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函數與二次函數學習相關研究

第二章 文獻探討

第二節 函數與二次函數學習相關研究

二次函數為學習函數概念的一個重要單元。研究者期望透過二次函數的教學 幫助學生學習函數的概念。因此,本節將進行探討二次函數與函數的相關研究。

一、函數與二次函數的學習以及迷思概念

對學生而言,函數為一個複雜、抽象的概念,我們欲探究學生如何進行函數 概念的學習以及其認知發展。

函數的代數式以及其圖形對函數的學習佔有不可或缺的地位。對學生而言,

在發展函數概念時,由於代數式較為抽象,因此須將其轉移成具體的函數圖形,

以發展直觀的函數概念。學生透過解讀圖形所呈現的訊息進而學習函數的深層結 構。由此可知,作出函數圖形為發展函數概念之首要。由第一節二次函數課程分 析可知,在二次函數單元中有許多概念為學生所要學習的:二次圖形的幾何性質 與結構、二次函數圖形的變動、二次函數代數呈現形式中係數的意義以及二次函 數的極值。顏啟麟與羅昭強(民82)期望幫助國中學生建構線型函數與二次函數的 概念的網絡以及連結其概念和經驗的知識,將國中生學習線型函數與二次函數的 概念認知發展,分成四個主要層次如下:

層次一:給一個數可以求出其對應的函數值。

層次二:給定函數可以正確的代換文字符號與代數式。

層次三:可以找到函數圖形的幾個點,並且畫出代表函數圖形的平滑曲線。

層次四:又細分成四個層次,包含瞭解二次函數的四個重要元素:平移的基模、

圖形的基模、係數的基模以及極值的基模。

研究者由學生的認知層次發展可知,二次函數的學習透過作圖進而發展其概 念。學生透過之前學習一次函數的經驗來學習二次函數,也就是經由仿照線型函 數的程序幫助他們發展二次函數概念。因此,學生可能會受線型函數學習的影 響。

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函數對學生而言是複雜且抽象的,學生不僅需要使用代數式轉移成圖形,並 且要學會解讀代數式及其圖形所代表的涵義。因此,學生在學習函數時常會遇到 許多學習困難以及迷思概念。

Lovell(1971)指出學生對於函數的基本概念的學習困難有:(1)學生無法以簡單 的例子分辨是否為函數,有些學生將函數視為一種規律關係,如比例關係;(2) 學生經常對函數關係是多對一還是一對多感到困惑;(3)許多學生無法解釋函數圖 形的相關問題;(4)學生困擾於具體、熟悉生活情境的問題;以及(5)僅少部分的 學生能處理合成函數問題。

葉明達(民89)在分析高中生的函數定義和迷思概念中發現,高中生多將函數 定義為集合的對應,並強調元素間的一對一和多對一的特性;而高中生對於函數 主要迷思概念有:(1)函數關係是一種一定可以列出方程式的關係

;(

2)函數關係 為兩堆「數字」之間的關係

;(

3)函數一定要有規律

;(

4)對應域是值域的一部分;

以及(5)函數圖形是平滑的、連續的,有缺口的就不是函數。

Markovits, Eylon 與Bruckheimer(1988)針對已經學過函數與線型函數的九年 級、十年級學生,研究他們對於函數概念的了解程度時發現:(1)在不考慮問題的 特殊本質下,三種函數:常數函數、分段函數和離散點表徵的函數對學生來說是 困難的;(2)學生常忽略定義域以及值域;(3)不論式子或圖形表徵,學生對定義 域及對應域僅有部分理解;(4)學生所舉的函數例子都侷限在式子和圖形表徵,尤 其是式子表徵;(5)從圖形到式子表徵之轉換比式子到圖形表徵之轉移要來的困難 以及(6)所舉的函數例子有線性關係的傾向的現象。

從上述研究可知,學生常見的學習困難為將一局部的規則與關係視為所有函 數皆有的特質。Vinner(1983)的研究指出有的學生會將函數想像成一個規則,而 有的會想成要有同樣的規律,也就是要具有對稱、一致性、上升或下降等規律;

有的學生會定義而產生函數就是要一對一的對應。其中學生最常見的迷失概念是 函數具有線性關係且圖形為直線的。Markovits(1982)的研究中發現,大約有一半

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九年級學生,在給定兩點A、B並要求學生畫通過此兩點的函數圖形時,宣稱這樣 的圖形為唯一的,只有約 的學生宣稱這樣的圖形有無限多條,且當學生被要求 畫出通過此三點的函數圖形超過一半的學生認為沒有這樣的函數圖形。歸究其原 因,線型函數是函數的典範例(prototypical example)( Baruch & Rina, 1999)。在二 次函數中這樣的現象尤其明顯,學生透過與線型函數的相同程序進入學習作出二 次函數圖形。但這樣的認知發展可能會過度引用學生之前的線型函數的概念,可 能有學生受限於線型函數圖形的原型心像(prototypical image),將所描出離散的 點用直線連接(Moschkovich et al., 1993;Ibeawuchi,2010);Ellis(2008)的研究中亦 發現學生對一般形式的代數式係數會與線型函數的係數混淆,並將其二次項以及 一次項係數視為斜率。

除此之外,在二次函數的學習困難中,Zaslavsky(1997)提出學生在學習二次函 數時最常遇見的五種阻礙概念發展之學習障礙為:(1)以視覺上所看到的圖形解釋 幾何圖形,對二次函數圖形有漸進線的迷思,學生會看圖形認為二次函數的拋物 線會趨近於垂直線;(2)二次方程式與二次函數關係的錯誤類推;(3)線型函數與 二次函數關係的錯誤類推;(4)不了解二次函數的代數形式可能會有的轉變;(5) 過度強調特殊點的單一座標。

在函數的概念學習中,學生往往會受限於所看到的圖片(picture)去解釋圖形 (graph)。但 Freudenthal(1983)指出圖形是提供函數視覺表徵的重要工具,它可以 (1)點態性閱讀─例如透過座標平面上的垂直或水平線,可以找出相對應的自變數 與應變數之值,必要時可在兩軸上做調整;(2)局部性閱讀─例如研究圖形接近某 個點的特性,如極值、遞增或遞減等;(3)整體性閱讀─使人能夠一眼便認出此函 數,並且尋找和比較其整體特徵。這對學生發展二次函數的數學結構有很大的幫 助。但他也同時提出圖形缺點是缺乏精確性,例如不可避免線的厚度。在 Ibeawuchi(2010)研究中亦提出學生會以視覺解釋二次函數的幾何圖形。

在二次圖形的變動方面,Zazkis(2003)的研究中發現學生對於二次函數的水平平

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移上的解釋只有記憶像是“to do opposite”或是“move opposite to the sign of number”的規則而非用使用圖形移動背後的數學推理。對於圖形的概念只有程序 性的運算法則而非理解其數學結構。為了幫助學生學習二次函數概念,因此,許 多學者嘗試找出造成二次函數認知障礙背後的原因。Ali(2005)嘗試找出造成學生 二次函數認知障礙的原因,他探討兩位高中代數方面表現優秀的學生對二次函數 的概念心像得到其錯誤成因如下:

(1). 在二次函數的代數和圖形表徵的概念缺乏連結。

(2). 對代數表徵的不理解。

(3). 學生轉移圖形表徵到代數表徵時,他們認為一般式𝑦 = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐的圖形 開口向上時,則𝑎 = 1;反之,若圖形開口向下,則認為𝑎 = −1。學生會將 二次函數一般式與頂點式𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑕)2+ 𝑘混淆,認為頂點𝑥座標為𝑏,頂點 𝑦座標為𝑐。

(4). 將一般式轉換頂點式時,學生將𝑦 = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐轉換成𝑦 = 𝑥(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝑐。

(5). 學生無法同時使用圖形與代數表徵一起去思考,學生可能會形成兩種衝突的 策略。

(6). 二次方程式的公式解與絕對值函數會造成二次函數學習上的障礙。

總結可能造成學生上述學習二次函數困難形成原因以及其錯誤類型為:

(一) 學生往往使用視覺圖像解釋其圖形,其原因為缺乏圖形表徵和代數表徵之間 的連結,二次函數的概念不能單從圖形來看,應該要回到二次函數代數結構 去處理。

(二) 學生無法區辨二次方程式及二次函數,無法體認到其差異在二次方程式為解 某一個特定點,而二次函數兩個集合點變動的關係。並由此可知,學生無法 看出把函數的變動關係,學生只注意在某個特定點。

(三) 學生無法理解代數表徵的係數對數學結構的意義。

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(四) 學生對代數表徵內的轉換缺乏理解。

(五) 學生對二次函數圖形表徵的不理解,混淆數值表徵與座標表徵。

(六) 學生無法彈性地連結與轉移二次函數的代數與圖形表徵。

總結上述研究可以發現二次函數的圖形與代數表徵為學生在學習二次函數 中常見的學習困難。由此可知,二次函數的表徵在二次函數的學習中為不可或缺 的,因此,研究者欲用表徵的觀點探討學生如何學習二次函數的概念,並藉由表 徵的觀點幫助學生學習二次函數。在下一節將討論數學概念的多重表徵以及學生 如何藉由二次函數表徵學習數學概念。

二、函數的教學

Vinner(1983)的研究指出,學生對於老師所給予的函數經驗會做選擇性的觀 察,且函數的迷思概念都源自於老師上課所講的或是教科書上的描述,做有選擇 性的觀察。因此如何進行函數的教學是一個重大課題。由函數的學習與困難中,

我們發現圖形對函數的學習佔有不可或缺的地位。學生需藉由具體的函數圖形分 析其性質。Yerushalmy(1988)建議下列學習函數及其圖形的主題,使圖形能夠形 成有效率的回饋:(1)座標系統的圖形表徵、語言表徵、代數符號表徵的規則;(2) 與圖形和座標系統有關的概念(軸、有序數對、表列值);(3)轉移離散的點到函數 和圖形;(4)將圖形和函數用不同的準則分類;(5)理解函數的各種參數所扮演的 角色;(6)幾何的轉換函數與圖形;以及(7)觀察平行的改變符號表徵。

學習函數的多重表徵為學習函數的重要課題(NCTM,2009)。TRM(代數、圖 形和表列表徵)課程結構被列出如下:(1)函數概念的直覺性理解;(2)函數的圖形 表徵;(3)函數的代數表徵;(4)轉移這三種表徵;以及(5)在方程式的解和方程式 系統、極值問題、圖形的幾何轉換(平移、對稱)以及連結代數的轉換的問題,鼓 勵學生轉移代數、表列和圖形表徵,並選擇適當的表徵進行解題。

許多研究試圖找尋能幫助學生學習函數的教學工具,其中電腦被認為是一個

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好的工具支持函數圖形的教學。Moschkovich等人(1993)提出學生透過圖形在電腦 的可操作性,形成函數圖形為一個物件的視覺經驗,幫助他們發展操作型定義在

好的工具支持函數圖形的教學。Moschkovich等人(1993)提出學生透過圖形在電腦 的可操作性,形成函數圖形為一個物件的視覺經驗,幫助他們發展操作型定義在