第四章 研究結果與分析
第一節 乘法和除法
一、課程設計
(一)乘法與除法之教學
乘除算則從二年級引入乘法情境問題，在三年級時擴展乘數的範 圍，到四年級才引入直式，直到五年級才正式使用直式紀錄的格式。
在五年級學生乘除法的學習，常常因為計算技巧不夠熟練，導致解題 的效率不佳，而產生解題錯誤的情形。雖然九年一貫課程暫行綱要對 於國小數學領域並不要求「精熟」學習，但是 2003 年頒布的九年一 貫課程綱要，卻要求學生除了會解題之外，還要達到精熟。所以在國 小高年級學生在乘除法的計算方面，常常會遇上學習障礙以多位數乘 /除以多位數居多。
(二)設計理念
乘除法攻城戰的設計是為了練習大數乘除法的運算，利用三個卡 通人物攻城的情境，進行佔格子攻城的遊戲，遊戲者必須答出○內的 數字是由遊戲單左下角的哪二個數字相乘而來，即可占領該據點，最 早到達對面者獲勝。
在遊戲設計之初，因為考慮到會使用到許多不同題目的遊戲單，
而每次遊戲單的設計過程又很繁複，所以將左下角的數目字分為上下 二排，上排為 47、53、62、78、81，下排為 8、6、4、3，○內的數 字是由上下二排各取一個數字相乘而來。利用 Excel 公式運算及 Word 合併列印，只要更改上下二層的數字，即可快速製造出大量遊戲單。
遊戲設計因考慮同時兼顧乘除法的內容，雖然在遊戲單上只說明 為乘法(○內的數是由哪二個數相乘)，但是學生進行遊戲的策略中不 知不覺也會把除法(○內的數除以其中一個數字就會得到另一個)考 慮進去。
乘除法攻城戰遊戲有大量的多位數乘除法運算學生較排斥，是四
法完整做完才能得到答案，學生發現從看尾數相乘猜測積的尾數以及 幾位數乘以幾位數猜測積的位數，也可以正確無誤的達成攻城任務。
這二項發現的小技巧，在同儕之間互相交流，也成為往後乘除法驗算 的檢驗方式。
(三)遊戲難易度之調整
本研究將全班學生 31 人，依此單元前測分為 2 組，分別是基礎 組(n=15)及進階組(n=16)，遊戲難易度的區別是在於上下二層乘除法 位數的多寡。基礎組加強基本概念的複習(以 3 位數乘 3 位數、3 位 數乘 4 位數為主的乘除法複習)，而進階組則鼓勵嘗試更多位數乘除 法的概念。
組 別 基礎組(n=15) 進階組(n=16) 遊戲難易 以 3 位數乘 3 位數、3 位數乘 4
位數遊戲單為主
以 3 位數乘 4 位數以上遊 戲單為主
活動流程
1.複習乘法與除法概念。
(3 位數乘 4 位數以內的乘除法 複習)
2.說明遊戲規則及注意事項。
3.師生大對抗。
4.學生分 2 組團體對抗。
(教師巡視鼓勵學生參與團體 對抗及問題解答)
5.個人互相對抗開始。
1.複習因數與倍數概念。
(3 位數乘 4 位數以上的 乘除法複習)
2.說明遊戲規則及注意 事項。
3.師生大對抗。
4.個人互相對抗開始。
(三)遊戲活動之進行
參與遊戲者先決定先後順序，以及出發方向。接著，第一人先在 攻城的路徑上選擇一個據點，若能答出據點上的數字是由哪 2 個數字 之乘積，即可佔領據點。每人依序進行攻城的程序，最後看誰先到達 另一端，亦即攻城成功獲得勝利。
遊戲活動之進行在於增加學生對於乘除法的練習，表面上只有乘 法的練習，不過當進行一段時間之後，學生會發現有時使用除法的方 式速度會更快。在遊戲過程中，並不僅有攻城的學生須進行乘除法運 算，防守方也需進行驗算，確保攻擊方無計算錯誤出現。因為多位數 的乘除法對於學生較難，是以教學者需隨時注意學生的表現，適時施 以提振士氣的小技巧，例如：小組競賽、增加獎勵、鼓勵的話…。
二、學生接受度
1.遊戲紀錄單方面(附錄二-1)
題目
今天和同學玩了乘除法攻城戰遊戲，我覺得：
選 項 非常好玩 好 玩
普
通
不好玩 非常不好玩
選取次數
8 9 7 4 3
原 因
基礎組 (2)：
無(1) 可練習 乘除法 (1)
進階組(6)：
無(2) 很刺激(2) 有挑戰性 (1) 跟下棋一樣 (1)
基礎組(4)：
無(3) 偏難(1)
進階組(5)：
無(2) 有點難(2) 只有玩一點 (1)
基礎組(3)：
無(2) 要一直算(1)
進階組(4)：
無(1) 很難(1) 有點難(2)
基礎組(3)：
偏難(1) 有點難(2)
進階組(1)：
只有玩一點 (1)
基礎組 (3)：
無(1) 聽不懂(1)
進階組 (1)：
好難喔 (1)
從上表可知，學生對於乘除法攻城戰遊戲的接受度，五個選項均
有學生回應，26%(8/31)的學生覺得非常好玩，29%(9/31)的學生覺 得好玩，23%(7/31)的學生覺得普通，13%(4/31)的學生覺得不好玩 及 9%(3/31)的學生覺得非常不好玩。而且前三個選項非常好玩、好 玩及普通佔 77%(24/31)，雖無法像其他三個遊戲接受度高，但也有
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以上的學生覺得普通可以接受。
在原因部分，幾乎大多數的同學都是反應「偏難」。研究者認為 偏難的原因在於，遊戲中每進一步均須要做一番多位數乘除法的運 算，對於數學計算不熟練的學生，著實是個很大的負擔。此外還有學 生認為非常好玩，原因是「很刺激」、「有挑戰性」、「很像下棋一
樣」等正向反應。
若以學生分組的角度去觀察，進階組的學生都覺得「有點難」，
更何況對於基礎組的學生來說。不過，這是研究者第一次設計數學遊 戲並且進行教學，針對五年級的學生進行來說，可以發現學生在數學 學習興趣會有大幅提升的情形。雖然本單元的遊戲內容，對於不常練 習多位數乘除法的學生來說是一件難事，但是牽繫著學生參與遊戲的 動機是在於遊戲本身，遊戲過程中發現大多數的學生有心去完成整個 數學遊戲，這種現象與完成數學課本中的題目不同，相對的在學習態 度上也顯出正面的效果。
2.學生訪談紀錄方面
學生對於本遊戲的接受度大多是認為偏難的，所以從全部學生挑 出數學成績一直都不錯的 S26 作為訪談對象，但是 S26 在進行數學 遊戲時的表現卻不是太好。以下便是節錄關於學生接受度的部分，學 生 S26 覺得遊戲好玩的原因是不用上正式的數學課。研究者認為，
大多數的學生對於正式與非正式的課程在學習的心態上仍有差異。其 次，學生 S26 認為數學遊戲可以和同學一起挑戰題目，比較沒有課 業上的壓力所以學生 S26 對於本單元數學遊戲接受度還是蠻高的。
(S26 的訪談記錄於附錄三-1)
S26：我覺得很好玩啊。
T：為什麼？
S26：因為不想要上數學課。
T：那妳覺得數學遊戲和一般的數學課有什麼不同？
S26：數學遊戲可以和同學一起挑戰難題，大家一起做題目比較沒有好玩。
三、學生學習成效
研究者分別從遊戲所得到的數學概念及學生得到的幫助方面，加
以探討如下：
1.使用數學概念方面 題
目 在這個遊戲我使用到了什麼數學概念？(可複選)
選 項
加法 減法 乘法 除法 先乘除後加減 因數 倍數 公 因 數
公
倍 數
約分 括分 其他
選取
次數 2 1 28 21 7 1 0 1 1 0 1 0 在遊戲所使用的數學概念，依據統計表顯示大部分的學生都可以
利用乘法與除法來進行解題，其中乘法使用到的機會略高於除法，這 可能與學生先學乘法再學除法，對於乘法的熟悉度較高的緣故。至於 其他數學概念學生選擇機率較低。
2.學生得到的幫助方面
題目 你認為這個遊戲帶給你哪些幫助？（可複選）
選項
學習與同學相處，相互尊重 乘除法的運算更熟練 更了解乘除法的概念 改變學習態度，不再恐懼數學 增加自己的解題信心 相信自己的成績一定會進步 完全沒有幫助 其他
選取
次數 21 26 26 3 20 17 1 0
在遊戲帶給學生的幫助方面，大部分都傾向於能夠使乘除法運算
更為熟練及更了解乘除法概念，這與本遊戲設計的讓學生多練習乘除 法運算有關。至於，「學習與同學相處，相互尊重」、「增加自己的 解題信心」及「相信自己的成績一定會進步」勾選的學生也超過半數， 所以在增強計算能力之後，順帶能增加解題信心。至於「改變學習態 度，不再恐懼數學」勾選的只有 3 位，可能與本遊戲過程都屬於機械 式運算有關，學生還是不喜歡複雜的計算。
除此之外，研究者安排學生於遊戲後訪談，根據學生訪談記錄得 知，學生在遊戲過程中遇到困難其實就是計算速度較慢，因為是小組 對抗的遊戲，學生們就會互相支援，並且尋求快速解決的辦法。
T：在遊戲過程中你有沒有遇到困難的地方？
S26：有啊！我常常算不出來。
S26：喔！應該是算得比較慢吧！
T：在遊戲過程中你如何解決？
S26：會有同學幫我，而且小組競賽的時候我們還有分配工作。
在訪談學生 S26 問及如何將遊戲與課本題目相結合時，學生表
示課本題目大多是給計算式然後算出來，而遊戲雖然也是有計算式卻 只要找出符合的答案配對即可，並且學生 S26 小組有發現秘訣可以 快速解題。
T：你覺得遊戲中的題目與課本中的題目有相同嗎？
S26：我覺得很類似，不過遊戲中的乘法和答案都有了，只剩下我們去配對，而 課本中大多要我們算出結果。
在遊戲過程中，學生可以發現一些解題的秘訣。例如，全組的組 員先分配好工作，一人做一個式子。接著，在多位數乘法有答案配對 的過程中，也可以看頭尾相乘的積，不過學生 S26 提醒看「頭數」較 不容易。另外，可以先去佔領對手預定要走的路，讓自己立於不敗之 地。最後，還有同學發現，在遊戲時利用除法會更快速。以下為訪談 記錄資料：
S26：就是每個人算一個算式，當要走到那一步時，就是那個人負責。
T：妳的意思是說，不管有沒有走到某些點，妳們小組早就已經分配好計算工作 了。
T：妳們在配對的過程中有發現什麼秘訣嗎？
T：如何看尾數？可不可以請妳舉個例子。
S26：比如說二個相乘的數，尾數是 2 和 3，那麼乘出來的結果尾數一定是 6。
T：嗯！真聰明！如果這樣的話，也可以看頭數囉？
S26：對啊！不過頭數會牽扯到進位的問題，比較不好判定。
S26：還有一個，就是把對手要走的路先佔領，這樣他就一定不會贏，而我們就 一定不會輸。
S26：到最後才有同學發現，在遊戲時利用除法會更快速。不過，我還是習慣使 用乘法。
四、檢討及建議 1.遊戲紀錄單方面
研究者為了解乘除法攻城戰遊戲設計的優缺點，讓學生填寫遊戲 記錄單，針對(1)改進及修正，(2)心得及感想二方面填寫，以下分別 就這二方面報告結果。
(1)對於乘除法攻城戰的遊戲設計，有哪些地方可以再改進或者修正
？ 請列舉。
遊戲本身設計方面 更改遊戲規則方面 其他 有一點點難/可以再簡單一
點(8)
設計難一點(3)
設計更多人一起玩(2) 設計刺激一點(1)
設計成十邊形、八邊形等 (1)
加一些遊戲規則(1) 把數字變大更刺激(1) 數字不要太大(1)
無意見/沒有(7) 可以改好玩一點(1) 可以再玩多一點(1) 多給一點獎勵卡(1)
對於遊戲設計的改進部份，學生建議加入設計成不同的圖形，不 要只是六邊形，而且可以讓更多人一起玩。在更改遊戲規則方面學生