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二次函數課程分析

第二章 文獻探討

第一節 二次函數課程分析

第二章 文獻探討

研究者期望幫助高中生建構高中二次函數概念。因此,欲藉由設計二次函數 的教學期許能幫助學生整合二次函數各種形式的表徵,並能以運用適當的表徵來 解決問題。研究者藉由分析學生在動態(dynamic)數位教學環境與靜態(static)海報 圖形教學環境中學習二次函數的結果,探究使用動態幾何軟體的教學環境下,學 生所形成的概念結構以及二次函數表徵運用情形之差異性。因此,本章將先分析 二次函數課程內容,接下來則是學生對於函數與二次函數學習的相關研究,第三 節說明數學概念的多重表徵,第四節闡述數學的概念結構與發展過程。最後,在 第五節中討論如何利用數位教學設計。

第一節 二次函數課程分析

本節首先討論二次函數單元在國中課程中的能力指標與分年細目,以此了解 國中二次函數課程的數學結構,再探討如何從國中與高中二次函數對應到高中二 次函數課程綱要,並以此了解國高中二次函數課程的差異。

在 97 國中數學課程綱要中,將二次函數安排在九年級,其先備知識函數及 其圖形和一元二次方程式分別放在七年級與八年級。學生會在二次函數上配方容 易產生錯誤,除了配方本身為一個較複雜的代數表徵內的轉換外,研究者認為,

由於一元二次方程式與二次函數課程的學習相隔一年多,學生可能遺忘二次函數 的程序性概念。然而,函數本身為較抽象的概念,二次函數為學生第二次學習函 數的主題,與第一次學習函數及其圖形時間間隔較長,兩次學習函數的時間間隔 是否會影響學生在學習二次函數時忽略背後的函數意義,老師的介入就在這裡佔 有舉足輕重的地位。

從國中的能力指標與分年細目中,如表 2-1,研究者發現國中所學的二次函 數著重於三件事分別為(1).繪圖:也就是代數表徵藉由表列表徵轉移為圖形表徵,

理解及應用代數表徵轉換成圖形表徵。(2).拋物線的部分幾何性質:頂點、開口

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義域的極值問題、判別式、正定性(恆正性)、應用實例、能繪出二次函數的不 同代數呈現形式,與進行二次函數不同型式的轉換。研究者依據南一版和翰林版 教科書,將高中二次函數的課程內容的數學結構分為三大部分:二次函數的代數 呈現形式中係數的意義、二次函數圖形的變動以及數值,如圖 2-2。相較於國中 二次函數單元的學習內容,高中不僅以拋物線的幾何性質與結構為學習目標,而 更增加不同形式代數表徵之間的轉換、不同定義域的極值問題以及正定性。在二 次函數圖形變動的部分,在國中時只用直觀的方式說明其關係,高中加入以數學 符號去進行抽象邏輯思考以及形式化演繹推理其變動關係。其編排想法為期望學 生以二次函數作為例子或當成對照,學習函數的伸縮、對稱、平移等函數的變換。

圖2-2 高中二次函數數學結構

數學結構

二次函數的代數呈現 形式中係數的意義

二次函數圖形的變動 (兩拋物線關係)

開口大小(對y軸伸縮)

對稱x軸(對x軸鏡射)

平移

上下

左右

數值

函數值

極值

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