數位課程之教學設計

根據 Vygotsky(1978)的觀點，學習者透過外在符號內化為心智標誌(sign)以形 成概念，而工具為重要中介角色從行動到概念的組成。動態鏈結多重表徵的環境 為一教學工具，教學者透過操弄此環境可以幫助學生將外在符號內化成心智標誌，

可視為一個心理工具(Laborde et al,2007)。Dubinsky 等人(1992)使用電腦軟體 ISETL 來幫助大學生學習函數的概念。他們認為學習函數是要透過函數的動態表徵，除 了找出學生學習函數的錯誤類型外，他們還針對這些錯誤類型設計教學策略。研 究者欲使用電腦提供的數位教學環境做為一項有力的工具幫助學生發展函數的 概念，並期望能透過設計二次函數的數位教學環境，幫助學生發展二次函數的概 念。

Schoenfeld(1988)研究使用電腦軟體 Grapher 來幫助學生學習函數概念。他認 為：

(1). 電腦能夠幫助學生掌握抽象的概念。

(2). 電腦的動態功能和溝通性質應盡量開發和利用。

(3). 學生能透過電腦看到一些不易看到的過程。

(4). 電腦計算能力可盡量利用，以減輕大量和複雜的計算過程。

(5). 學生可以用電腦來嘗試不同的構想和看其結果，以藉以幫助學習。

(6). 電腦可以反映出學生的了解程度。

Tso（2001）提到在電腦的學習環境中，學習者可以透過反思行動以形成抽 象概念，其原因為動態鏈結多重表徵系統的電腦學習環境不僅可以豐富概念性的 表徵，也可以重新組織認知結構，並產生新的表徵，如圖 2-7。故研究者設計動 態連結多重表徵的教學環境，應利用此環境增強外在表徵，提供訊息與操作以進 行觀察與反思行動，建構其內在表徵。

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圖2-8 動態連結多重表徵之學習環境設計模式構念圖(Tso，2001) Ainsworth (2006)提出設計多重表徵之學習環境的理論架構 DeFT，並指出可 以從多重表徵學習的設計參數 (Design Parameters)、多重表徵的教學功能

(Pedagogical Functions)以及學習者需進行的認知作業 (Cognitive Tasks)等三個基本 學習面向，來理解多重表徵所帶來的學習成效。下列統整這三個基本學習面向加 以陳述如何設計動態鏈結多重表徵教學環境以及如何應用到二次函數的教學設 計上：

1. 表徵的數量：

並非愈多同時呈現越好。表徵個數的設計決定仰賴於信息和運算性質 (computational properties)在表徵的需求，有些過多的表徵反而會造成注意力分散的 問題。在此多重表徵教學環境的設計上，將所呈現的表徵最少化，把代數區以及

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以需考慮學習者的背景知識、技能和認知容量還有作業的內容。研究者在設計二 次函數教學上透過分析教科書以及學習者的概念定義與概念心像作為設計此教 學環境的參考。

3. 表徵系統的形式：

依據設計者與教學者使用，多重表徵可以扮演不同的學習功能。高中生九年 級時均學過初步的二次函數概念，因此，研究者期望能透過此多重表徵的教學，

幫助學生建立二次函數深度的理解，故在設計此教學活動時會在同一作業上使用 多重表徵鼓勵學習者從不同面相進行深度的理解。

4. 表徵的呈現次序：

Verdi 等人(1997)指出學習者用視覺顯示在相關文本之前可以喚起更多有意 義的信息，並建議在抽象化的過程中，提供學習者最少複雜可利用的具體表徵。

因此，一個新表徵應該被介紹在學習者完成自動化表現之前。在講解二次函數課 程中，動態鏈結多重表徵的環境相較於靜態教學環境，可以藉由呈現圖形讓學生 探索並輔助學習者將二次函數概念抽象化。

5. 表徵間的轉移：

電腦可以自動支持表徵間的轉移且有各式各樣的方式指出表徵間的連結。使 用動態鏈結可以幫助學習者行動在一個表徵且看出行動在其他表徵的突顯功能。

Kaput(1992)認為當表徵涉及表達行動序列而非最終結果有特別的利益。舉例來說，

電腦在呈現代數表達式和圖形的動態鏈結表徵時，可以降低學生的認知負荷。另 外，動態鏈結可能鼓勵學習者嘗試連結於超過他們的理解層次的概念。對於擁有 不同先備知識的學習者的幫助也不盡相同(Seufert, 2003)。此教學將利用電腦環境 的動態表徵幫助學生降低認知負荷以及整合多重表徵。

本研究將透過 Tso（2001）所提出的動態連結多重表徵之學習環境設計模式 構念以及 Ainsworth (2006)提出 DeFT 作為設計數位二次函數的教學環境的考量。

GeoGebra 目前在網路上是免費的共享的動態數學軟體。軟體特點包含代數圖 形的繪製與動態幾何的操弄。GeoGebra 透過代數方程式所產生的圖形，可以直接

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作幾何變換的操弄。除此之外，設計教學活動可配合 Java Script 語法控制其功能 物件。GeoGebra 軟體介面除了工具列，另外有代數區、幾何區以及輸入區三個區 塊：代數區可以顯示點座標、平面向量的座標表示、方程式、函數或是長度、角 度、面積等度量值；幾何區呈現點、直線、平面、函數圖形、方程式圖形等幾何 圖形以及文字說明方塊、圖形呈現的開關、數值控制滑桿等輔助工具；輸入區的 功能則在於輸入數值、函數、方程式以及代數運算或資料處理的指令。本研究在 教學環境中將代數區與輸入區關閉以減少學生分散注意力，將所有須呈現的表徵 在幾何區塊中呈現，並藉由呈現開關控制以減少不必要的信息，運用按鈕控制教 學流程。

動態數學軟體 GeoGebra 做為數學學習工具，具有如下基本功能：動態圖形、

動態行為、拉曳認知行動、連結多重表徵。此教學環境下，學習者可以藉由企圖 操作它們或過程刺激這些資訊變成訊息，進而建構訊息成為知識。GeoGebra 能夠 透過圖形動態呈現，從不同的面向進行觀察。對於二次函數的概念發展而言，能 夠幫助學生在行動階段，理解二次函數的代數與圖形表徵；在過程階段運用動態 多重表徵連結的功能，幫助學生連結二次函數的代數與圖形表徵；在物件階段可 以將二次函數圖形視為一個物件，藉此在物件上發展二次函數的圖形的數學結構，

有利於學生發展從操作性概念到結構性概念。以二次函數代數式轉移到圖形的過 程為例，電腦不會受限於複雜的代數運算以及時間的限制，故可呈現無限多個連 續的點提供學生觀察，研究者認為學生可以透過動點的軌跡建立起二次函數的連 續意義，而電腦描點過程可以以連續且立即性的方式呈現，有助於學生提取訊息，

並理解二次函數概念膠囊化與解膠囊化過程。總而言之，利用 GeoGebra 與 Java Script 所設計的動態幾何教學環境在二次函數的學習，可以幫助學生由視覺操弄 動態圖形進入，它符合數學概念發展理論的「從操作基本物件中學習建構物件」

想法。由上述可知， 動態幾何軟體 GeoGebra 的特色幫助學生認知數學概念。

本研究期望透過此二次函數的教學設計，可讓學生整合二次函數的多重表徵，

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並且能幫助銜接國高中二次函數課程。高中二次函數課程中，二次函數圖形變動 問題會在抽象的代數結構上進行形式化推理演繹。研究者認為數位環境呈現其操 作性與可操作性的過程，可以具象化教學者的內在表徵成外在表徵，進而幫助學 生理解推理的意義。並期望學生能夠透過本研究所提供的教學環境，從不同面向 觀察二次函數的表徵，以得到不同觀點去思考討論二次函數問題，藉此增進對二 次函數的概念的理解，形成對二次函數概念的多功能思考。

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