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研究背景與動機

第一章 緒論

第一節 研究背景與動機

第一章 緒論

第一節 研究背景與動機

函數為協助學生了解其周遭世界最重要的數學工具之一,且其概念為數學許 多分支的基礎,故建立函數的概念將有效地幫助學生將數學工具與許多不同的主 題結合,包括數學領域、其他學門或是現實世界的應用,也因此發展學生使用與 了解函數的概念,為數學教育的主要目標之一(NCTM,2009)。而代數被列為九 年一貫能力指標五大主題之一,且函數的概念被認為是代數課程中必要的課題。

學生在求學生涯首次正式接觸函數通常是在國中階段的數學學習,並藉由一次與 二次函數來了解函數的自變數及應變數之概念;而在高中階段,對於函數的概念 不再只是著重於自變數以及應變數的共變關係,開始以集合的方式討論定義域與 對應域及其對應關係。學生透過這樣的想法去學習往後更抽象且複雜的函數單元:

多項式函數、指對數函數、三角函數、極限與函數以及函數與微積分。由此可知,

函數概念在高中的數學學習占有相當大的比重。在大學階段的數學學習中,學生 學習微積分、線性代數、代數等專業數學科目也均需以函數為基礎。綜合以上所 述,從國中、高中甚至到大學,函數在數學學習上均占有不可或缺的地位。

在臺灣數學課程的編排中,一次(線型)、二次函數被強調為函數概念學習的 基礎,其不僅出現在國中九年一貫課程能力指標中,亦被包含在高中多項式函數 的單元裡,學生以一次以及二次函數銜接在國中與高中數學課程(99課綱)。若學 生無法掌握一次、二次函數概念,則對他們往後的數學學習將很可能產生許多學 習困難與障礙。在研究者與學生接觸的經驗及本身求學過程中發現,對於大部分 高中學生而言,學生均已具備一次函數與圖形的概念,其較容易掌握的原因可能 為:一次函數圖形為直線,容易藉由視覺檢驗所求之點是否在直線上;其代數式 y=mx+k,學生僅需要了解係數m,k的數學意義,就能解讀代數式與圖形的連結,

其中斜率m僅牽涉圖形的傾斜程度。但許多高中生缺乏對二次函數概念的理解,

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推測其可能原因為二次函數單元中蘊含許多複雜的概念。舉例來說,學生較難使 用二次函數的圖形去臆測所求之點是否位於拋物線上以及會誤認拋物線有漸近 性質。原因在於學生會受圖形視覺的影響,較難正確地解讀出二次函數圖形的資 訊。為了能正確的解讀圖形的意義,學生必須將圖形正確的畫出。函數作圖的過 程皆須透過描點、描圖類同的程序。但由於無法描出無限多個點,學生在描出二 次圖形的過程中可能受先前學習一次函數的影響以直線連接兩點,而非以光滑曲 線連接。相較於一次函數,二次函數的作圖還需掌握頂點、開口以及其對稱性等 幾何結構。由於二次函數的代數呈現形式不只一種,且當代數呈現形式不同時,

其係數所代表的幾何意義與結構也不盡相同。學習者為了正確解讀二次函數的資 訊,需掌握代數呈現形式間的轉換,以及先前學過解的概念(一元二次方程式),

因為牽涉到先前所學的抽象代數結構,故對學生而言較為複雜。而頂點式 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑕)2+ 𝑘,不僅可以從參數中直接判讀出頂點,其蘊含著二次函數圖形 變動的幾何結構,包含對x軸鏡射、沿y軸伸縮、平移等概念,這將會影響到學習 者往後探討函數圖形的振幅、鏡射、平移在數學學習上,並且對物理的學習更是 不可或缺。而解讀二次函數的極值可以應用於解決生活上的應用,故其在二次函 數的學習中亦佔有重要地位。若二次函數沒有其定義域為實數,二次函數的極值 可以由較抽象的代數運算以及具體的圖形判讀兩個面向學習,但若限制其定義域,

學生只能將代數式轉移成圖形並觀察出函數值。從函數圖形中能解讀出其函數值 將有直接的影響在學習往後的多項不等式概念。綜合上述觀點,二次函數對學生 而言,為數學上一個相對複雜的概念,且不論在數學學習的過程中,或是其它領 域的應用上,其皆占有重要地位。因此,研究者期望幫助學生建構此概念。

二次函數同時出現在國高中的課程中,其內容差異為:國中所學二次函數的 目標為透過反覆地進行作圖的程序,建立學生對二次函數較直觀且具體的圖形進 而學習幾何性質與結構和拋物線的變動的關係;而高中則利用這樣的學習基礎,

不但明確指出不同代數形式所呈現的優點,且欲將學生直觀的理解藉由數學符號

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的形式化推理演繹說明,發展出二次函數圖形的變動抽象代數結構。在二次函數 的極值加入了限制其定義域的範圍,學生需先掌握定義域為閉區間的範圍下其二 次函數圖形,並將圖形的圖形還原成點的組成並解讀出其數值。美國的國家教師 協會 NCTM(National Council of Teachers of Mathematics)(2009)提出對於函數的瞭解 與學習主要需考慮的重要元素:(1)學習交互使用函數的不同表徵形式,包括圖、

表、符號等,不同元素更有其特點協助瞭解函數的重要性,(2)學習不同函數的特 性,並能了解不同的函數其各自的可能應用範圍與特性,以及(3)學習了解函數中 各項係數對於函數表現的影響。從以上三點得以歸納出:高中二次函數概念可以 幫助學生推廣更複雜、抽象的其他函數概念。有此可知,高中二次函數對數學學 習的重要性。因此,研究者想幫助學生建構高中二次函數的概念。

Even(1990)主張函數概念與許多表徵(representation)有關,例如表格、集合 映射圖、有序數對、圖形、式子、所描述的變數、情境產生的學科與現實世界等,

其中最常見的函數表徵是圖形與式子。由於不同元素都有其特點協助瞭解函數的 重要性,因此學習交互使用函數的不同表徵形式為對於函數的瞭解與學習主要需 考慮的重要元素(NCTM,2009)。由於數學概念是抽象的,因此我們必須借助具 體的表徵進行溝通和思考(NCTM,1989)。

同一數學概念中蘊含各種不同的表徵,而各個表徵均有其特點與性質,若以 單一表徵形式來說明,無法解釋一個完整的數學概念(Lesh, R., Post, T., & Behr, M.,

1987)。NCTM 在 2000 年出版的《學校數學的原則和標準》中的五項過程標準中 的表徵標準提到學生應該選擇、應用和轉譯各種數學表徵來解決問題。綜合上述 想法,學習者要瞭解、學習與應用數學,不僅要思考數學的本質意義,且要能充 分掌握其各種表徵以及表徵之間的轉換與轉移(Lesh, 1987; Kaput, 1987, 1989, 2008)。以二次函數的極值為例,若學生能藉由代數表徵轉移成圖形表徵,並解 讀二次函數的極值時,將可以幫助學生掌握二次函數的極值的概念。由此可知,

學習轉移不同的二次函數表徵將有益於學生靈活地應用二次函數概念。然而,學

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生函數學習的障礙經常發生在學生無法對函數的不同表徵作適當的連結 (Janvier,

1987)。Ali(2005)的研究中指出二次函數的代數和圖形表徵缺乏連結為造成學生二 次函數認知障礙的原因之一。因此,學生學習連結二次函數多重表徵為學習二次 函數概念需要考量的主軸。

從函數本質來看,函數的概念起始於自變數與應變數的過程,學生經由操作 過程了解到函數的程序性知識,但由於此過程為一個變動的過程,學生不易觀察 探索其性質與結構。學生對於數學概念的學習,如果停留在程序性的理解,那麼 一旦缺乏足夠的練習,很容易遺忘或產生錯誤且程序性知識彼此間是離散的,對 於學習者而言,學習負荷亦較重(Hiebert,1986)。在函數概念的學習中,學生不 僅僅要了解函數的程序性知識,更重要的是能掌握函數的結構性知識。透過圖形 的視覺化可以幫助學生發展其結構性知識。因此,學生需藉由表徵的轉移,透過 抽象的代數程序轉移成具體的圖形結構以幫助了解函數概念。且在許多情況下,

學習函數若只理解函數的過程,則無法掌握其概念,故學習者必須將函數視為一 個物件。舉例來說,學生需要經過操弄函數圖形為物件並觀察它的改變,才能理 解函數圖形的變動的概念結構。以二次函數為例,學習者需藉由代數表徵內的轉 換以及代數和圖形表徵間轉移的大量經驗將其內化形成二次函數過程的觀點。透 過過程的結合,學習者可以將二次函數的過程視為物件,例如將圖形視為一個物 件去理解圖形的變動的結構性概念;在二次函數的概念學習中,學習者可以也必 須將二次函數的物件轉換成過程,從二次函數圖形表徵轉移成代數表徵,進而解 讀出二次函數的極值。由此可知,掌握物件和過程觀點是學習函數及其圖形必要 部分(Sfard,1992)。若學習者能靈活在數學物件和過程間的轉換並適當的使用,

則具有過程概念(process conception)。這樣的轉換需要透過整合二次函數的多重 表徵。因此,形成過程概念對於學生具有相當的複雜性,它不僅需要理解單一表 徵、表徵內的轉換以及表徵間的轉移,還要靈活地整合且運用各種表徵。這樣的 理論可以用於解釋高中二次函數的教科書中的理念。因此,幫助學生進行整合二

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次函數的多重表徵發展過程概念為高中二次函數的教學主要目標。

次函數的多重表徵發展過程概念為高中二次函數的教學主要目標。