第五章 結論
第一節 研究結論
一、國高中二次函數課程的銜接性
國中二次函數課程中，透過二次函數的作圖，使學生產生對二次函數圖形的 直覺性理解，其課程內容聚焦在二次函數的圖形結構與幾何性質，透過大量的作 圖與觀察經驗，來產生直覺性的理解，學生對二次函數圖形的學習首先由𝑦 = 𝑎𝑥2， 接著學習𝑦 = 𝑎𝑥2+ 𝑘的圖形，進而學習到頂點式𝑦 = 𝑎(𝑥 − )2+ 𝑘的圖形，最後 由一般式𝑦 = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐進行配方成頂點式學習其圖形，在學習的過程中透過 觀察自己所畫出的圖形，培養對二次函數圖形的開口大小、對稱 X 軸以及平移與 代數式之間的關聯與直覺性理解。當學生對二次函數圖形具有直覺性理解時，學 生藉由二次函數圖形理解二次函數圖形與座標軸的關係，以及對圖形進行判讀，
最後進而學習二次函數的最大值或最小值。
高中二次函數課程則以國中所學過的二次函數概念作為基礎，主要的教學內 容為四部分：代數呈現形式中的幾何意義以及其轉換、二次函數的變動(伸縮、
對稱 X 軸與平移)、二次函數的極值與正定性。二次函數代數表徵的頂點形式與 一般形式其幾何性質與結構，以及二次函數與座標軸的關係做為基礎，進行高中 二次函數的代數呈現形式的轉換和其幾何意義的學習，以及圖形轉移成代數表徵 的過程。藉由國中二次函數的概念結構檢測可以發現，大多數學生能夠掌握二次 函數的幾何性質與結構，唯獨在處理二次函數圖形和 y 軸交點時容易有問題處生。
學生對於圖形轉移成代數表徵的過程有困難的部分，可以在高中課程進行強化。
二次函數的變動(伸縮、對稱 X 軸與平移)是由國中二次函數圖形的開口大小、對 稱 X 軸以及平移等概念延伸而來，期望高中學生學習此部分時，不僅僅只停留在 直覺性的理解，而是能夠在透過高中二次函數課程學習之後，對二次函數同時以 直觀的方式連結代數式和圖形，並能熟悉進行膠囊化與解膠囊化的過程，最後以
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此形式化推理演繹說明二次函數圖形的變動關係。而二次函數的極值概念則是從 國中二次函數的最大值與最小值延伸而來。依循高中才引入函數定義域與對應域 的概念，將二次函數的極值問題從定義域為實數域，延伸到定義域為閉區間。我 們從國中二次函數的概念結構檢測中不難發現，學生對學習定義域為閉區間的作 圖及極值的判定是有困難。某些學生僅會以整數表列判斷，這顯示了學生對二次 函數概念為離散不連續的，且也有部分學生從國中的經驗中認為，二次函數不管 在何種範圍下不會同時具備最大、最小值，這樣錯誤的觀念會影響到高中二次函 數定義域為閉區間極值的學習。由此可知，教學者可以介由幫助學生整合二次函 數多重表徵，用以進行學習二次函數的極值。而二次函數的正定性部分，在不同 版本的教科書中所擺放的位置會有所不同。它可能被列入二次函數或是二次不等 式的學習中。學生需透過高中所學的二次函數的代數呈現、係數的轉換，以及幾 何意義，或是經由國中所學的二次函數與 x 軸交點個數的概念用以進行學習二次 函數的正定性部分。
二、二次函數數位課程教學設計
本研究的教學活動設計將二次函數分成二次函數的意義、圖形與極值，以及 二次函數圖形的變換兩大部分，以表徵理論、數學概念發展理論以及數位課程之 教學設計作為理論基礎，使用 GeoGebra 配合 JavaScript 語言，來設計數位教學課 程。
本研究設計的數位教學環境，與傳統講述的教學環境相較之下，能夠提供豐 富的二次函數及其圖形、連續且即時的呈現二次函數多重表徵的鏈結性、圖形與 點物件的動畫的可操弄性、點的軌跡顯現為此數位教學環境的四大特色。數位教 學環境的視窗分為教學說明區以及圖形區兩個部分。教學說明區呈現範例、隨堂 練習、討論以及結論中所有非圖形表徵，其中包含了文字表徵、代數表徵以及表 列表徵。而圖形區的呈現以圖形表徵為主，在實驗組進行教學活動時，同時呈現
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點的動畫與函數值表徵鏈結供學生觀察，以及適時的由教學說明區的勾選框格連 結到圖形。此數位教學課程可以讓學生透過教學者的示範進行觀察與反思，透過 察覺多重表徵的鏈結關係，學習到二次函數表徵的整合。
學生透過數位教學的設計可能產生的主要幫助為：
(一) 文字說明區中的說明與圖形的連結可以讓學生較不受限圖形的視覺化，幫助 學生能注意到圖形背後的數學意義。
(二) 教學者可以讓學生即刻觀察到二次函數代數式、點、函數值、圖形之間的連 結性，理解表徵之間的關聯性。
(三) 教學者可運用按鈕自由操控每一列的文字說明的出現，因此，可以自由控制 停留在進行概念教學的時間，且無須受到粉筆黑板書寫速度的限制。
(四) 以動態鏈結圖形與代數式的呈現方式，可以經由大量的經驗圖形與代數式的 關係幫助學生對二次函數圖形的變動產生直覺性的理解。
(五) 受限於靜態的呈現，教學者在教學上會使用零散的點幫助學生臆測函數圖形，
但學生容易因此認為函數上圖形的點是較離散的，透過數位教學的呈現，
學生可以藉由觀察無限多個點的代入呈現，此過程較能幫助學生進行二次 函數概念的膠囊化。
(六) 在使用文字進行形式化推理演繹說明二次函數圖形的變動時，還能將設計者 的內在動態表徵具像化，提供成外在表徵並操弄給學生，賦與二次函數圖 形意義，提供學生具體的點與圖形的變動進行思考。
三、二次函數數位課程教學成效
在教學活動之後所實施的二次函數概念測驗中，以數學結構與表徵運用情形 兩個維度去設計。結果發現，透過此次的教學活動設計，兩組學生均可以達到明 顯的進步，且對於中程度與低程度的學生有明顯的幫助。在後測的表現中，兩組 的高程度與低程度學生無顯著差異，但在中程度學生的比較中，實驗組的學生答 題表現高於對照組且達到顯著水準，顯示此數位教學環境對中程度的學生有明顯
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的幫助。
由於兩組學生在性別分佈、年級、入學分數、教學教師、教學前的測驗均為 相同或無顯著差異的情況，因此，我們可以說兩組學生在二次函數的教學活動之 前的起點行為是相同的。因此，兩組學生在教學後的表現差異性，應該可以歸屬 於教學環境不同所造成的差異。
雖然數位教學環境的實驗組與靜態海報教學環境的對照組，其教學活動分解 與教學活動目標一致，且兩者均將二次函數的概念以多重表徵呈現出來。兩組的 差異在於所使用的教學活動環境呈現，它連帶影響學生接收的訊息與知識的建構。
在數位教學環境中，以動態鏈結多重表徵呈現二次函數的概念，除了強調動態表 徵以及其鏈結性，學生可以藉由教學者的引導進而觀察教學者操弄表徵的過程提 取與理解訊息，進而將外在表徵行動反思成內在表徵。動態幾何學習理論強調學 生能夠從連續的、動態的圖形，觀察到圖形變化模式，能夠幫學生建立動態心像。
再加上電腦視窗化的方式，能夠在同一畫面中，呈現多種不同形式的表徵，讓學 習者藉由教學者的引導觀察其中連結，因此我們可以說，動態鏈結多重表徵的教 學環境能夠將數學概念中表徵的連結關係具體的呈現出來，有助於學生連結以及 形成整合多重表徵的能力用以解決問題。
四、二次函數的概念結構與表徵認知
在教學活動前，大部分的學生遺忘二次函數的概念定義。在表徵認知方面，
許多學生對於點表徵與數值表徵產生混淆，也無法判讀與 x 軸交點的函數值。透 過教學活動對學生有明顯的改善，兩組學生對點表徵與數值表徵辨識以及掌握二 次函數的定義均有大幅度的進步。
在數位教學環境，透過代數表徵的係數與圖形的連結，學生的二次函數的概 念定義較容易被喚起。在教學活動前，有部分學生無法分辨二次函數的連續性與 表列表徵離散性兩者間的差異，透過數位教學環境亦可以幫助學生改善此情形。
此外，學生的概念心像中，較容易產生和進行二次函數概念膠囊化與解膠囊化的
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過程，透過數位教學環境亦可以幫助學生改善此情形，有助於學生整合二次函數 的多重表徵。
學生透過此數位教學活動設計，在二次函數圖形變動中較容易對一般式代數 表徵的圖形平移概念，以及圖形上的點與圖形對稱 x 軸與的連結產生直覺性理解。
透過二次函數代數表徵的係數、圖形以及圖形上的點的變動，有部分中程度學生 會產生動態心像，但對於高程度的學生依舊對二次函數圖形的變動停留在直覺性 理解。
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