第二章 文獻探討
第四節 數學的概念結構與發展過程
如何幫助學生建構數學概念結構為數學學習的重要議題。Vinner(1983)認為 數學概念結構為個體在心智中所建構。其主要包含兩部分，分別為概念定義與概 念心像。概念定義為語言上的定義，此定義以非循環的方式正確解釋該概念。舉 例來說，若要說學生能完整掌握二次函數的概念定義，則學生需知道二次函數的 定義為形如𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐且𝑎 ≠ 0的函數。概念心像為個體在學習概 念時所認知的數學結構，它又細分成心智圖像以及概念性質與運算。心智圖像為 個體心智中所有關於此概念的可視覺化的表徵所成的集合。而概念性質與運算為 此概念所具備的特殊性以及可加以操弄的方式。Vinner 在研究中分析 10 年級以 及 11 年級的學生在學習函數概念時的一些現象，結果指出一個概念的定義不是 被個體或是由個體自己所建立的，所以容易遺忘。而個體思維傾向概念心像而非 概念定義。他從中發現，一個個體需要使用概念時，往往喚起的是概念心像。
研究者欲知道學生學完國中二次函數單元後的概念結構為何，做為設計高中 二次函數的課程的參考，期望幫助學生學習高中二次函數。因此，透過第三節依 據國中南一教科書所訂定的數學結構來檢驗學生在學完二次函數的概念結構。
Vinner(1992)指出教師扮演著組成學生概念心像的重要角色，其中學生的概 念心像會受教學的影響。本文欲使用此概念結構。研究者欲用第一節所訂定的高 中二次函數數學結構，以檢驗學生在學完二次函數的概念結構來探討本研究設計 的二次函數課程教學成效。
學習者必須透過具體經驗的累積再經由反思形成較為抽象的概念。在學習者 的數學概念發展上，需透過經驗的累積、內化，並藉由與數理邏輯經驗協調而產 生。這樣的概念稱為形成過程 Piaget 稱為反思抽象(reflective abstraction)。
Sfard(1991)則進一步將抽象的數學概念分成操作性和結構性去探討。操作性概念 指的是數學概念可以被過程或行動所表徵，而結構性概念是數學概念可視為物件，
如表 2-3。以函數為例，學習者若將函數視為特定計算過程，則此概念停留在操
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作性概念。學習者若將視為一種結構為從一個系統到另一個系統的方法，則發展 到結構性概念。
表2-3 結構性概念與操作性概念(引自 Sfard，1991)
操作性概念 結構性概念
一般特徵 數學本質可視為某一過程 的產物或過程本身的定義
數學本質可視為一靜態的 結構，如一實體
內在表徵 被言辭表徵所支持 被視覺心像所支持 在概念發展中的地位 概念形成發展中的第一步 從操作性概念進化而來 在認知過程中的角色 對於實際解題與學習概念
是必要的，但卻不足夠
幫助所有的認知過程(例 如：學習、解題)
Sfard 認為需要透過操作性概念發展，其結構方式才會慢慢演化出來。然後 發展成一種可操弄，不需涉及過程或行動的結構性概念。由此可知，此兩種概念 上看似不相容，但其實是互補的。
他亦提出由操作性概念到結構性概念有三階段：
1. 內化(interiorization)：藉由逐漸熟悉數學物件的操作過程，最後產生新的概念，
其目的是為了熟練地實施這些過程。
2. 壓縮(condensation)：將冗長的運算或過程壓成可以處理的單位，在此階段，
學生可將給定的過程視為整體，且只要尚未達到物化，壓縮階段就會持續地進 行下
3. 物化(reification)：學習者能夠將整個過程凝固成一個物件，進入一個靜態的結 構。此時學習者將可以研究它的一般性質，與其表徵之間的各種不同的關係；
亦將其能夠解決問題，包括此一種類在滿足給定條件下的所有例子。
數學概念的發展過程一定要按照內化→壓縮→物化的順序進行。若某一層次 尚未達成，即無法前進至下一個層次。而且，當一個概念達到物化時，這個概念 又可當作一個物件被操作，再次經過內化→壓縮→物化等過程，形成一個更高階 的概念，如此概念得以不斷的發展，如圖 2-4 所示。
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圖2-5 Sfard 的概念發展過程
以二次函數圖形平移概念為例，學習者能藉由操作將兩個具有平移關係的代 數式經由表列轉換成圖形，例如畫出𝑦 = 2𝑥2與𝑦 = 2(𝑥 − 1)2，則學生在內化的 階段。若學生藉由觀察二次函數的點以及圖形知道此兩圖形為平移的關係，則學 生在壓縮的階段。學生理解二次函數圖形的平移與代數表徵之間的關係，並將其 視為一種性質，並能知道二次函數的二次項係數𝑎不變，為平移的兩圖形，開口 大小相同。此時，學生將二次函數的平移視為一個物件結構。研究者分析高中南 一版的教科書發現，南一教科書在學二次函數圖形的變動的數學結構時，使用了 任意二次函數圖形𝑦 = 𝑎(𝑥 − )2+ 𝑘皆可藉由標準二次函數𝑦 = 𝑥2圖形變動轉 換而成，這樣的想法可以看出編者期望學生能將函數圖形以物件的觀點建立函數 圖形變動的概念結構。
Dubinsky(1992)認為個體的數學知識指的是個體的傾向在回應某些類型的認 知問題情境，並藉由建構、重建、組織心理過程和物件去處理情境。Dubinsky(1991) 提出 APOS 理論，理論最開始於假設數學知識包括個體的傾向去處理認知數學問 題的情境藉由建構心理行動、過程和物件以及組織他們在基模中去理解情境和解 決問題。其想法來自於試圖將兒童學習反思抽象的工作擴展到大學數學學習的層 次。APOS 理論是由 Piaget 反思抽象的認知觀點以及 Sfard 提出數學概念含具體的
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操作與形式化的結構，延伸而成的學習理論。
Dubinsky 認為個體的學習是透過其心智結構來讓學習數學產生意義。概念的 發展是由「行動(Action)」在舊有「物件(Object)」上以學習新概念，再經由此概 念內化(interiorization)於心智，此概念就會達到「過程(Process)」階段，最後膠囊 化(encapsulation)形成新的「物件」概念，而這些物件被系統化為一個架構形成 的基模(Schema)。APOS 的理論即為描述此概念膠囊化(encapsulation)的一個過程，
其運作模式如圖 2-5。
圖2-6 APOS 理論運作模式(Dubinsky,1992)
APOS 的四個組成部分：行動(actions)、過程(process)、物件(objects)和基模 (schemas)。這四個組成成分為有層次性以及順序性的。然而，個體理解與建構發 展概念並非為線性序列的想法而是一個特定辯證的數學想法。
個體透過外在物件所提供的資訊，以正確的步驟執行變換，這個操弄的過程 稱為行動。若個體的理解只著重於依照步驟完成變換的行動，則其停留在行動層 次上。若個體被限制於某些特定種類的公式，經由動作的重複反思在行動上，則 此行動可能產生內化(interiorization)後形成過程。比較過程與行動的差異，過程 為內化而非外在的，且其在具有某一特定目的下的執行，並非反應外在刺激而產 生操作。當學習者理解數學概念的程度能夠熟練操作行動，能在適當時機加以運 用，不需要透過特定的外在引發，則稱學習者達到過程層次。個體在過程層次進 行過程的協調(coordination)與逆化(inversion)。協調指的是統合過程，而逆化指的 是將原先的過程反過來，Dubinsky 認為逆化是最困難的一種反思抽象。當過程進 一步成為操弄對象而任意轉換時，這個過程就被膠囊化(encapsulation)構成形式 化的物件(object)，這物件便成為進一步被操弄的對象。亦即個體在反思特定程
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序中一些行動的時候，能把過程視為一個整體，並且這個整體能夠再度進行其他 變換(無論它們是行動或過程)，則我們說這個個體已經將這個過程膠囊化重新建 構為一個認知的物件。當個體能夠將想法或概念當成物件來處理，則我們說這個 個體已經達到物件的層次。如果個體有需要，其也能夠在物件上進行一些行動，
且物體也能夠將物件解膠囊化(de-encapsulation)，讓這個物件回復到原來的行動 與過程層次中，或是已經主題化的基模還原成各種構成要素。而基模層次為一個 行動、過程與物件做整合。一個確切數學概念的基模指的是個體的行動、過程、
物件和其他基模連結一些一般性的原則在個體的心中組成一個框架的集合，它可 以帶來涉及此概念的問題情境的忍受。因為這一理論認為所有的數學實體可以被 表徵在行動、過程、物件和基模，所以基模的想法是非常相似於概念心像。
以個體發展二次函數概念的理解為例，個體行動在給定一個二次函數物件 y=f(x)和指定的 x 值，個體經由上述物件 y=f(x)(不論函數 y=f(x)以何種表徵出現)，
求出對應的 y 值，則個體藉由內化達到過程層次。協調過程指的是個體要作出二 次函數圖形需藉由依照特定的次序將代數轉移到表列以及表列轉移到圖形這兩 個過程合而為一，最後將其內化成一個過程。逆化過程即將二次函數圖形的作圖 反過來的過程，即給二次函數圖形求出代數式。個體經由協調與內化過程理解二 次函數的過程層次。為了發展成各種基模，個體要可整合過程和物件。個體可以 把二次函數圖形視為一個物件去操弄即達到物件的層次，即為膠囊化。將二次函 數圖形還原為所有點(x,f(x))所構成的即是解膠囊化。個體整合上述過程即可發展 二次函數的各種基模，如二次函數可以發展出平移的基模、圖形的基模、係數的 基模以及極值的基模。
Piaget 認為學習是個體不斷同化(assimilation)與調適(accommodation)舊經驗 來獲得學習與外在環境平衡(equilibriu)的過程。Dubinsky 基於這樣的理論推廣至 數學學習，認為學生在不同時空面對問題情境時，會喚起不同的心智結構並以不 同的分法來面對問題。因此，心智結構並不是靜態的，而唯有透過心智或行為上