第四章 研究結果與分析
第二節 因數與倍數
一、課程設計
(一)因數與倍數之教學
相對於其他課題，因數與倍數在日常生活中應用到的機會並不太 多，相對學生也經常容易忘記。在因數與倍數的學習上需有整數乘除 法的先備知識，所以在研究者教學之初必須先複習整數乘除法，並且 基礎組在遊戲進行前還要再加強因數與倍數的概念。
(二)設計理念
因倍數迷宮遊戲的設計，藉由考慮條件方式進行遊戲，間接複習 因數、倍數、公因數、公倍數等綜合概念。遊戲者先必須先在對方的 遊戲單方格依序填入 2~36 的數字(1 已經固定於左上角)，依照移動 條件前進，最先到達方格右下角則獲勝。
剛開始遊戲時，因尚未熟悉遊戲規則，則鼓勵學生用較少方格來
玩，待因數與倍數觀念較熟稔之後，始可用多方格來遊戲。
當學生嘗試玩更多格的因倍數迷宮遊戲時，會發現難度增加很 快，因為在連續數字中會出現一種較不直接屬於因倍數的數字稱為
「質數」，而在質數的出現往往較難找出移動條件，學生大多會將條 件設定為此質數的因數或倍數。
遊戲中發現學生會會將相鄰的幾個數字相乘，並將移動條件設為 相乘積的因數，就可同時移動很多格，所以在遊戲單的設計上，再加 入「移動條件數目字不得超過 100」的條件。
(三)遊戲難易度之調整
本研究將全班學生 31 人，依能力分為 2 組，分別是基礎組(n=13) 及進階組(n=18) 。其難易度區分為利用格子數的多寡，基礎組加強 基本概念的複習並進行 6X6 遊戲單 (36 以內的因倍數複習)，而進階 組則鼓勵嘗試大數因倍數的概念。
組 別 基礎組(n=13) 進階組(n=18) 遊戲難易 以 5X5、6X6 遊戲單為主 以 6X6 以上遊戲單為主
活動流程
1.複習因數與倍數概念。
(36 以內的因倍數複習) 2.說明遊戲規則及注意事 項。
3.師生大對抗。
4.學生分 2 組團體對抗。
(教師巡視鼓勵學生參與團 體對抗及問題解答)
5.個人互相對抗開始。
1.複習因數與倍數概念。
(100 以內的因倍數複習) 2.說明遊戲規則及注意事 項。
3.師生大對抗。
4.個人互相對抗開始。
(四)遊戲活動之進行
因倍數迷宮遊戲的遊戲規則是，參與雙方先在自己的遊戲單 6X6 方格上依序填入 1~36 的數字，雙方交換遊戲單並決定遊戲先後順 序，根據選定的移動條件方格上從左上角開始將連續符合條件的數字 劃掉，最先到達方格右下角則獲勝。
遊戲活動之進行在於增加學生對於數與計算的練習及加強學生 的學習動機，故以老師和學生的對抗練習並說明遊戲規則，接著利用
二、學生接受度
1.遊戲紀錄單方面(見附錄-2)
題目
今天和同學玩了因倍數迷宮遊戲，我覺得：
選 項 非常好玩 好
玩
普
通
不好玩 非常不好玩
選取次數
13 11 7 0 0
原 因
基礎組(4)：
無(1) 可以動頭腦(1) 可以跟同學玩 (2)
進階組(9)：
喜歡數學(1) 可以玩遊戲(1) 可以動頭腦(2) 增加熟練度(1) 增加計算能力(1) 可以跟同學玩(2) 幫助了解因倍數 (1)
基礎組(4)：
無(1) 遊戲有趣(1) 讓我更喜歡 數學(2)
進階組(7)：
很刺激(1) 遊戲有趣(1) 有公倍數(1) 用遊戲玩數學(1) 可以跟同學玩(2) 因倍數可以變強 (1)
基礎組(5)：
無(2) 我都解不開(1) 可以增加知識(1) 因倍數可以變強 (1)
進階組(2)：
有點無聊(1) 討厭數學(1)
從上表可知，學生對於因倍數迷宮遊戲的進行，大部分皆採正面
的回應，42%(13/31)的學生覺得非常好玩，35%(11/31)的學生覺得 好玩，23%(7/31)的學生覺得普通，並無學生覺得不好玩及非常不好 玩。
在原因部分，全班大多數的同學都是正向的答覆，例如：可以玩 遊戲、增加計算能力、增加熟練度、可以跟同學玩、喜歡數學…等等。
在普通原因中，有一位同學寫「無聊」及一位寫「討厭數學」的則是 成績表現較好的學生，或許是因為程度較好，簡單的因倍數計算遊戲 已引不起興趣。
若以學生分組的角度去觀察其原因，進階組的學生除了上述「無
聊」及「討厭數學」之外，其餘在原因的填寫均為正面。反觀基礎組 的學生在填寫原因時，因為語文表達並不流利，所以會寫出自己最直 觀的反應，其中有位學生填寫「我解不開」，經查明原因是因為此學 生遲到，沒有聽到老師說明遊戲過程及沒有參與師生對抗的練習，以 致對於遊戲規則較不熟悉。
2.學生訪談紀錄方面
研究者找一位學生(S08)進行訪談，S08 在班上的成績一直都是 高低起伏大，而在數學上課時也都表現出不在乎的態度，需要老師盯 著才能專心上課。以下便是節錄關於學生接受度的部分，可見學生 S08 覺得好玩的原因是，遊戲和正式的數學課最大的區別，在於數學 課要做題目，題目做不好有被處罰的壓力，而數學遊戲則可以和好朋 友一起玩，並且玩輸了也沒關係。(S08 訪談記錄在附錄三-2)
T：上禮拜玩了因倍數迷宮遊戲，你覺得好不好玩？
S08：我覺得很好玩。
T：為什麼？
S08：因為可以玩啊！
T：這和一般的數學課有什麼不同？
S08：數學課要做題目，有些題目很難要想很久。玩遊戲就不用做，而且可以 和好朋友一起玩。
三、學生學習成效
研究者分別從遊戲所得到的數學概念及學生得到的幫助方面，加
以探討如下：
1.使用數學概念方面 題
目 在這個遊戲我使用到了什麼數學概念？(可複選) 選
項
加 法 減 法 乘 法 除 法 因 數 倍 數 公 因 數
公
倍 數
其
他
選取
次數 6 7 19 16 29 29 25 25 1
在遊戲所使用的數學概念，依據統計表顯示大部分的學生都可以
利用因數、倍數、公因數及公倍數，有些也會使用的因倍數的先備概 念-乘除法。但是有一些學生勾選加減法，是較為意外與不解的部分，
因為「因數與倍數」單元，較不會使用到加減法的概念，據推測學生 可能在勾選時見到許多數學概念，便不加思索就全部打勾了。至於勾 選「其他」的這位學生經研究者查證，原來是利用「質數」的概念，
「質數」並不是課本範圍，而是在上課過程中偶然遇到，並且課外補 充，可見學生也會將補充的部分導入遊戲活動中。
2.學生得到的幫助方面
題目 你認為這個遊戲帶給你哪些幫助？（可複選）
選項
學習與同學相處，相互尊重 因倍數的運算更熟練 更了解因倍數的概念 改變學習態度，不再恐懼數學 增加自己的解題信心 相信自己的成績一定會進步 完全沒有幫助 其他
選取
次數 20 26 29 18 23 20 0 1
在遊戲帶給學生的幫助方面，正向的選項也佔絕大部分，最多勾
選的則是「更了解因倍數的概念」以及「因倍數的運算更熟練」，並 且在學習態度以及對於數學的自信心部分也都超過半數學生勾選。其 他選項則是有 1 位學生填寫「增加理解力」。
以上資料來源是因倍數迷宮遊戲紀錄單。除此之外，研究者並安 排學生於遊戲後訪談，根據學生訪談記錄得知，學生在遊戲過程中遇 到問題，因為有遊戲進行中的壓力，學生會就近向同學發問，並立即 尋求解決方法，這種問與答對象不同的狀況與課堂上直接向老師發問 的情況不同，可能與學生個人問題不便公開發問及同儕間的數學語言 較能理解有關。學生 S08 在發問的過程中，也意外得到「質數」的相 關訊息。
T：在遊戲過程中你有沒有遇到困難的地方？
T：你如何解決？
S08：就問同學啊!
T：問同學有沒有得到滿意的答案？
S08：問 S11，他說他也不知道，後來問 S04 就知道原來那是質數，條件可以 設成那個質數的因數或倍數。
在訪談學生 S08 問及如何將遊戲與課本題目相結合時，學生可
以區辨出課本題目大多要將所有符合條件的數字找出來，而遊戲卻只 要找出符合條件的數即可，並且學生還會提醒自己要特別注意。
T：你如何將遊戲與課本中的題目相結合？
S08：課本題目都要把所有的因數、倍數、公因數、公倍數都找出來，但是遊 戲中只要找出符合條件的就可以了，所以要特別注意。
在因倍數迷宮遊戲過程中，學生可以發現許多設計對手遊戲單方 面的訣竅。例如，在設計遊戲單時，學生發現可以將奇偶數錯開，並 在其中加入質數，讓對戰同學較不好找出移動條件。另外一個例子 是，偶數相連及遇到質數的處理方式以下為訪談記錄資料。
T：在你玩遊戲的過程中，有沒有找到一些訣竅或特殊方法？
S08：有啊！設計遊戲單時要把偶數跟奇數錯開然後再加入質數，這樣比較難 走。
T：在你走的時候有沒有什麼訣竅？
S08：有啊！訣竅就是先看看有沒有偶數連在一起的，這樣可以使用「2 的倍 數」，一次就可以走很多格。
S08：嗯…遇到質數可以用 2 個相乘的，就可以走 2 步。不過，不可以超過 100 喔!
因倍數迷宮遊戲對學生的計算效果有所提升，學生 S08 從寫題
目的過程中，不需動用到紙筆計算過程，利用心算就可以「看」出因 倍數的答案來表示自己的數學確實進步了，並且向老師要求計算題不 寫計算過程。比起上數學課時制式的計算過程，學生在遊戲中不知不 覺進步了，以下是訪談記錄資料。
T：你有沒有感覺你的數學進步了？
S08：有啊！
T：從什麼地方可以看出來？
S08：在寫題目時，我都可以心算喔！老師，計算題一定要寫計算過程嗎？我 用看的都可以看出答案。
T：計算題就是要寫計算過程，不然怎麼叫計算題。
四、檢討及建議 1.遊戲紀錄單方面
研究者為了解因倍數迷宮遊戲設計的優缺點，讓學生填寫遊戲記 錄單，針對(1)改進及修正，(2)心得及感想二方面填寫，以下分別就 這二方面報告結果。
(1)對於因倍數迷宮的遊戲設計，有哪些地方可以再改進或者修正
？請 列舉。
遊戲本身設計方面 更改遊戲規則方面 其他 利用大富翁的方法(2)
利用電腦方式(2)11、12 設計在網路上(1)
可以改有趣/好玩一點 (2)
多訂一些規則增加難度(4) 不要有限制條件(1)
格子太少/增加格子數(2) 要多一點數字(1)
再簡單一點(2)
多算公因數公倍數(1) 利用骰子決定先後順序走幾 步(1)
格子數減少(1)
不能走到某數的因數或倍數 (1)
無(5)
可以跟別人玩，且成績 可以變好(1)
跟別人分享遊戲(1) 老師態度再好一點(1) 遊戲規則說明清楚(4)
對於遊戲設計的改進部份，學生提到加入大富翁的機會命運方式
會更為生動好玩，此外還提到利用資訊融入教學方設計軟體，並掛上 網路，讓學習並不因參與人數、時間及空間而侷限住。
在更改遊戲規則方面，從增加/減少格子、加入骰子以及限制某 些格子不能通過來改變難易度，均是不錯的建議。
(2)進行完因倍數迷宮遊戲後，有什麼心得或感想？
正面心得 負面心得
很好玩 (16) 玩了還想再玩(1) 可以考很好(1) 更喜歡數學(2)
可以知道自己的實力(1)
增加數學樂趣不會覺得數學無聊(1)35 有刺激感(1)
更了解數學/讓數學變好(6) 可以跟同學一起玩(3) 讓因數和倍數更熟練(2)
覺得有點難(2)
在進行遊戲後的心得方面，學生填寫情形大部分都是覺得很好
生是數學學習較為落後，可能與無法跟上進度所致。
2.學生訪談紀錄方面
學生 S08 對於遊戲的設計覺得沒有意見，在家裡可以跟家人玩，
甚至一個人也可以玩。至於心得則是希望以後上數學課都可以常常玩 數學遊戲。
T：對於因倍數迷宮的遊戲設計，你覺得有哪些地方可以再改進或者修正？
S08：我覺得就很好了。其實一個人也可以玩說，在家裡爸爸媽媽和姊姊都玩 輸我，我都自己一個人玩。
T：進行完本單元遊戲後你有什麼話想跟老師說？
S08：希望以後上數學課都可以玩。
研究者在施行遊戲的過程中發現到，因為事先將學生分成基礎 及進階組，並且對於遊戲的難易度也特別調整過，學生在遊戲時能因 應自己的程度，去選擇適合自己的遊戲，並且能與好朋友有競爭性的 活動，能夠引起學習動機。對於基礎的學生，平常上課中是沉默的一 群，不過當成績較好的進階組學生不在課堂時，頓時間會覺得自己其 實還不差，並能踴躍發言。除了少數基礎組學生仍然跟不上進度之 外，其餘大多能在遊戲中找回自信心。