圖4-12 二次函數定義域為閉區間的極值的數位教學環境設計 ... 73 圖4-13 二次函數圖形變動的數位教學環境設計 ... 75 圖4-14 二次函數圖形開口大小結論的數位教學環境設計 ... 75 圖4-15 二次函數圖形左右平移結論的數位設計 ... 76 圖4-16 二次函數圖形平移結論的數位設計 ... 76 圖4-17 二次函數圖形代數表徵為一般形式平移結論的數位設計 .... 76 圖4-18 學生使用作圖策略 ... 82 圖4-19 學生混淆點座標與數值 ... 83 圖4-20 混淆 y=5 交點和與 x 軸交點 ... 83 圖4-21 學生無法連結圖形與代數的關係 ... 83 圖4-22 學生概念心像中存在著典範例𝑦 = 𝑥2 ... 83 圖4-23 學生在平移問題解題策略一 ... 84VII 圖4-24 學生在平移問題解題策略二 ... 84 圖4-25 學生水平平移受負值干擾 ... 85 圖4-26 學生水平平移受平方項係數干擾 ... 85 圖4-27 學生水平平移受配方影響 ... 85 圖4-28 學生混淆鉛直與水平平移 ... 85 圖4-29 學生假設出平方項係數的數值進行解題 ... 86 圖4-30 代數表徵的平方項係數與二次函數的代表符號混淆 ... 86 圖4-31 無法掌握二次函數圖形對稱 x 軸的概念... 87 圖4-32 代數式與作圖的標準解題路徑 ... 88 圖4-33 學生以直覺性理解形成二次函數圖形 ... 88 圖4-34 學生概念心像中的二次函數形狀類似於絕對值函數 ... 88 圖4-35 學生忽略二次函數圖形的對稱性 ... 89 圖4-36 學生的概念心像在形成二次函數代數式過程 ... 89 圖4-37 學生正確地求出代數表徵一般式無法進行作圖 ... 90 圖4-38 學生認為二次函數的頂點式為𝑦 = 𝑎𝑥2+ 𝑘 ... 90 圖4-39 學生的概念心像在解膠囊化二次函數 ... 91 圖4-40 學生可能受其圖形視覺化表徵的影響 ... 91 圖4-41 學生無法判別與 x 軸交點其函數值為零... 92 圖4-42 學生對二次函數的點表徵與數值表徵產生混淆 ... 92 圖4-43 學生在二次函數的極值的作答表現 ... 92 圖4-44 學生對二次函數的極值問題的迷思 ... 93 圖4-45 學生在二次函數的正定性問題的作答表現 ... 93 圖4-46 學生無法解讀二次函數圖形情形 ... 96 圖4-47 無法連結代數式係數與圖形的關係 ... 97 圖4-48 學生的錯誤類型示範例 ... 98 圖4-49 學生的錯誤類型示範例 ... 98 圖4-50 實驗組學生的一般式平移示範例 ... 99 圖4-51 使用代數與圖形表徵的轉移的學生作答過程示例 ... 100 圖4-52 二次函數圖形的變動解題思維過程 ... 101 圖4-53 學生的作答對照二次函數圖形的變動解題思維過程 ... 101 圖4-54 學生的答題表現 ... 102 圖4-55 學生的答題表現 ... 103 圖4-56 解決二次函數的變動問題的概念運用 ... 103 圖4-57 學生對稱 x 軸與平移混淆... 104 圖4-58 學生開口大小的答案呈現與函數值混淆 ... 105 圖4-59 使用代數式平方項係數與開口大小的關係無法呈現清楚 .. 105 圖4-60 學生使用文字說明描述圖形 ... 105 圖4-61 學生的答題表現 ... 106
VIII 圖4-62 學生認為二次函數為離散的 ... 109 圖4-63 學生對極值的錯誤示例 ... 109 圖4-64 學生對極值的錯誤示例 ... 110 圖4-65 學生無法解讀圖形示例 ... 111 圖4-66 學生作答示例 ... 111 圖4-67 學生代數錯誤示例 ... 111 圖4-68 學生無法將點表徵轉移成函數值 ... 111 圖4-69 學生的錯誤示例 ... 112
IX
附錄目次
附錄 一 二次函數概念結構測驗... 125 附錄 二 前測... 129 附錄 三 後測... 132 附錄 四 講義... 1341
第一章 緒論
第一節 研究背景與動機
函數為協助學生了解其周遭世界最重要的數學工具之一，且其概念為數學許 多分支的基礎，故建立函數的概念將有效地幫助學生將數學工具與許多不同的主 題結合，包括數學領域、其他學門或是現實世界的應用，也因此發展學生使用與 了解函數的概念，為數學教育的主要目標之一（NCTM,2009）。而代數被列為九 年一貫能力指標五大主題之一，且函數的概念被認為是代數課程中必要的課題。 學生在求學生涯首次正式接觸函數通常是在國中階段的數學學習，並藉由一次與 二次函數來了解函數的自變數及應變數之概念；而在高中階段，對於函數的概念 不再只是著重於自變數以及應變數的共變關係，開始以集合的方式討論定義域與 對應域及其對應關係。學生透過這樣的想法去學習往後更抽象且複雜的函數單元： 多項式函數、指對數函數、三角函數、極限與函數以及函數與微積分。由此可知， 函數概念在高中的數學學習占有相當大的比重。在大學階段的數學學習中，學生 學習微積分、線性代數、代數等專業數學科目也均需以函數為基礎。綜合以上所 述，從國中、高中甚至到大學，函數在數學學習上均占有不可或缺的地位。 在臺灣數學課程的編排中，一次(線型)、二次函數被強調為函數概念學習的 基礎，其不僅出現在國中九年一貫課程能力指標中，亦被包含在高中多項式函數 的單元裡，學生以一次以及二次函數銜接在國中與高中數學課程(99課綱)。若學 生無法掌握一次、二次函數概念，則對他們往後的數學學習將很可能產生許多學 習困難與障礙。在研究者與學生接觸的經驗及本身求學過程中發現，對於大部分 高中學生而言，學生均已具備一次函數與圖形的概念，其較容易掌握的原因可能 為：一次函數圖形為直線，容易藉由視覺檢驗所求之點是否在直線上；其代數式 y=mx+k，學生僅需要了解係數m,k的數學意義，就能解讀代數式與圖形的連結， 其中斜率m僅牽涉圖形的傾斜程度。但許多高中生缺乏對二次函數概念的理解，2 推測其可能原因為二次函數單元中蘊含許多複雜的概念。舉例來說，學生較難使 用二次函數的圖形去臆測所求之點是否位於拋物線上以及會誤認拋物線有漸近 性質。原因在於學生會受圖形視覺的影響，較難正確地解讀出二次函數圖形的資 訊。為了能正確的解讀圖形的意義，學生必須將圖形正確的畫出。函數作圖的過 程皆須透過描點、描圖類同的程序。但由於無法描出無限多個點，學生在描出二 次圖形的過程中可能受先前學習一次函數的影響以直線連接兩點，而非以光滑曲 線連接。相較於一次函數，二次函數的作圖還需掌握頂點、開口以及其對稱性等 幾何結構。由於二次函數的代數呈現形式不只一種，且當代數呈現形式不同時， 其係數所代表的幾何意義與結構也不盡相同。學習者為了正確解讀二次函數的資 訊，需掌握代數呈現形式間的轉換，以及先前學過解的概念（一元二次方程式）， 因為牽涉到先前所學的抽象代數結構，故對學生而言較為複雜。而頂點式 𝑦 = 𝑎(𝑥 − )2+ 𝑘，不僅可以從參數中直接判讀出頂點，其蘊含著二次函數圖形 變動的幾何結構，包含對x軸鏡射、沿y軸伸縮、平移等概念，這將會影響到學習 者往後探討函數圖形的振幅、鏡射、平移在數學學習上，並且對物理的學習更是 不可或缺。而解讀二次函數的極值可以應用於解決生活上的應用，故其在二次函 數的學習中亦佔有重要地位。若二次函數沒有其定義域為實數，二次函數的極值 可以由較抽象的代數運算以及具體的圖形判讀兩個面向學習，但若限制其定義域， 學生只能將代數式轉移成圖形並觀察出函數值。從函數圖形中能解讀出其函數值 將有直接的影響在學習往後的多項不等式概念。綜合上述觀點，二次函數對學生 而言，為數學上一個相對複雜的概念，且不論在數學學習的過程中，或是其它領 域的應用上，其皆占有重要地位。因此，研究者期望幫助學生建構此概念。 二次函數同時出現在國高中的課程中，其內容差異為：國中所學二次函數的 目標為透過反覆地進行作圖的程序，建立學生對二次函數較直觀且具體的圖形進 而學習幾何性質與結構和拋物線的變動的關係；而高中則利用這樣的學習基礎， 不但明確指出不同代數形式所呈現的優點，且欲將學生直觀的理解藉由數學符號
3
的形式化推理演繹說明，發展出二次函數圖形的變動抽象代數結構。在二次函數 的極值加入了限制其定義域的範圍，學生需先掌握定義域為閉區間的範圍下其二 次函數圖形，並將圖形的圖形還原成點的組成並解讀出其數值。美國的國家教師 協會 NCTM(National Council of Teachers of Mathematics)(2009)提出對於函數的瞭解 與學習主要需考慮的重要元素：(1)學習交互使用函數的不同表徵形式，包括圖、 表、符號等，不同元素更有其特點協助瞭解函數的重要性，(2)學習不同函數的特 性，並能了解不同的函數其各自的可能應用範圍與特性，以及(3)學習了解函數中 各項係數對於函數表現的影響。從以上三點得以歸納出：高中二次函數概念可以 幫助學生推廣更複雜、抽象的其他函數概念。有此可知，高中二次函數對數學學 習的重要性。因此，研究者想幫助學生建構高中二次函數的概念。 Even（1990）主張函數概念與許多表徵(representation)有關，例如表格、集合 映射圖、有序數對、圖形、式子、所描述的變數、情境產生的學科與現實世界等， 其中最常見的函數表徵是圖形與式子。由於不同元素都有其特點協助瞭解函數的 重要性，因此學習交互使用函數的不同表徵形式為對於函數的瞭解與學習主要需 考慮的重要元素(NCTM，2009)。由於數學概念是抽象的，因此我們必須借助具 體的表徵進行溝通和思考(NCTM，1989)。 同一數學概念中蘊含各種不同的表徵，而各個表徵均有其特點與性質，若以 單一表徵形式來說明，無法解釋一個完整的數學概念(Lesh, R., Post, T., & Behr, M.， 1987)。NCTM 在 2000 年出版的《學校數學的原則和標準》中的五項過程標準中 的表徵標準提到學生應該選擇、應用和轉譯各種數學表徵來解決問題。綜合上述 想法，學習者要瞭解、學習與應用數學，不僅要思考數學的本質意義，且要能充 分掌握其各種表徵以及表徵之間的轉換與轉移（Lesh, 1987; Kaput, 1987, 1989, 2008）。以二次函數的極值為例，若學生能藉由代數表徵轉移成圖形表徵，並解 讀二次函數的極值時，將可以幫助學生掌握二次函數的極值的概念。由此可知， 學習轉移不同的二次函數表徵將有益於學生靈活地應用二次函數概念。然而，學
4 生函數學習的障礙經常發生在學生無法對函數的不同表徵作適當的連結 (Janvier， 1987）。Ali(2005)的研究中指出二次函數的代數和圖形表徵缺乏連結為造成學生二 次函數認知障礙的原因之一。因此，學生學習連結二次函數多重表徵為學習二次 函數概念需要考量的主軸。 從函數本質來看，函數的概念起始於自變數與應變數的過程，學生經由操作 過程了解到函數的程序性知識，但由於此過程為一個變動的過程，學生不易觀察 探索其性質與結構。學生對於數學概念的學習，如果停留在程序性的理解，那麼 一旦缺乏足夠的練習，很容易遺忘或產生錯誤且程序性知識彼此間是離散的，對 於學習者而言，學習負荷亦較重(Hiebert，1986)。在函數概念的學習中，學生不 僅僅要了解函數的程序性知識，更重要的是能掌握函數的結構性知識。透過圖形 的視覺化可以幫助學生發展其結構性知識。因此，學生需藉由表徵的轉移，透過 抽象的代數程序轉移成具體的圖形結構以幫助了解函數概念。且在許多情況下， 學習函數若只理解函數的過程，則無法掌握其概念，故學習者必須將函數視為一 個物件。舉例來說，學生需要經過操弄函數圖形為物件並觀察它的改變，才能理 解函數圖形的變動的概念結構。以二次函數為例，學習者需藉由代數表徵內的轉 換以及代數和圖形表徵間轉移的大量經驗將其內化形成二次函數過程的觀點。透 過過程的結合，學習者可以將二次函數的過程視為物件，例如將圖形視為一個物 件去理解圖形的變動的結構性概念；在二次函數的概念學習中，學習者可以也必 須將二次函數的物件轉換成過程，從二次函數圖形表徵轉移成代數表徵，進而解 讀出二次函數的極值。由此可知，掌握物件和過程觀點是學習函數及其圖形必要 部分(Sfard，1992)。若學習者能靈活在數學物件和過程間的轉換並適當的使用， 則具有過程概念(process conception)。這樣的轉換需要透過整合二次函數的多重 表徵。因此，形成過程概念對於學生具有相當的複雜性，它不僅需要理解單一表 徵、表徵內的轉換以及表徵間的轉移，還要靈活地整合且運用各種表徵。這樣的 理論可以用於解釋高中二次函數的教科書中的理念。因此，幫助學生進行整合二
5 次函數的多重表徵發展過程概念為高中二次函數的教學主要目標。 研究者期望透過了解國中已經學完二次函數的學生的概念結構作為基礎，用 以強化發展高中二次函數教學活動設計。Vinner(1983)曾討論個體在心智中所建 構的數學概念結構，主要包含兩部份，即概念定義(concept definition)與概念心像 (concept image)，而概念心像又再分成心智圖像及概念性質與運算，其中心智圖像 指的是任何可視覺化的表徵，而概念性質與運算為此概念所具備的特殊性以及可 加以操弄的方式。由於學生較會使用概念心像進行解題，且學生的概念心像會受 到教科書以及老師教學的影響(Vinner，1992)，因此這樣的概念結構也可以用來 檢驗教學活動的教學成效。因此，我們透過檢驗高中學生的概念結構去檢驗高中 二次函數課程設計的教學成效。 運用電腦可以幫助已熟練計算原理的學生，避免因過多繁複計算，而降低學 習效率，且對於已熟練描點繪圖的學生可加強其建立函數圖形的直觀連結 (99 課綱)。Lesh ,Post ＆Behr (1987)的研究中，發現以電腦呈現方式的表徵，能被學 生觀察而構造出來，並賦予表徵意義，進而發展更強而有力的表徵形式。因此， 電腦環境所能提供的表徵方式，可以做為數學概念在教學顯現多重表徵的一種有 利工具(Kaput，1987)。函數概念的學習，同時包含許多程序且整合多重表徵為函 數學習的主要目標之一，因此，若能使用電腦這樣有利的工具，將有助於學生形 成函數的概念。美國數學教師協會(NCTM)在 2000 年出版的《學校數學的原則和 標準》中，提到科技在數學教學和學習過程中非常重要，它對教授內容和促進學 生學習都有重大影響，若數學教師為了強化課堂教學，應鼓勵接受使用電腦、電 算器及其他科技。研究者認為電腦所提供的動態鏈結多重表徵的學習環境，能吸 引學生的注意力，且提高學生學習數學的興趣；並能同時改變學生對於數學只有 「靜態」的看法，有助於學生深入理解並延宕概念結構。 函數的概念為一個動態的過程而非僅是靜態的結構，研究者認為學生能透過 數位教學連續性動畫的呈現，理解圖形產生變動的過程並有助於學生在心智中產
6 生動態心像。研究者亦認為動態鏈結多重表徵的數位教學環境，提供學生提供豐 富的二次函數代數式以及其圖形，以大量的經驗使學生聚焦在抽象 (代數表徵係 數)與具體 (圖形)結構間連結的過程上，這樣的連結過程可以幫助於學生進行行 動反思，並內化成學習者的內在表徵。研究者將依據以上主張設計高中二次函數 動態鏈結多重表徵課程的數位教學環境，並期望幫助學生建構二次函數的概念。 為了瞭解高中二次函數數位環境的教學成效，在本研究中將針對兩班高一學生進 行準實驗教學，其中一組使用電腦投影螢幕呈現動態鏈結多重表徵在二次函數的 課程中；而另一組為了屏除圖形呈現不精確可能造成學生的迷思概念，故使用電 腦繪圖且輸出的大型圖形海報。且考量到二次函數的教學時間(南一教師手冊)， 因此，除解題的程序過程使用板書，例題題目以及總結討論使用海報。研究者最 後欲比較兩班的差異探討其教學成效。
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第二節 研究目的與問題
本研究將分析高中二次函數的課程內容並依此設計動態鏈結多重表徵教學 環境，期望能幫助高中學生在「二次函數」單元中，發展二次函數的過程概念並 能藉由整合二次函數的多重表徵以解讀出隱藏在圖形與代數式係數背後的意義 與二次函數圖形的變動。最終，期望此研究設計的「高中二次函數」概念課程幫 助日後教學使用。據此，本研究主要目的為： 一、透過多重表徵理論來設計高中二次函數課程內容並依此發展數位教學環 境。 二、期望經由數位教學環境介入，幫助學生建構「高中二次函數」概念及整合二 次函數的多重表徵。 根據研究目的，提出下列幾項研究問題： 一、如何幫助學生銜接國中二次函數與高中二次函數的課程內容？ 二、如何發展與實作數位教學環境以幫助學生學習「高中二次函數」概念？ 三、在數位教學環境與傳統多重表徵教學環境之下，其二次函數課程教學成效為 何？ 四、在數位教學環境與傳統多重表徵教學環境之下，學生的概念結構差異為何？ 在解題思考上，表徵運用的方式的差異為何？8
第二章 文獻探討
研究者期望幫助高中生建構高中二次函數概念。因此，欲藉由設計二次函數 的教學期許能幫助學生整合二次函數各種形式的表徵，並能以運用適當的表徵來 解決問題。研究者藉由分析學生在動態(dynamic)數位教學環境與靜態(static)海報 圖形教學環境中學習二次函數的結果，探究使用動態幾何軟體的教學環境下，學 生所形成的概念結構以及二次函數表徵運用情形之差異性。因此，本章將先分析 二次函數課程內容，接下來則是學生對於函數與二次函數學習的相關研究，第三 節說明數學概念的多重表徵，第四節闡述數學的概念結構與發展過程。最後，在 第五節中討論如何利用數位教學設計。第一節 二次函數課程分析
本節首先討論二次函數單元在國中課程中的能力指標與分年細目，以此了解 國中二次函數課程的數學結構，再探討如何從國中與高中二次函數對應到高中二 次函數課程綱要，並以此了解國高中二次函數課程的差異。 在 97 國中數學課程綱要中，將二次函數安排在九年級，其先備知識函數及 其圖形和一元二次方程式分別放在七年級與八年級。學生會在二次函數上配方容 易產生錯誤，除了配方本身為一個較複雜的代數表徵內的轉換外，研究者認為， 由於一元二次方程式與二次函數課程的學習相隔一年多，學生可能遺忘二次函數 的程序性概念。然而，函數本身為較抽象的概念，二次函數為學生第二次學習函 數的主題，與第一次學習函數及其圖形時間間隔較長，兩次學習函數的時間間隔 是否會影響學生在學習二次函數時忽略背後的函數意義，老師的介入就在這裡佔 有舉足輕重的地位。 從國中的能力指標與分年細目中，如表 2-1，研究者發現國中所學的二次函 數著重於三件事分別為(1).繪圖：也就是代數表徵藉由表列表徵轉移為圖形表徵， 理解及應用代數表徵轉換成圖形表徵。(2).拋物線的部分幾何性質：頂點、開口9 以及對稱軸。(3).能利用配方法，計算二次函數的最大值或最小值。 表2-1 國中二次函數指標分年細目與能力指標 分年細目 能力指標 9-a-01 能理解二次函數的意 義。 A-4-04 能理解生活中常用的數量關係(例如：比例關係、 函數關係)，恰當運用於理解題意，並將問題列成算式。 9-a-02 能描繪二次函數的圖 形。 A-4-18 能理解二次函數圖形的線對稱性，求出其線對稱軸 以及最高點或最低點，並應用來畫出坐標平面上二次函數 的圖形。 9-a-03 能計算二次函數的最 大值或最小值。 A-4-17 能利用配方法，計算二次函數的最大值或最小值。 9-a-04 能解決二次函數的相 關應用問題。 A-4-17 能利用配方法，計算二次函數的最大值或最小值。 A-4-18 能理解二次函數圖形的線對稱性，求出其線對稱軸 以及最高點或最低點，並應用來畫出坐標平面上二次函數 的圖形。 描繪二次函數圖形，乃是利用先前學習一次函數的繪圖經驗，將函數代數式 透過求值列表轉移成表列，再經由描點和描圖畫出二次函數圖形。其繪圖步驟與 線型函數類同，學習者會藉由先前的繪製線型函數的經驗擴展到繪製二次函數圖 形。 研究者依據國中南一版(民國 99)二次函數教科書內容以及參照教師手冊，將 國中二次函數單元的數學結構主要分成五類：二次函數的定義、拋物線的幾何性 質與結構、兩拋物線關係、代數式與圖形的轉換以及數值。其細分呈現如圖 2-1：
10 圖2-1 國中二次函數數學結構 學生在國三學完二次函數後，在高一的課程上二次函數亦會再出現一次。依 據 99 高中數學課程綱要中，此部分被安排在高一上第二章多項式函數中，為第 一節簡單多項式函數及其圖形中的一部分。簡單多項式函數及其圖形在高中課程 位居重要的教材地位，其學習對高三函數與微積分的課程學習上有直接性的影響。 由上述可知，讓學生建立二次函數式及其圖形特徵的連結為數學學習的重要內 涵。 在簡單多項式及其圖形的學習脈絡中，先以函數的符號與圖形中引進了定義 域、對應域與值域的觀念並複習國中舊有的函數概念，再來學習多項式函數圖形， 從最基本一次函數，進而學習二次函數。最後，期望學生藉由學習二次函數的脈 絡進而學習三次與四次單項式的函數及其圖形。 在高中數學 99 課綱中，高一二次函數的學習內容為配方法、圖形、不同定 數學結構 二次函數的定義 拋物線的幾何性質 與結構 頂點 對稱軸 開口方向 與水平線交點 與x軸交點個數 與x軸交點座標 與y=k交點座標 與y軸交點 兩拋物線關係 開口大小 對稱x軸 平移 左右 上下 代數式↹圖形 繪圖 求代數式 數值 函數值 極值
11 義域的極值問題、判別式、正定性（恆正性）、應用實例、能繪出二次函數的不 同代數呈現形式，與進行二次函數不同型式的轉換。研究者依據南一版和翰林版 教科書，將高中二次函數的課程內容的數學結構分為三大部分：二次函數的代數 呈現形式中係數的意義、二次函數圖形的變動以及數值，如圖 2-2。相較於國中 二次函數單元的學習內容，高中不僅以拋物線的幾何性質與結構為學習目標，而 更增加不同形式代數表徵之間的轉換、不同定義域的極值問題以及正定性。在二 次函數圖形變動的部分，在國中時只用直觀的方式說明其關係，高中加入以數學 符號去進行抽象邏輯思考以及形式化演繹推理其變動關係。其編排想法為期望學 生以二次函數作為例子或當成對照，學習函數的伸縮、對稱、平移等函數的變換。 圖2-2 高中二次函數數學結構 數學結構 二次函數的代數呈現 形式中係數的意義 二次函數圖形的變動 (兩拋物線關係) 開口大小(對y軸伸縮) 對稱x軸(對x軸鏡射) 平移 上下 左右 數值 函數值 極值
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第二節 函數與二次函數學習相關研究
二次函數為學習函數概念的一個重要單元。研究者期望透過二次函數的教學 幫助學生學習函數的概念。因此，本節將進行探討二次函數與函數的相關研究。 一、函數與二次函數的學習以及迷思概念 對學生而言，函數為一個複雜、抽象的概念，我們欲探究學生如何進行函數 概念的學習以及其認知發展。 函數的代數式以及其圖形對函數的學習佔有不可或缺的地位。對學生而言， 在發展函數概念時，由於代數式較為抽象，因此須將其轉移成具體的函數圖形， 以發展直觀的函數概念。學生透過解讀圖形所呈現的訊息進而學習函數的深層結 構。由此可知，作出函數圖形為發展函數概念之首要。由第一節二次函數課程分 析可知，在二次函數單元中有許多概念為學生所要學習的：二次圖形的幾何性質 與結構、二次函數圖形的變動、二次函數代數呈現形式中係數的意義以及二次函 數的極值。顏啟麟與羅昭強(民82)期望幫助國中學生建構線型函數與二次函數的 概念的網絡以及連結其概念和經驗的知識，將國中生學習線型函數與二次函數的 概念認知發展，分成四個主要層次如下： 層次一：給一個數可以求出其對應的函數值。 層次二：給定函數可以正確的代換文字符號與代數式。 層次三：可以找到函數圖形的幾個點，並且畫出代表函數圖形的平滑曲線。 層次四：又細分成四個層次，包含瞭解二次函數的四個重要元素：平移的基模、 圖形的基模、係數的基模以及極值的基模。 研究者由學生的認知層次發展可知，二次函數的學習透過作圖進而發展其概 念。學生透過之前學習一次函數的經驗來學習二次函數，也就是經由仿照線型函 數的程序幫助他們發展二次函數概念。因此，學生可能會受線型函數學習的影 響。13 函數對學生而言是複雜且抽象的，學生不僅需要使用代數式轉移成圖形，並 且要學會解讀代數式及其圖形所代表的涵義。因此，學生在學習函數時常會遇到 許多學習困難以及迷思概念。 Lovell(1971)指出學生對於函數的基本概念的學習困難有：(1)學生無法以簡單 的例子分辨是否為函數，有些學生將函數視為一種規律關係，如比例關係；(2) 學生經常對函數關係是多對一還是一對多感到困惑；(3)許多學生無法解釋函數圖 形的相關問題；(4)學生困擾於具體、熟悉生活情境的問題；以及(5)僅少部分的 學生能處理合成函數問題。 葉明達(民89)在分析高中生的函數定義和迷思概念中發現，高中生多將函數 定義為集合的對應，並強調元素間的一對一和多對一的特性；而高中生對於函數 主要迷思概念有：(1)函數關係是一種一定可以列出方程式的關係；(2)函數關係 為兩堆「數字」之間的關係；(3)函數一定要有規律；(4)對應域是值域的一部分； 以及(5)函數圖形是平滑的、連續的，有缺口的就不是函數。
Markovits, Eylon 與Bruckheimer(1988)針對已經學過函數與線型函數的九年 級、十年級學生，研究他們對於函數概念的了解程度時發現：(1)在不考慮問題的 特殊本質下，三種函數：常數函數、分段函數和離散點表徵的函數對學生來說是 困難的；(2)學生常忽略定義域以及值域；(3)不論式子或圖形表徵，學生對定義 域及對應域僅有部分理解；(4)學生所舉的函數例子都侷限在式子和圖形表徵，尤 其是式子表徵；(5)從圖形到式子表徵之轉換比式子到圖形表徵之轉移要來的困難 以及(6)所舉的函數例子有線性關係的傾向的現象。 從上述研究可知，學生常見的學習困難為將一局部的規則與關係視為所有函 數皆有的特質。Vinner(1983)的研究指出有的學生會將函數想像成一個規則，而 有的會想成要有同樣的規律，也就是要具有對稱、一致性、上升或下降等規律； 有的學生會定義而產生函數就是要一對一的對應。其中學生最常見的迷失概念是 函數具有線性關係且圖形為直線的。Markovits(1982)的研究中發現，大約有一半
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九年級學生，在給定兩點A、B並要求學生畫通過此兩點的函數圖形時，宣稱這樣
的圖形為唯一的，只有約 的學生宣稱這樣的圖形有無限多條，且當學生被要求
畫出通過此三點的函數圖形超過一半的學生認為沒有這樣的函數圖形。歸究其原 因，線型函數是函數的典範例(prototypical example)( Baruch & Rina, 1999)。在二 次函數中這樣的現象尤其明顯，學生透過與線型函數的相同程序進入學習作出二 次函數圖形。但這樣的認知發展可能會過度引用學生之前的線型函數的概念，可 能有學生受限於線型函數圖形的原型心像(prototypical image)，將所描出離散的 點用直線連接(Moschkovich et al., 1993；Ibeawuchi,2010)；Ellis(2008)的研究中亦 發現學生對一般形式的代數式係數會與線型函數的係數混淆，並將其二次項以及 一次項係數視為斜率。 除此之外，在二次函數的學習困難中，Zaslavsky(1997)提出學生在學習二次函 數時最常遇見的五種阻礙概念發展之學習障礙為：(1)以視覺上所看到的圖形解釋 幾何圖形，對二次函數圖形有漸進線的迷思，學生會看圖形認為二次函數的拋物 線會趨近於垂直線；(2)二次方程式與二次函數關係的錯誤類推；(3)線型函數與 二次函數關係的錯誤類推；(4)不了解二次函數的代數形式可能會有的轉變；(5) 過度強調特殊點的單一座標。 在函數的概念學習中，學生往往會受限於所看到的圖片(picture)去解釋圖形 (graph)。但 Freudenthal(1983)指出圖形是提供函數視覺表徵的重要工具，它可以 (1)點態性閱讀─例如透過座標平面上的垂直或水平線，可以找出相對應的自變數 與應變數之值，必要時可在兩軸上做調整；(2)局部性閱讀─例如研究圖形接近某 個點的特性，如極值、遞增或遞減等；(3)整體性閱讀─使人能夠一眼便認出此函 數，並且尋找和比較其整體特徵。這對學生發展二次函數的數學結構有很大的幫 助。但他也同時提出圖形缺點是缺乏精確性，例如不可避免線的厚度。在 Ibeawuchi(2010)研究中亦提出學生會以視覺解釋二次函數的幾何圖形。 在二次圖形的變動方面，Zazkis(2003)的研究中發現學生對於二次函數的水平平
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移上的解釋只有記憶像是“to do opposite”或是“move opposite to the sign of number”的規則而非用使用圖形移動背後的數學推理。對於圖形的概念只有程序 性的運算法則而非理解其數學結構。為了幫助學生學習二次函數概念，因此，許 多學者嘗試找出造成二次函數認知障礙背後的原因。Ali(2005)嘗試找出造成學生 二次函數認知障礙的原因，他探討兩位高中代數方面表現優秀的學生對二次函數 的概念心像得到其錯誤成因如下： (1). 在二次函數的代數和圖形表徵的概念缺乏連結。 (2). 對代數表徵的不理解。 (3). 學生轉移圖形表徵到代數表徵時，他們認為一般式𝑦 = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐的圖形 開口向上時，則𝑎 = 1；反之，若圖形開口向下，則認為𝑎 = −1。學生會將 二次函數一般式與頂點式𝑦 = 𝑎(𝑥 − )2+ 𝑘混淆，認為頂點𝑥座標為𝑏，頂點 𝑦座標為𝑐。 (4). 將一般式轉換頂點式時，學生將𝑦 = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐轉換成𝑦 = 𝑥(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝑐。 (5). 學生無法同時使用圖形與代數表徵一起去思考，學生可能會形成兩種衝突的 策略。 (6). 二次方程式的公式解與絕對值函數會造成二次函數學習上的障礙。 總結可能造成學生上述學習二次函數困難形成原因以及其錯誤類型為： (一) 學生往往使用視覺圖像解釋其圖形，其原因為缺乏圖形表徵和代數表徵之間 的連結，二次函數的概念不能單從圖形來看，應該要回到二次函數代數結構 去處理。 (二) 學生無法區辨二次方程式及二次函數，無法體認到其差異在二次方程式為解 某一個特定點，而二次函數兩個集合點變動的關係。並由此可知，學生無法 看出把函數的變動關係，學生只注意在某個特定點。 (三) 學生無法理解代數表徵的係數對數學結構的意義。
16 (四) 學生對代數表徵內的轉換缺乏理解。 (五) 學生對二次函數圖形表徵的不理解，混淆數值表徵與座標表徵。 (六) 學生無法彈性地連結與轉移二次函數的代數與圖形表徵。 總結上述研究可以發現二次函數的圖形與代數表徵為學生在學習二次函數 中常見的學習困難。由此可知，二次函數的表徵在二次函數的學習中為不可或缺 的，因此，研究者欲用表徵的觀點探討學生如何學習二次函數的概念，並藉由表 徵的觀點幫助學生學習二次函數。在下一節將討論數學概念的多重表徵以及學生 如何藉由二次函數表徵學習數學概念。 二、函數的教學 Vinner(1983)的研究指出，學生對於老師所給予的函數經驗會做選擇性的觀 察，且函數的迷思概念都源自於老師上課所講的或是教科書上的描述，做有選擇 性的觀察。因此如何進行函數的教學是一個重大課題。由函數的學習與困難中， 我們發現圖形對函數的學習佔有不可或缺的地位。學生需藉由具體的函數圖形分 析其性質。Yerushalmy(1988)建議下列學習函數及其圖形的主題，使圖形能夠形 成有效率的回饋：(1)座標系統的圖形表徵、語言表徵、代數符號表徵的規則；(2) 與圖形和座標系統有關的概念(軸、有序數對、表列值)；(3)轉移離散的點到函數 和圖形；(4)將圖形和函數用不同的準則分類；(5)理解函數的各種參數所扮演的 角色；(6)幾何的轉換函數與圖形；以及(7)觀察平行的改變符號表徵。 學習函數的多重表徵為學習函數的重要課題(NCTM，2009)。TRM(代數、圖 形和表列表徵)課程結構被列出如下：(1)函數概念的直覺性理解；(2)函數的圖形 表徵；(3)函數的代數表徵；(4)轉移這三種表徵；以及(5)在方程式的解和方程式 系統、極值問題、圖形的幾何轉換(平移、對稱)以及連結代數的轉換的問題，鼓 勵學生轉移代數、表列和圖形表徵，並選擇適當的表徵進行解題。 許多研究試圖找尋能幫助學生學習函數的教學工具，其中電腦被認為是一個
17 好的工具支持函數圖形的教學。Moschkovich等人(1993)提出學生透過圖形在電腦 的可操作性，形成函數圖形為一個物件的視覺經驗，幫助他們發展操作型定義在 線型函數的課程，他們運用電腦學習代數式係數的意義並理解斜率的形式定義， 以進行對線型函數的深度理解。 透過前面的文獻，學生對函數的學習困難主要在於函數的多重表徵，故教導 學生進行函數的各種表徵的理解、轉換以及轉移是非常重要的事。Kieran和 Carolyn(1993)指出電腦提供一個豐富函數學習環境，由於電腦能動態展現函數的 過程並能同時改變圖形、代數和表列表徵，幫助學生形成函數的概念，且電腦環 境可減少學生重複過多的計算以及程序性步驟，例如作出函數圖形的列表及描點， 使學生能夠聚焦在視覺探索圖形並從中增進圖形的深層理解。Kaput(1993)建議應 該藉由各種表徵的形式以及應用的經驗理解函數的應變關係，電腦工具可以突顯 函數的行動(action)而非單只是呈現，電腦環境可以提供學習過程的引導由於限制 和支持在立即性的回饋。Lu(2008)的研究中指出資訊與溝通科技(Informationand Communication Technology)可以支持函數概念的教學，ICT具有轉換潛力建構學生 的結構性理解並能發展學生在學習函數的洞察力，使學生在處理函數任務時能使 用彈性的概念。Dreyfus與Halevi(1988)建議二次函數的學習環境要整合互動學生 的問題和老師的引導活動，讓他們使用電腦作為工具去建立起學習環境。 總結上述研究，使用電腦進行函數教學有下列幫助： (一) 提供精準的圖形幫助學生探索函數的概念。 (二) 減少函數過多的計算和程序步驟，使學生能夠花更多的時間去經驗更多不同 的函數圖形以及其概念，以幫助學生進行函數的理解。 (三) 提供動態鏈結多重表徵幫助學生探索函數的概念。 因此，研究者欲使用電腦提供的數位教學環境做為一項有力的工具幫助學生 發展函數的概念，並期望能透過設計二次函數數位的教學環境，幫助學生發展二 次函數的概念，二次函數的數位教學環境設計將擺在第五節中詳細討論。
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第三節 數學概念的多重表徵
由於數學的知識本身是抽象的，因此在數學學習的過程中我們需要使用代數 符號來表徵實體的物件。若我們熟悉代數符號的運算時，就不需要實體物件的對 應。個體獲得新知識需藉由將實體的物件抽象化到心中進行認知，以形成基模。 學習者為了學習龐大而複雜的數學知識，需要不斷地接觸新事物，發展不同的表 徵形式以進行抽象化及內化，並利用舊基模來統整新知識，進而學習。內化成內 在表徵指的是藉由表徵將外在抽象型態進行內在建構(Goldin，1987)。換句話說， 個體為了溝通及學習其數學概念，需要藉由符號表徵為媒介內化在個體的心智中， 或將其概念藉由符號表徵呈現在外在，所以表徵的角色在學習過程中扮演重要的 地位(Duval,2006;Vygotsky,1978)。 Lesh 等人(1987)認為數學概念的學習上的表徵可以分為五類，分別為書寫符 號表徵(written symbols)、口說語言表徵(spoken languages)、圖形影像表徵 (puctures or diagrams)、具體操作表徵(manipulation models)、具體事物經驗表徵 (experience-based ‘’scripts”)。而對於這五種表徵類型，學生除了學習掌握各個表 徵所隱含的意義外，亦須具備不同表徵之間的轉移能力。 Janvier(1987)認為一個具有多重表徵的數學概念就如同一座冰山，每個冰山 的一個角就代表一種表徵形式，若學生無法對函數的不同表徵做適當連結，將造 成學習的障礙。由此可知，學生學習二次函數的概念時，必須建構表徵結構的冰 山在心中，這個表徵結構的冰山每個角都很重要。因此，研究者期望學生能透過 二次函數的教學，幫助學生運用二次函數的各種表徵，進而能夠掌握二次函數的 多重表徵的概念。在解決二次函數的相關問題時，題目呈現的表徵形式就像冰山 浮出水面的一個角，學生要能妥善地轉動他心中建構的整座冰山，讓需要的角浮 出來，亦即必須能夠掌握各個角的表徵形式。而其中轉動各個角，指的是轉換及 轉移。 因此，概念發展的過程中，學生必須學習數學概念的不同表徵並能夠適時選19 用各種不同的表徵。Even(1998)指出各種表徵的知識並非互相獨立的，以不同的 方式處理數學概念、表徵脈絡以及使用符號的相關知識是緊密連結的。他亦指出 學習者若能知道一種表徵，未必能夠理解另一種表徵。多重表徵不僅可以幫助學 生學習數學，使學生可以創造並使用表徵去組織、記憶與溝通數學概念，它亦可 以幫助學生發展一個完整的數學表徵，並得以有意義地、靈活地、適當地使用數 學概念(蔡志仁，2000)。Duval(2006)亦指出學習數學時，符號表徵的使用可以互 相轉換。由上述研究可知，多重表徵在學習過程中扮演重要地位，若學生能夠彈 性的轉換、轉移多重表徵，則有助學生理解數學概念。 許多研究顯示函數的學習與許多表徵有關。Kaput(1989)提出函數主要的三種 表徵形式為代數式、圖形、表列。林保平(2008)描述這三種表徵其各有其特性： (1)表格表列表徵強調函數的對應性質；(2)圖形表徵強調函數的整體呈現；(3)代 數式表徵是符號運算式的表徵。詳細比較這三種表徵形式各自有其優點與缺點如 表 2-2。 表2-2 表列、圖形、代數式三種表徵優缺點比較 優點 缺點 表 列 1. 提供了圖形參考來源，也提供方程 式的一些數值 2. 可幫忙解決圖形或相關經驗所產 生的誤解 1. 僅將有限點自動對應 2. 難看出二元關係之間的變化 與不變性 圖 形 1. 統整兩個數到一個點，藉由比較點 與點來說明兩數對的關係 2. 圖形可以是一個概念實體，然後用 來推理 3. 圖形可以蘊含許多先前的知識，具 有豐富的意涵 4. 全部的量會自動對應 從日常生活經驗得來的視覺知識 與推論過程在座標圖形的內容中 會產生誤解，圖形或圖形的相關經 驗可能會誤導座標化圖形的內容 代 數 式 1. 精簡且準確地說明二元關係 2. 包含了程序性知識 3. 參數蘊含了概念性知識 對於定義域及值域的變化非明顯 可觀察到的 上述研究顯示函數具有多重表徵，每個表徵對學習函數概念各有其幫助以及
20 重要性。因此，對學習者學習函數概念勢必要理解函數的多重表徵。 數學概念的理解與表徵的轉換以及轉移有關。Kaput(1989)提出合適的教學應 藉由使用表徵形式及結構來建立與表達數學意義。數學意義的建立，主要有兩大 部分： 1. 不同表徵間的轉移(translation)：包含兩種不同的數學表徵系統之間的轉 移，及數學表徵系統與非數學表徵系統的轉移。 2. 表徵之內的轉換(transformation)：(1)藉由圖案與語法(程序性)結構的學 習，透過特定表徵內部記號的轉移及操作。(2)藉由心智元件的建立，個體 透過對於操作、程序和概念的反思，以提供在更高的層次時成為新的操作、 程序和概念的基礎。 Duval 將表徵的轉換區分成兩種形式：處理(treatment)、轉化(conversion)。 處理指的是在相同符號寄存器間(register)的轉換。換句話說，處理(treatment)是 藉由改變不同的表徵形式在相同表徵情況下以利於得到我們所需要的資訊，將二 次函數的代數處理(treatment)如圖 2-3，它的困難在有兩點:(1)複雜的代數運算， 如配方與因式分解，(2)掌握各表徵的意義與功能，如從頂點式中可以看出頂點與 對稱軸。 頂點: (h,k) 與 y 軸交點(0,c) 與 x 軸交點: 對稱軸:x=h (𝛼, 0),(𝛽, 0) 圖2-3 二次函數代數表徵的處理(treatment) 轉化指的是表徵間的轉移。藉由轉換表徵以利我們讀取我們資訊。二次函數 代數表徵的轉化(conversion)如圖 2-4： 圖2-4 二次函數代數表徵的轉化(conversion) 代數 表列 圖形 因式分解 𝑦 = 𝑎(𝑥 − )2+ 𝑘 頂點式 𝑦 = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 一般式 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝛼)(𝑥 − 𝛽) 因式式 配方 展開 展開
21 在每個階段的課程中，改變表徵寄存器為學生的數學理解的門檻 (Duval,2006)。由此可見理解二次函數的概念需理解不僅需要理解與使用表徵， 亦需要掌握相同表徵的轉換與不同表徵的轉移。 表徵主要有三個功能與特色：不同表徵具有互補角色、不同表徵有其意義解 釋上的區隔與限制、不同表徵可以建立對於概念的深度理解(Ainsworth，2006)。 互補角色意旨藉由獨立表徵的優點在不同支持學習過程和不同的資訊之產生利 益。不同表徵蘊含不同的資訊，影響歷程的因素包含使用不同的使用者所造成的 個別差異，或採用的不同的學習策略所導致，抑或是由於解釋概念的課題不同， 而採取較佳的表徵方式來說明歷程；不同的表徵有本身內在條件，或是因某一表 徵限制另一表徵意義的解釋；表徵對於解釋概念上，具有深度理解的功能；它可 以說明抽象的概念、發展擴展的網絡，建立與其他觀念的關聯性。就算學習理解 表徵的轉換與轉移，若無法整合多重表徵，就無法使用多重表徵的功能。亦即， 學習者若能整合多重表徵，就能彈性地獲得表徵的功能。 由上述研究可知，表徵的理解、表徵內的轉換、表徵間的轉移以及多重表徵 的整合在函數概念學習中佔有不可或缺的地位。本研究教學重點為將二次函數多 重表徵作為教學時的記號中介工具，幫助學生進行表徵的理解、表徵內的轉換、 表徵間的轉移以及整合多重表徵，進而幫助學生建構二次函數概念。因此，研究 者在設計二次函數課程時，除了將二次函數的表徵呈現出來，使學生能對函數表 徵有清晰的概念之外，亦強調表徵之間連結，以幫助學生學習二次函數的概念。
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第四節 數學的概念結構與發展過程
如何幫助學生建構數學概念結構為數學學習的重要議題。Vinner(1983)認為 數學概念結構為個體在心智中所建構。其主要包含兩部分，分別為概念定義與概 念心像。概念定義為語言上的定義，此定義以非循環的方式正確解釋該概念。舉 例來說，若要說學生能完整掌握二次函數的概念定義，則學生需知道二次函數的 定義為形如𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐且𝑎 ≠ 0的函數。概念心像為個體在學習概 念時所認知的數學結構，它又細分成心智圖像以及概念性質與運算。心智圖像為 個體心智中所有關於此概念的可視覺化的表徵所成的集合。而概念性質與運算為 此概念所具備的特殊性以及可加以操弄的方式。Vinner 在研究中分析 10 年級以 及 11 年級的學生在學習函數概念時的一些現象，結果指出一個概念的定義不是 被個體或是由個體自己所建立的，所以容易遺忘。而個體思維傾向概念心像而非 概念定義。他從中發現，一個個體需要使用概念時，往往喚起的是概念心像。 研究者欲知道學生學完國中二次函數單元後的概念結構為何，做為設計高中 二次函數的課程的參考，期望幫助學生學習高中二次函數。因此，透過第三節依 據國中南一教科書所訂定的數學結構來檢驗學生在學完二次函數的概念結構。 Vinner(1992)指出教師扮演著組成學生概念心像的重要角色，其中學生的概 念心像會受教學的影響。本文欲使用此概念結構。研究者欲用第一節所訂定的高 中二次函數數學結構，以檢驗學生在學完二次函數的概念結構來探討本研究設計 的二次函數課程教學成效。 學習者必須透過具體經驗的累積再經由反思形成較為抽象的概念。在學習者 的數學概念發展上，需透過經驗的累積、內化，並藉由與數理邏輯經驗協調而產 生。這樣的概念稱為形成過程 Piaget 稱為反思抽象(reflective abstraction)。 Sfard(1991)則進一步將抽象的數學概念分成操作性和結構性去探討。操作性概念 指的是數學概念可以被過程或行動所表徵，而結構性概念是數學概念可視為物件， 如表 2-3。以函數為例，學習者若將函數視為特定計算過程，則此概念停留在操23 作性概念。學習者若將視為一種結構為從一個系統到另一個系統的方法，則發展 到結構性概念。 表2-3 結構性概念與操作性概念(引自 Sfard，1991) 操作性概念 結構性概念 一般特徵 數學本質可視為某一過程 的產物或過程本身的定義 數學本質可視為一靜態的 結構，如一實體 內在表徵 被言辭表徵所支持 被視覺心像所支持 在概念發展中的地位 概念形成發展中的第一步 從操作性概念進化而來 在認知過程中的角色 對於實際解題與學習概念 是必要的，但卻不足夠 幫助所有的認知過程(例 如：學習、解題) Sfard 認為需要透過操作性概念發展，其結構方式才會慢慢演化出來。然後 發展成一種可操弄，不需涉及過程或行動的結構性概念。由此可知，此兩種概念 上看似不相容，但其實是互補的。 他亦提出由操作性概念到結構性概念有三階段： 1. 內化(interiorization)：藉由逐漸熟悉數學物件的操作過程，最後產生新的概念， 其目的是為了熟練地實施這些過程。 2. 壓縮(condensation)：將冗長的運算或過程壓成可以處理的單位，在此階段， 學生可將給定的過程視為整體，且只要尚未達到物化，壓縮階段就會持續地進 行下 3. 物化(reification)：學習者能夠將整個過程凝固成一個物件，進入一個靜態的結 構。此時學習者將可以研究它的一般性質，與其表徵之間的各種不同的關係； 亦將其能夠解決問題，包括此一種類在滿足給定條件下的所有例子。 數學概念的發展過程一定要按照內化→壓縮→物化的順序進行。若某一層次 尚未達成，即無法前進至下一個層次。而且，當一個概念達到物化時，這個概念 又可當作一個物件被操作，再次經過內化→壓縮→物化等過程，形成一個更高階 的概念，如此概念得以不斷的發展，如圖 2-4 所示。
24 圖2-5 Sfard 的概念發展過程 以二次函數圖形平移概念為例，學習者能藉由操作將兩個具有平移關係的代 數式經由表列轉換成圖形，例如畫出𝑦 = 2𝑥2與𝑦 = 2(𝑥 − 1)2，則學生在內化的 階段。若學生藉由觀察二次函數的點以及圖形知道此兩圖形為平移的關係，則學 生在壓縮的階段。學生理解二次函數圖形的平移與代數表徵之間的關係，並將其 視為一種性質，並能知道二次函數的二次項係數𝑎不變，為平移的兩圖形，開口 大小相同。此時，學生將二次函數的平移視為一個物件結構。研究者分析高中南 一版的教科書發現，南一教科書在學二次函數圖形的變動的數學結構時，使用了 任意二次函數圖形𝑦 = 𝑎(𝑥 − )2+ 𝑘皆可藉由標準二次函數𝑦 = 𝑥2圖形變動轉 換而成，這樣的想法可以看出編者期望學生能將函數圖形以物件的觀點建立函數 圖形變動的概念結構。 Dubinsky(1992)認為個體的數學知識指的是個體的傾向在回應某些類型的認 知問題情境，並藉由建構、重建、組織心理過程和物件去處理情境。Dubinsky(1991) 提出 APOS 理論，理論最開始於假設數學知識包括個體的傾向去處理認知數學問 題的情境藉由建構心理行動、過程和物件以及組織他們在基模中去理解情境和解 決問題。其想法來自於試圖將兒童學習反思抽象的工作擴展到大學數學學習的層 次。APOS 理論是由 Piaget 反思抽象的認知觀點以及 Sfard 提出數學概念含具體的
25 操作與形式化的結構，延伸而成的學習理論。 Dubinsky 認為個體的學習是透過其心智結構來讓學習數學產生意義。概念的 發展是由「行動(Action)」在舊有「物件(Object)」上以學習新概念，再經由此概 念內化(interiorization)於心智，此概念就會達到「過程(Process)」階段，最後膠囊 化(encapsulation)形成新的「物件」概念，而這些物件被系統化為一個架構形成 的基模(Schema)。APOS 的理論即為描述此概念膠囊化(encapsulation)的一個過程， 其運作模式如圖 2-5。 圖2-6 APOS 理論運作模式(Dubinsky,1992) APOS 的四個組成部分：行動(actions)、過程(process)、物件(objects)和基模 (schemas)。這四個組成成分為有層次性以及順序性的。然而，個體理解與建構發 展概念並非為線性序列的想法而是一個特定辯證的數學想法。 個體透過外在物件所提供的資訊，以正確的步驟執行變換，這個操弄的過程 稱為行動。若個體的理解只著重於依照步驟完成變換的行動，則其停留在行動層 次上。若個體被限制於某些特定種類的公式，經由動作的重複反思在行動上，則 此行動可能產生內化(interiorization)後形成過程。比較過程與行動的差異，過程 為內化而非外在的，且其在具有某一特定目的下的執行，並非反應外在刺激而產 生操作。當學習者理解數學概念的程度能夠熟練操作行動，能在適當時機加以運 用，不需要透過特定的外在引發，則稱學習者達到過程層次。個體在過程層次進 行過程的協調(coordination)與逆化(inversion)。協調指的是統合過程，而逆化指的 是將原先的過程反過來，Dubinsky 認為逆化是最困難的一種反思抽象。當過程進 一步成為操弄對象而任意轉換時，這個過程就被膠囊化(encapsulation)構成形式 化的物件(object)，這物件便成為進一步被操弄的對象。亦即個體在反思特定程
26 序中一些行動的時候，能把過程視為一個整體，並且這個整體能夠再度進行其他 變換(無論它們是行動或過程)，則我們說這個個體已經將這個過程膠囊化重新建 構為一個認知的物件。當個體能夠將想法或概念當成物件來處理，則我們說這個 個體已經達到物件的層次。如果個體有需要，其也能夠在物件上進行一些行動， 且物體也能夠將物件解膠囊化(de-encapsulation)，讓這個物件回復到原來的行動 與過程層次中，或是已經主題化的基模還原成各種構成要素。而基模層次為一個 行動、過程與物件做整合。一個確切數學概念的基模指的是個體的行動、過程、 物件和其他基模連結一些一般性的原則在個體的心中組成一個框架的集合，它可 以帶來涉及此概念的問題情境的忍受。因為這一理論認為所有的數學實體可以被 表徵在行動、過程、物件和基模，所以基模的想法是非常相似於概念心像。 以個體發展二次函數概念的理解為例，個體行動在給定一個二次函數物件 y=f(x)和指定的 x 值，個體經由上述物件 y=f(x)(不論函數 y=f(x)以何種表徵出現)， 求出對應的 y 值，則個體藉由內化達到過程層次。協調過程指的是個體要作出二 次函數圖形需藉由依照特定的次序將代數轉移到表列以及表列轉移到圖形這兩 個過程合而為一，最後將其內化成一個過程。逆化過程即將二次函數圖形的作圖 反過來的過程，即給二次函數圖形求出代數式。個體經由協調與內化過程理解二 次函數的過程層次。為了發展成各種基模，個體要可整合過程和物件。個體可以 把二次函數圖形視為一個物件去操弄即達到物件的層次，即為膠囊化。將二次函 數圖形還原為所有點(x,f(x))所構成的即是解膠囊化。個體整合上述過程即可發展 二次函數的各種基模，如二次函數可以發展出平移的基模、圖形的基模、係數的 基模以及極值的基模。 Piaget 認為學習是個體不斷同化(assimilation)與調適(accommodation)舊經驗 來獲得學習與外在環境平衡(equilibriu)的過程。Dubinsky 基於這樣的理論推廣至 數學學習，認為學生在不同時空面對問題情境時，會喚起不同的心智結構並以不 同的分法來面對問題。因此，心智結構並不是靜態的，而唯有透過心智或行為上
27 不斷地擴張，學習才會發生。Dubinsky 認為學習數學是透過心智上或行為上不斷 地建構和組織(constructing reconstructing)心智程序與物件的過程，透過不斷的循 環，心智結構便得以擴充進入較為抽象的層次。並提出使用這樣的教學策略可以 顯著改善學生在學習複雜或抽象的數學概念和使用這些概念來證明定理、舉例和 解決問題。研究者欲用 Dubinsky 的 APOS 理論來幫助學生發展認知層次為本研究 二次函數課程的教學策略。
Gray 與 Tall (1994)指出符號同時結合過程及其輸出結果。David Tall(2001)等 人提出過程概念(procept)理論。過程概念主要被視為認知結構，在這個認知結構 中符號(symbol)可以做為樞紐，其聚焦在切換計算或操作過程到認為可操作實體 為一個概念。換句話說，符號扮演介入於進行過程(processed to be carried)與思考 的概念(concepts to be thought about)之間切換樞紐的角色。
典型傳統的符號數學概念的發展，是由程序步驟(procedure)進展到過程 (process)，進而發展出過程概念(Procept)時，其發展過程如圖 2-6。學習者反覆練 習一個步驟(例如因式分解、配方)，可以幫助其正確的處理一些典型的問題。熟 練一個或多個相關的步驟(進入程序 process 階段)，學習者可以更靈活並有效率 地解題。當學習者對學習符號發展成過程概念(procept)時，表示該初學者能夠掌 握此一數學符號背後所隱含的運算過程(熟練計算)，而且能了解其數學意涵與概 念，並能視情況需求而在程序與概念之間做切換。然而初學者的符號數學概念發 展並非單純線性成長關係(procedural→process→procept)，而是在過程與概念間 來來回回的修正，最後才形成穩定的過程概念。由此可知，David Tall 等人考慮數 學概念在一個被壓縮且可操作的方式。此時，也可以視符號為一個實體，允許操 弄符號在過程和概念之間。
28 圖2-7 運用數學過程、程序與程序性概念的光譜 以二次函數的作圖為例，學生由二次函數的代數表徵(𝑦 = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐)轉換 為表列表徵即為一種程序(procedural)；再經由表列表徵描點至座標平面，亦為一 種程序；最後，將離散的點用光滑的曲線連接形成二次函數圖形，則是另一種程 序。而這些程序所形成的集合，即為過程(process)；所有過程可形成二次函數極 值的過程性概念。 𝑦 = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 (二次函數的代數表徵) ⇒ x (表列表徵) y ⇒ (描點) ⇒ (描圖) 過程概念具有對偶性質，意指數學概念同時具有過程和概念。換而言之，過 程概念指的是數學物件同時包含程序性知識和概念性知識。程序性知識是「知道 如何做」(know how)，概念性知識是「知道為何這樣做」(know why)，學生對於
29 數學概念的學習，如果停留在程序性的理解，那麼一旦缺乏足夠的練習，很容易 遺忘或產生錯誤；再者，程序性知識彼此間是離散的，對於學習者而言，學習負 荷亦較重(Hiebert，1986)。擴展程序性概念需藉由反思才能達到更高層次的數學， 進而學習到概念性知識。Tall 與 Thomas(1991)認為多功能的思考(versatilethinking) 為可靈活運用於更廣泛的符號和視覺表徵之間的聯繫，這涉及物件的感知方面與 符號的操弄方面間的關係。因此，幫助學生發展多功能思考為教學的主要課題。 總結 APOS、過程概念以及過程物件這三個理論，APOS 運用程序去做操弄來 建立概念，過程概念則強調學生在執行程序的時候就將概念融入，過程物件中程 序與概念兩個其實為同一件事，Sfard 指出對專家而言，掌握程序性知識就是掌 握概念，個體透過內化再經過練習去凝化，最後透過運用與其他概念整合變成一 體就成物化。歸納 APOS 提出的內化、膠囊化、Tall 指的過程概念，亦即符號化， 以及 Sfard 的內化，這些都需透過記號仲介。因此，表徵的存在就有其必要性。 在腦中把不同表徵，不管是藉由行動或是其他，都要轉換成表徵。為了使這些表 徵可以運轉，表徵的轉移、轉換對個體而言非常重要。個體在形成內化的時候， 透過圖形表徵和代數表徵去整合。內化指的是整合這些表徵。表徵扮演概念發展 過程中重要的因素，透過表徵的轉移轉換以及整合來促進概念的內化、膠囊化。 而這三個理論的共通性是在它們都在強調一個數學概念的形成必須同時包含程 序性和結構性(物件性)。 由本研究所設計的教學實驗將依據上述理論，期望學生能夠藉由觀察表徵之 間的連結，幫助他們理解物件的操弄關係並學會整合多重表徵以進行概念的內化、 膠囊化，並藉此幫助學生發展二次函數的多功能思考。而概念是抽象，無法直接 操弄的，因此學習上須透過表徵做為學習概念的媒介。因此，我們將利用前三節 所得到的結論以及參考數位教學設計之文獻，進行高一二次函數數位課程設計。
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第五節 數位課程之教學設計
根據 Vygotsky(1978)的觀點，學習者透過外在符號內化為心智標誌(sign)以形 成概念，而工具為重要中介角色從行動到概念的組成。動態鏈結多重表徵的環境 為一教學工具，教學者透過操弄此環境可以幫助學生將外在符號內化成心智標誌， 可視為一個心理工具(Laborde et al,2007)。Dubinsky 等人(1992)使用電腦軟體 ISETL 來幫助大學生學習函數的概念。他們認為學習函數是要透過函數的動態表徵，除 了找出學生學習函數的錯誤類型外，他們還針對這些錯誤類型設計教學策略。研 究者欲使用電腦提供的數位教學環境做為一項有力的工具幫助學生發展函數的 概念，並期望能透過設計二次函數的數位教學環境，幫助學生發展二次函數的概 念。 Schoenfeld(1988)研究使用電腦軟體 Grapher 來幫助學生學習函數概念。他認 為： (1). 電腦能夠幫助學生掌握抽象的概念。 (2). 電腦的動態功能和溝通性質應盡量開發和利用。 (3). 學生能透過電腦看到一些不易看到的過程。 (4). 電腦計算能力可盡量利用，以減輕大量和複雜的計算過程。 (5). 學生可以用電腦來嘗試不同的構想和看其結果，以藉以幫助學習。 (6). 電腦可以反映出學生的了解程度。 Tso（2001）提到在電腦的學習環境中，學習者可以透過反思行動以形成抽 象概念，其原因為動態鏈結多重表徵系統的電腦學習環境不僅可以豐富概念性的 表徵，也可以重新組織認知結構，並產生新的表徵，如圖 2-7。故研究者設計動 態連結多重表徵的教學環境，應利用此環境增強外在表徵，提供訊息與操作以進 行觀察與反思行動，建構其內在表徵。
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圖2-8 動態連結多重表徵之學習環境設計模式構念圖(Tso，2001) Ainsworth (2006)提出設計多重表徵之學習環境的理論架構 DeFT，並指出可 以從多重表徵學習的設計參數 (Design Parameters)、多重表徵的教學功能
(Pedagogical Functions)以及學習者需進行的認知作業 (Cognitive Tasks)等三個基本 學習面向，來理解多重表徵所帶來的學習成效。下列統整這三個基本學習面向加 以陳述如何設計動態鏈結多重表徵教學環境以及如何應用到二次函數的教學設 計上： 1. 表徵的數量： 並非愈多同時呈現越好。表徵個數的設計決定仰賴於信息和運算性質 (computational properties)在表徵的需求，有些過多的表徵反而會造成注意力分散的 問題。在此多重表徵教學環境的設計上，將所呈現的表徵最少化，把代數區以及 不需要的表徵隱藏，可以減少學習分散注意力的問題。 2. 表徵信息的分佈的方式： 信息可以以多元的方式分佈在多重表徵上，使用多重表徵教學可以簡化個別 表徵的信息分佈，但表徵信息的分佈方式對個體和作業的差異有不同的影響，所 數學思維的抽象結構 （概念、解題技能、策略） 動態鏈結 多重表徵 外在表徵 內在表徵 刺激輸入 （具象化） 反應輸出 （解譯化） 訊息處理 （抽象化） 行動反思 (適應, 吸收, 轉移, 整合) 訊息 理解訊息 提取訊息 操作 知覺操作 認知操作 學習過程
